Cho đg tròn (O) có tâm O và điểm M nằm ngoài đg tròn (O). Đg thẳng MO cắt (O) tại E và F ( ME$<$MF). Vẽ cát tuyến MAB và tiếp tuyến MC của (O) ( C là tiếp điểm, A nằm giữa M và B. A và C nằm khác phía với đg thẳng MO ) Gọi H là hình chiếu vuông góc của C lên đg thẳng MO. CM AHOB nội tiếp 

$OH.OA=MC^2=MA.MB$

...

 

$208)$ Tìm miền giá trị của các hàm số sau. Từ đó chỉ ra $min;max$

• $1)$ $y=\frac{x^2-1}{x^2+1}$
• $2)$ $y=\frac{x}{x^2+x+1}$
• $3)$ $y=\frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}$
• $4)$ $y=\frac{x^2-2x+2}{x^2+2x+2}$
• $5)$ $y=\left|\frac{2x^2+x-1}{x^2-x+1}\right|$

 

1. $y=-1+\frac{2x^2}{x^2+1} \geq -1$. Tìm được $min_y=-1 \leftrightarrow x=0$

2.(2) $\leftrightarrow yx^2+x(y-1)+y=0$

Nếu: $y=0$ thì $x=0$

Nếu: $y \neq 0$ thì xét:

$\Delta =(y-1)^2-4y^2=-3y^2-2y+1 \geq 0$

$\Rightarrow -1 \leq y \leq \frac{1}{3}$

...
3.$y=1-\frac{2x}{x^2+x+1}=1-\frac{2}{(x+\frac{1}{x})+1}\geq 1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$

...

Spoiler

Trở lại thời lớp 9 tí   

$\boxed{ Bài 39}$

    Cho tam giác $ABC$ với $AD,AM$ lần lượt là đường phân giác ,đường trung tuyến .Đường tròn ngoại tiếp tam giác $ADM$ cắt cạnh $AB,AC$ tại $U,V$ .Gọi $T$ là trung điểm $UV$ .Chứng minh rằng $MT$ song song với $AD$

Chơi ké nữa.

+ Nếu tam giác ABC cân tại A thì $MT\equiv AD$

+ Xét trường hợp tam giác ABC không cân tại A.

Ta có: $\dfrac{BU}{BM}=\dfrac{BD}{BA}=\dfrac{CD}{AC}=\dfrac{CV}{CM} \rightarrow BU=CV$

Lấy $U', B'$ đối xứng $U,B$ qua $AD; UU' \cap AD=E; BB' \cap AD=F$ 

Từ đó dễ chứng minh được tứ giác $ETMD$ là hình bình hành $\Rightarrow MT||AD$

Nghiệm lẻ. Nghi vấn sai đề.

Em cũng thích khoe bạn gái.    (Mặc dù đang giận nhau nhưng mình có quyền vì em là người chụp) 

Các bài toán phương trình vô tỉ trong các đề thi HSG tỉnh

 

Bài 1: Giải các phương trình sau

           a) $\sqrt{\frac{1-x}{x}}=\frac{2x+x^{2}}{1+x^{2}}$

        

ĐK: ..

$PT\Leftrightarrow (1+x^2)\sqrt{1-x}-(2x+x^2)\sqrt{x}=0 \Leftrightarrow \sqrt{1-x}-\sqrt{x}+x^2(\sqrt{1-x}-\sqrt{x})-\sqrt{x}(2x-1)$

$\Leftrightarrow (1-2x)[\frac{1}{\sqrt{1-x}+\sqrt{x}}+\frac{x^2}{\sqrt{1-x}+\sqrt{x}}+x^2]=0\rightarrow x=\frac{1}{2}(TM)$

Giải phương trình:

