Gọi I, K thứ tự là các điểm đối xứng của trực tâm H của tam giác ABC qua các cạnh AB, AC.

Có I, K thuộc (O) và DE là đường trung bình của tam giác HIK $\Rightarrow DE//IK$.

Có tứ giác BCDE nội tiếp, suy ra $\measuredangle DBE=\measuredangle DCE$

Xét (O), có $\measuredangle DBE=\measuredangle DCE$, suy ra 2 cung AI; AK bằng nhau.

suy ra OA vuông góc với IK. suy ra OA vuông góc với DE.

Tìm Min S với $S=\frac{a}{b+c-a}+\frac{4b}{c+a-b}+\frac{9c}{a+b-c}$

trong đó a,b,c là 3 cạnh của một tam giác.

Cho tam giác ABC. Vẽ về phía ngoài tam giác ABC hai tam giác đều ABF và ACE và một tam giác cân BCD có gó BDC bằng $120^0$. Chứng minh DA vuông góc FE.

Cho tam giác ABC có $\angle BAC=105^{0}$, biết trung tuyến BD cắt tia phân giác góc C tại K và $KB = KC$. Tính các góc của tam giác ABC.

Tìm số nguyên tố p thỏa mãn: $\frac{p+1}{2}$ và $\frac{p^2+1}{2}$ là các số chính phương.

Tìm số nguyên tố $p$ để $4p+1$ là số chính phương?

Có 4p+1 là 1 số chính phương lẻ nên $4p + 1 = 8k+1$ suy ra $p=2k$, p nguyên tố, suy ra p = 2.

CMR: $31.32.33.....60 - 1.2.3.4......30$ chia hết cho 61?

Cho a,b,c là các số dương và $ a+b+c = 1$
Tìm giá trị lớn nhất của $P=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Đặt $ x - 1 =t $ có $ x = t +1$
Suy ra: $ x^{100} = (t+1)^{100}$
Theo công thức khai triển nhị thúc Newton có:
$ (t+1)^{100} = 1^{100}+ 100.1^{99}.t + 100.99/2. t^2 + ......$ chia $t^2$ dư $1+100t$
vậy chia $x^{100}$ cho $(x-1)^{2}$ dư $100x - 99$

Cho tam giác ABC cân tại A, có AB = AC = b; BC = a. Có đường phân giác BD cắt AC tại D sao cho tam giác BAD cân tại B.
Chứng minh: $(1+\frac{a}{b})(\frac{a}{b}-\frac{b}{a})=1;$

Bài 4 Cho a,b,x,y là những số thực thỏa mãn

$\left\{\begin{matrix} & \frac{x^{4}}{a} +\frac{y^{4}}{b} &=\frac{1}{a+b} \\ & x^{2} +y^{2}&=1 \end{matrix}\right.$

Chứng minh rằng:

$\frac{x^{2012}}{a^{1006}}+\frac{y^{2012}}{y^{1006}}=\frac{2}{(a+b)^{1006}}$

Ta có: $ (x^2+y^2)^2 = 1$ nên $\frac{x^{4}}{a} +\frac{y^{4}}{b} = \frac{x^4+2x^2y^2+y^4}{a+b} $
Chuyển vế và quy đồng, khử mẫu ta được:
$(bx^2-ay^2)^2 = 0$
Suy ra: $ bx^2 = ay^2$ hay $\frac{x^2}{a}=\frac{y^2}{b}=\frac{x^2 +y^2}{a+b}=\frac{1}{a+b}$
Suy ra:
$\frac{x^{2012}}{a^{1006}}=\frac{y^{2012}}{y^{1006}}=\frac{1}{(a+b)^{1006}}$
Suy ra ĐPCM.

Cho a, b, c là 3 số dương và $a + b + c =1$ . Chứng minh:
$\frac{10a}{a^2+1}+\frac{10b}{b^2+1}+\frac{10c}{c^2+1}\leqslant 9;$

Tìm các chữ số a, b, c biết:
$\overline{abc}\vdots 7$ và $ (a+b+c) \vdots 7 $.

Cho tam giác ABC nội tiếp (O;R) và ngoại tiếp (I). Biết I nằm trên đường tròn đi qua B, O, C và BC = 4cm. Tính R?

Tính $ a^4 + b^4$, biết a và b là nghiệm của hệ:
$\left\{\begin{matrix} x+y =4& & \\ (x^2+y^2)(x^3+y^3)&=280 & \end{matrix}\right.$

Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB, M là điểm thuộc nửa đường tròn. Gọi H là hình chiếu của M trên AB. Tìm vị trí điểm M để $S_{AMH}$ lớn nhất.

