Đặt $n=2017$. Gọi $S_n$ là số hoán vị thỏa mãn đề. Ta sẽ chứng minh với $n\geq 3$, $S_n=3.2^{n-2}$.
Với $n=3$, dễ thử.
Giả sử $n-1$ đúng. Xét một hoán vị với $n\geq 4$ thỏa mãn. Ta có:
$n-1|2\left ( a_1+a_2+...+a_{n-1} \right )=2(1+2+...+n-a_n)=n(n+1)-2a_n=(n-1)(n+2)-2(a_n-1)\Rightarrow n-1|2 (a_n-1)$
$n-2|2(a_1+a_2+...+a_{n-2})=(n-2)(n+3)+2(3-a_{n-1}-a_n)\Rightarrow n-2|2(a_{n-1}+a_n-3)$
TH1:$n-1$ lẻ suy ra $a_n=1,n$
TH2:$n-1$ chẵn, giả sử $a_n=\frac{n+1}{2}$. Ta có $n-2$ lẻ và $0<\frac{n-3}{2}\leq a_{n-1}+a_n-3\leq \frac{3n-5}{2}<2(n-2)$ suy ra $a_{n-1}+a_n-3=n-2\Rightarrow a_{n-1}=a_n=\frac{n+1}{2}$(vô lý). Vậy $a_n=1,n$
THa:$a_n=n$. Ta thấy các số $a_1,...,a_{n-1}$ là hoán vị của $1,...,n-1$. Theo giả thiết quy nạp, số cách chọn là $S_{n-1}$
THb:$a_n=1$. Ta thấy các số $(a_1-1),...,(a_{n-1}-1$ là hoán vị của $1,...,n-1$. Theo giả thiết quy nạp, số cách chọn là $S_{n-1}$
Vậy $S_n=2S_{n-1}=3.2^{n-2}$, bài toán được chứng minh. Vậy $S_{2017}=3.2^{2015}$