250. $\sqrt{\sqrt{2}-1-x}+\sqrt[4]{x}=\frac{1}{\sqrt[4]{2}}$

251. $\sqrt{x^3-1}=x^2+3x-1$

Bài 2: Giải các phương trình sau

           a) $\sqrt{1-x^{2}}+\sqrt[4]{x^{2}+x-1}+\sqrt[6]{1-x}=1$

           b) $\sqrt[3]{x^{2}-2}=\sqrt{2-x^{3}}$

           d) $19+10x^{4}-14x^{2}=\left ( 5x^{2}-38 \right )\sqrt{x^{2}-2}$

a. ĐK: $\frac{-1+\sqrt{5}}{2} \le x \le 1$

$PT\Leftrightarrow \sqrt{(1-x)(1+x)}+\sqrt[4]{x^2+x-1}-1+\sqrt[6]{1-x}=0 \Leftrightarrow \sqrt{1-x}(\sqrt{1+x}+\sqrt[3]{1-x})+\frac{x^2+x-2}{(\sqrt[4]{x^2+x-1}+1)(\sqrt{x^2+x-1}+1)}=0 \Leftrightarrow \sqrt{1-x}[\sqrt{1+x}+\sqrt[3]{1-x}+\frac{\sqrt{1-x}(x+2)}{\sqrt[4]{x^2+x-1}+1)(\sqrt{x^2+x-1}+1)}]=0\rightarrow x=1$

b.$PT\Leftrightarrow (x^2-2)^2=(2-x^3)^4\Leftrightarrow (x^2-2-(2-x^3)^2)(x^2-2+(2-x^3)^2) \Leftrightarrow \begin{bmatrix} x^6-4x^3-x^2+6=0 & \\ x^6-4x^3+x^2-2=0 & \end{bmatrix}$

..

Còn câu b bài 1 + câu 2d thầy chữa luôn đi ạ.

 b) $\sqrt{1-x^{2}}=\left ( \frac{2}{3}-\sqrt{x} \right )^{2}$

Bài toán 15: Giải hệ phương trình:

 

$\begin{cases} 2x(1+\dfrac{1}{x^2-y^2})=5 \\  2(x^2+y^2)(1+\dfrac{1}{(x^2-y^2)^2})=\dfrac{17}{2} \end{cases}$

Hệ tương đương với:

$\left\{\begin{matrix}(x+y)+(x-y)+\dfrac{x+y+x-y}{(x+y)(x-y)}=5 & \\ (x+y)^2+(x-y)^2+\dfrac{(x+y)^2+(x-y)^2}{(x+y)^2(x-y)^2}=\dfrac{17}{2} & \end{matrix}\right.$

Đặt $x+y=a, x-y=b$, ta có hệ:

$\left\{\begin{matrix} a+\dfrac{1}{a}+b+\dfrac{1}{b}=5 & \\ \\a^2+\dfrac{1}{a^2}+b^2+\dfrac{1}{b^2}=\dfrac{17}{2}& \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+\dfrac{1}{a}+b+\dfrac{1}{b}=5  & \\   \\(a+\dfrac{1}{a})^2+(b+\dfrac{1}{b})^2=\dfrac{25}{2} & \end{matrix}\right.$

Bài toán 16: Giải phương trình:

$$(2x-1)(\sqrt{x+2}+\sqrt[3]{3x+2})=4(x+1)$$

cái này có công thức định kì

Là công thức gì vậy bạn? Bạn viết ra được không?

Mà giải hộ mình mấy bài ý luôn.

 Mình giải thế này

  Ta tìm được ngay công thức tổng quát là

          $A=a(1+r)^{n}$  (với a là số tiền giử lúc đầu  

                                          r là % lãi suất

                                          n là số tháng

                                          A là vốn +lãi sau các tháng)

 a,$A=a(1+r)^{n}=100000000(1+\frac{0,65}{100})^{120}=217597302,4$

 b, Mình ngu nên chưa hiểu cho lắm

         Đây là kì hạn 3 thánh rút lần hay là như câu a hở bạn

 Công thức chắc vẫn như trên nên có bạn cứ nhân theo cách bạn là OK

mình nghĩ bài này không áp dụng công thức trên được đâu. a là số tiền gốc. do người này không rút theo định kỳ nên theo từng đợt 6 tháng thì số tiền gốc sẽ tăng lên. nếu tính từng số tiền gốc thì phải tính 20 lần mình nghĩ phải có cách nào đó ngắn gọn.

 Mình giải thế này

  Ta tìm được ngay công thức tổng quát là

          $A=a(1+r)^{n}$  (với a là số tiền giử lúc đầu  

                                          r là % lãi suất

                                          n là số tháng

                                          A là vốn +lãi sau các tháng)

 a,$A=a(1+r)^{n}=100000000(1+\frac{0,65}{100})^{120}=217597302,4$ (chưa làm tròn)

 b, Theo công thức trên ta tính được sồ tiền là 462328035,5

         còn công thức tổn quát mình làm thế này

  Gọi A là tiền vốn + lãi khi rút
Tháng 1 (n = 1): A = a + ar = a(1 + r)
Tháng 2 (n = 2): A = a(1 + r) + a(1 + r)r=$a(1+r)^{2}$

  .......................