Cho tam giác ABC vuông cân tại A, M là điểm thuộc cạnh AC, Kẻ tia Ax vuông góc BM cắt BC tại H, Gọi H là trung điểm của CK, kẻ KI vuông góc với BM cắt AB tại I. Tính $\widehat{AIM}$.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $3x+4y$, biết:
$ x^2 + y^2 = 14x+6y+6$.

các đường giác AD, CE của các góc ở đáy của tam giác cân ABC cắt nhau ở O, tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ODC nằm trên AC. tính số đo góc BAC?

Gọi giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ODC với AC là K.
Có KC là đường kính, CO là phân giác nên hai cung OK, OD bằng nhau.
Tam giác BAC cân tại B nên 2 góc OAK và OCK bằng nhau. Mà OCK là góc nội tiếp, OAK là góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn, do đó $ sđ DC - sđ OK = sđ OK $.
Vậy $ sđ DC = 2 sđ OK = 2 sđ OD = sđ DK $.
Suy ra D là chính giữa cung KC, hay góc DCK = 45 độ.
Vậy góc ABC = 90 độ.
( thông cảm, m ko tìm thấy kí hiệu cung)

Cho tam giác ABC . M , N là trung điểm CA , CB .I là giao điểm của tia NM với đường tròn ngoại tiếp
tam giác ABC .CMR:$\frac{BC}{IA}=\frac{CA}{IB}+\frac{AB}{IC}$

Gọi G là giao điểm của AC và BI.
Có: $\frac{BC}{IA}=\frac{GC}{GI}$ và $\frac{AB}{IC}=\frac{GA}{GI}$
Suy ra: $\frac{BC}{IA}- \frac{AB}{IC}=\frac{GC-GA}{GI}=\frac{2GM}{GI}$;
Mà MI // AB nên $\frac{GM}{GI}=\frac{GA}{GB}=\frac{GM+GA}{GI+GB}=\frac{AM}{IB}$
suy ra: $\frac{2GM}{GI}=\frac{2AM}{IB}$.
Vậy: $\frac{BC}{IA}=\frac{CA}{IB}+\frac{AB}{IC}$

Cho tam giác ABC cân tại A, có trực tâm H, AH = 14cm; HB = HC = 30cm. Gọi D là trung điểm của BC, tính AD.
( Đây là một bài toán thi Olympic.vn, có nhiều lời giải, nhưng m thấy chưa hợp lý, vì dài dòng, mất thời gian)

a) Gọi giao điểm của CE với (O) là J. Có J là điểm chính giữa cung AB, và cung CJ bằng tổng 2 cung CB và AJ. Khi đó JCM là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây chắn cung CJ, CEM là góc có đỉnh bên trong đường tròn, do đó 2 góc này bằng nhau, vậy nên tam giác MEC cân tại M, suy ra MC=MD, vậy ME=MD=MC.
b)

( m bận, mai trả lời tiếp, xin lỗi nha! )

Chứng minh rằng nếu $x,y$ là các số nguyên dương thỏa mãn phương trình $$x^5+y^5=2x^2y^2$$ thì $1-xy$ là số chính phương.

Chia 2 vế cho $x^2y^2$ có
$\frac{x^5+y^5}{2x^2y^2}=1$.
Bình phương hai vế có:
$\frac{x^{10}+y^{10}+2x^5y^5}{4x^4y^4}=1$.
Suy ra $ 1 -xy = \frac{x^{10}+y^{10}+2x^5y^5}{4x^4y^4}-xy = \frac{x^{10}+y^{10}-2x^5y^5}{4x^4y^4} = (\frac{x^5-y^5}{2x^2y^2})^2$

Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức: ( Lấy trên Violympic)
a) $ sin ^{4} x + cos^{4} x $;
b) $ sin ^{6} x + cos^{6} x $;

Có $ Q= \frac{x-1+9}{\sqrt{x}+1}=\sqrt{x}-1+ \frac{9}{\sqrt{x}+1}=\sqrt{x}+1+ \frac{9}{\sqrt{x}+1}-2$
Áp dụng BĐT Côsi có
$ Q \geq 2.3-2 = 4$, Dấu " = " xảy ra nếu $ \sqrt{x} + 1 = 9 $ hay $ x = 4$.
.......