Posted by
SpoilerVì số nguyên dương $n$ là bội của $2003$ nên $n$ nhỏ nhất là 2003 có tổng các chữ số là $5$
Ta sẽ chứng minh $MinS_{n}=5$.Thật vậy,giả sử tồn tại $S(n)<5$
Khi đó $S(n)\epsilon \left [ 2;4 \right ]$
Suy ra chữ số tận cùng của bội 2003 lần lượt là $1,2,3$
+Nếu bội của 2003 có tận cùng là $1$ thì tồn tại 1 số $\overline{P7}$ sao cho $2003.\overline{P7}$ có $S(n)<5$.
$2003.\overline{P7}=20030.P+2003.7\Rightarrow P<2$.Thử các giá trị thì nhận thấy $S(n)$ trong trường hợp này luôn lớn hơn $5$ ($P$ là số tự nhiên)
+Nếu bội của 2003 có tận cùng là $2$ thì tồn tại 1 số $\overline{P4}$ sao cho $2003.\overline{P4}$ có $S(n)<5$.
$2003.\overline{P4}=20030.P+2003.4\Rightarrow P< 2$.Thử các giá trị thì nhận thấy $S(n)$ trong trường hợp này luôn lớn hơn $5$ ($P$ là số tự nhiên)
+Nếu bội của 2003 có tận cùng là $3$ thì tồn tại 1 số $\overline{P1}$ sao cho $2003.\overline{P1}$ có $S(n)<5$.
$2003.\overline{P1}=20030.P+2003.1\Rightarrow P<2$.Thử các giá trị thì nhận thấy $S(n)$ trong trường hợp này luôn lớn hơn $5$ ($P$ nguyên dương)
Vậy $MinS_{n}=5$ khi $n=2003$
Sao lại có chỗ này???
. Mình nghĩ không cần liên hợp mà chỉ cần cộng lại với nhau là xong 
nhưng thôi kệ, làm cho vui vậy : 