 Tháng n (n=n):A = $a(1+r)^{n-1}+a(1+r)^{r-1}.r=a(1+r)^{r}$

 Vậy đó
 

    

Cái này phải là mũ 20 vì 10 năm, 6 tháng là 20 kì hạn.

5 hay 3 vậy bạn

  $\frac{1}{2001} hay \frac{2001}{1}$ vậy bạn

Mình chả tìm ra công thức tổng quát ở đâu hết .Hic

đề chính xác là thế đấy bạn ạ.  Câu này thì mình làm được rồi:

Tử $A=1+\frac{1}{2011}+..+\frac{1}{1005}+\frac{1}{1007}=2012(\frac{1}{1.2011}+..+\frac{1}{1005.1007})$

Mẫu $B=\frac{2012-1}{1}+..+\frac{2012-2011}{2011}=2012+2012.(\frac{1}{2}+..+\frac{1}{2011})-2011=2012(\frac{1}{2}+..+\frac{1}{2012})$

1.Cho đa thức $P(x)=(1+2x+3x^2)^{15}=a_0+a_1x+a_2x^2+..+a_{30}x^{30}$.

a.tính tổng các hệ số bậc lẻ của x.

b. Tính chính xác giá trị của biểu thức: $A=a_0-2a_1+4a_2-8a_3+..-536870912a_29+1073741824a_30$

2. Tính $\frac{A}{B}$

$A=\frac{1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+..+\frac{1}{2009}+\frac{1}{2011}}{\frac{1}{1.2011}+\frac{1}{3.2009}+\frac{1}{5.2007}+..+\frac{1}{2009.3}+\frac{1}{2011.1}}$

$B=\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+..+\frac{1}{2012}}{\frac{2011}{1}+\frac{2010}{2}+..+\frac{1}{2001}}$

3. Cho $f(x)=\frac{x^2+4x-2}{x^2+3}$. Tìm min max (cái này có bấm bằng máy đc không nhỉ?)

4. Một người gởi tiết kiệm 100tr đồng vào 1 ngân hàng theo mức kỳ hạn 6 tháng vs lãi suất 0,65%/tháng

a. Hỏi sau 10 năm ng đó nhận dc bao nhiêu tiền (lãi+vốn). biết rằng ng đó ko rút lãi ở tất cả các định kỳ trc đó.

b. Nếu vs số tiền trên, ng đó gửi tiết kiệm theo mức kỳ hạn 3 tháng vs lãi suất 0,63%/tháng thì sau 10 năm dc bao nhiêu tiền.

Đã fix.

Góp 1 đề nữa. 

Bài 4 một cách nữa.

 $(\sqrt{\frac{a}{b+c+2a}}+\sqrt{\frac{b}{c+a+2b}}+\sqrt{\frac{c}{a+b+2c}})=A$

Áp dụng BCS:

$A^2\leq 3(\frac{a}{b+c+2a}+\frac{b}{c+a+2b}+\frac{c}{a+b+2c})$(1)

Mặt khác:

$\frac{a}{(a+b)+(c+a)}\leq \frac{1}{4}(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c});$

Câu 3 ( 4 điểm )

          a, Cho a+b+c = 0, tính giá trị biểu thức 

P =$\frac{1}{b^{2}+ c^{2}-a^{2}} + \frac{1}{a^{2}+c^{2}-b^{2}} + \frac{1}{a^{2}+b^{2}-c^{2}}$

     

$P=\frac{1}{(b+c)^2-a^2-2bc}+\frac{1}{(a+c)^2-b^2-2ac}+\frac{1}{(a+b)^2-c^2-2ab}=\frac{-1}{2b}(\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{ab})=0$

Đề số 2

Câu 1: 1. Gpt: $\sqrt{2-x^2}+\sqrt{x^2+8}=4$ (1)

 

dk: $-\sqrt{2}\leq x\leq \sqrt{2}$.

Do 2 vế ko âm nên ta có:

(1) $\leftrightarrow 2\sqrt{(2-x^2)(x^2+8)}=6$

      $\leftrightarrow (2-x^2)(x^2+8)=9$

 $\leftrightarrow -x^4-6x^2+7=0$

Áp dụng vi-et (các hệ số cộng với nhau bằng 0).Dễ Dàng giải dc pt này. 

