xét bảng (5x5) mỗi ô của bảng được tô bằng 1 trong 2 màu đen trắng.Chứng minh rằng có tồn tại 4 ô cùng màu là 4 ô góc của hình chữ nhật

Tìm x,y,z nguyên dương thỏa mãn $2^{x}+5^{y}=z^{2}$

$PT<=>(z-2^x)(z+2^x)=3^y$ mà $\gcd(z-2^x,z+2^x)=1$
nên $z-2^x=1$ và $z+2^x=3^a$
$<=>2^{x+1}=3^a-1<=>3^a=2^{x+1}+1$ $(*)$
Xét $x=1=>PT$ vô nghiệm
Xét $x=2=>a=y=2<=>z=5$
Xét $x>2$:
$C1:$ Dễ thấy $2^{x+1}+1=3p$ với $(p$ là số nguyên tố $)$
$<=>3p=3^a<=>p=3^{a-1}$ (vô lí)
Suy ra $PT(*)$ vô nghiệm khi $x>2$

$C2:$ Áp dụng định lý $Zsigmondy$ suy ra $2^{x+1}+1$ tồn tại thừa số nguyên tố $p$ sao cho $2^{2+1}+1=9$ không chia hết cho $p$
Điều này vô lí nên $PT(*)$ vô nghiệm
Suy ra $(x,y,z)=(2,2,5)$

sao lại có cách này

Tìm x,y,z nguyên dương sao cho $4^{x}+3^{y}=z^{2}$

$PT<=>(z-2^x)(z+2^x)=3^y$ mà $\gcd(z-2^x,z+2^x)=1$
nên $z-2^x=1$ và $z+2^x=3^a$
$<=>2^{x+1}=3^a-1<=>3^a=2^{x+1}+1$ $(*)$
Xét $x=1=>PT$ vô nghiệm
Xét $x=2=>a=y=2<=>z=5$
Xét $x>2$:
$C1:$ Dễ thấy $2^{x+1}+1=3p$ với $(p$ là số nguyên tố $)$
$<=>3p=3^a<=>p=3^{a-1}$ (vô lí)
Suy ra $PT(*)$ vô nghiệm khi $x>2$

$C2:$ Áp dụng định lý $Zsigmondy$ suy ra $2^{x+1}+1$ tồn tại thừa số nguyên tố $p$ sao cho $2^{2+1}+1=9$ không chia hết cho $p$
Điều này vô lí nên $PT(*)$ vô nghiệm
Suy ra $(x,y,z)=(2,2,5)$

mình mới thcs thôi bạn à,cái định lý cuối mình ko biết?

Tìm x,y nguyên dương sao cho $x^{2}y^{4}-y^{3}+1$ là số chính phương

Tìm tất cả x,y tự nhiên thỏa mãn phương trình $\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{2016}$

Làm sao bạn nghĩ ra được để S có tận cùng 16,016,2016 thì a phải có tận cùng là 1504,3496,8496,996,5996?

Tím sô chính phương nhỏ nhất có 4 chữ số tận cùng là 2016

tìm p,q,n nguyên tố để p(p+1)+q(q+1)=n(n+1)

Tìm n min có tính chất,từ n số vô tỷ bất kì luôn tồn tại 3 số mà tổng 2 số bất kỳ trong 3 số là số vô tỷ

$0<a\leq b\leq c\leq 9 ,b+c\leq 13; a+b+c=14$

Tìm min Q=$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$

cho a,b,c số thực không âm thỏa mãn (a-b)(b-c)(c-a)=4.Chứng minh rằng a+b+c>=$2\sqrt{3}$

a,b,c>0 thỏa mãn a+b+c=3 Chứng minh rằng :

$\frac{a+3}{3a+bc}+\frac{b+3}{3b+ca}+\frac{c+3}{3c+ab}$

$a,b,c>0$ thỏa mãn $a+b+c=1$ tìm min $Q=ab+bc+ca+\frac{3}{2}\left ( \frac{1}{a} +\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right )$

Cho $x^{2017}+y^{2017}=2(xy)^{1008}$.Tìm max xy

Cho x+y+z=0  $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ Tìm max min $Q=x^{3}+y^{3}+z^{3}$

$a,b,c\geq 0$ thỏa mãn $a+b+c=1$. Tìm max min $Q=\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}$

Tìm max của A=$\sum \sqrt{\frac{ab}{a^2+b^2+2c^2}}$

Tìm x,y nguyên để A=$\frac{x^{3}+y^{3}}{x^{2}+y^{2}+xy}$ là số nguyên tố

CMR:trong 39 số tự nhiên liên tiếp tồn tại 1 số có tổng các chữ số chia hết cho 11

1. Chứng minh rằng (n+1)(n+2)(n+3)...3n chia hết cho $3^{n}$ với mọi n

2. $x^{2017}+y^{2017}=2(xy)^{1008}$ Tìm maxP=xy 

3. a,b,c,d nguyên dương thỏa mãn $2a^{2}+ab+b^{2}=2c^{2}+cd+2d^{2}$ Chứng minh rằng a+b+c+d hợp số

đăng xog tự giải thì đăng làm gì?

Tam giác ABC vuông tại A. AH vuông góc BC.Gọi I1, I2 là tâm nội tiếp tam giác AHB và tam giác AHC.Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tâm I tiếp xúc BC tại D.Gọi T là giao I1I2 với AH.Chứng minh rằng $\frac{1}{AT}=\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}$

Cho tam giác ABC có đường tròn nội tiếp tâm I