Đề kiểm tra đội tuyển mình nhé!Khó choáng quá làm được 1 phần     (150 phút)

 

Câu 2(2 điểm):Cho các số không âm a,b,c thỏa mãn:$a+b+c=2$.Tìm giá trị nhỏ nhất giá trị lớn nhất của biểu thức

$A=\frac{1+\sqrt{a}}{1+\sqrt{b}}+\frac{1+\sqrt{b}}{1+\sqrt{c}}+\frac{1+\sqrt{c}}{1+\sqrt{a}}$

 

Áp dụng AM-GM 3 số là ra ngay.

$min_A=3 \Leftrightarrow a=b=c=\frac{2}{3}$

_____________

Em chỉ biết làm câu dễ thôi.

Bài 1. CMR: Với mọi $n \in Z^+$ số: $A(n)=5^n(5^n+1)-6^n(3^n+2^n)$ chia hết cho 91

Bài 2. Cho $x,y \geq 0$ thỏa mãn $xy=1$. Tìm max:

$A=\frac{x}{x^4+y^2}+\frac{y}{x^2+y^4}$

Bài 3. GPT: 

$\sqrt{x+1}+2(x+1)=x-1+\sqrt{1-x}+3\sqrt{1-x^2}$

Bài 4. Xét 1 hình vuông và 1 hình tam giác. Nếu 2 hình có diện tích bằng nhau thì hình nào có chu vi lớn hơn.

Bài 5. Cho tam giác ABC có $\widehat{BAC}=45^o$, BC=a, O là tân đường tròn ngoại tiếp; B',C' tương ứng là chân đường cao hạ từ B,C xuống AC, AB. Gọi O' là điểm đối xứng O qua B'C'.

a. CM: A,B'O',C' cùng năm trên 1 đường tròn. 

b. Tính B'C' theo a.

2a. $2\sqrt{x^2-x+2}-\sqrt{2x^2+4x}=x-2$ (nghĩ mà muốn làm gì cái câu này.)

6. Cho $a,b,c,d$ là các số dương thỏa mãn $a^2+b^2+(a-b)^2=c^2+d^2+(c-d)^2$

Chứng minh: $a^4+b^4+(a-b)^4=c^4+d^4+(c-d)^4$

Câu này dễ rồi.

 

b. Cho $a,b,c \geq 0$ thỏa mãn $ab+bc+ac \leq abc$.

CMR: $\frac{8}{a+b}+\frac{8}{b+c}+\frac{8}{c+a}\leq \frac{b+c}{a^2}+\frac{c+a}{b^2}+\frac{a+b}{c^2}+2$

DỄ cm được BDT: $\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2} \geq \frac{8}{(x+y)^2}(1)$

Từ (1) ta có: $\dfrac{8}{a+b}+\dfrac{8}{b+c}$ $+\dfrac{8}{c+a}\leq (a+b)(\dfrac{1}{a^2}$ $+\dfrac{1}{b^2})+(b+c)(\dfrac{1}{b^2} +\frac{1}{c^2})+(a+c)(\dfrac{1}{a^2} +\frac{1}{c^2})$

Mặt khác: $VP\geq 2(\sum  \frac{1}{a})$

Kết hợp với giả thiết là chứng minh được.

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=3$

2. Cho các số x,y thỏa mãn: $x^4+x^2.y^2+y^4=4; x^8+x^4y^4+y^8=8$

Tính: $A=x^{12}+x^2.y^2+y^{12}$

 

Đặt cho gọn vậy $x^2=a;y^2=b$ (a,b 

ta có hệ:

$\left\{\begin{matrix} a^2+ab+b^2=a & \\ a^4+a^2b^2+b^4=8 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (a+b)^2-ab=4 & \\ (a^2+b^2)^2-a^2b^2=8& \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (a+b)^2=4+ab & \\ ((a+b)^2-2ab)^2-a^2b^2=8 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (a+b)^2=4+ab & \\ (4-ab)^2-a^2b^2=8 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (a+b)^2=4+ab & \\ ab=1& \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=\sqrt{5} & \\ ab=1 & \end{matrix}\right.$

Từ đó tìm được a,b tìm được x,y.

Tìm được $x^12+x^2y^2+y^12$