iloveyouproht nội dung
Có 153 mục bởi iloveyouproht (Tìm giới hạn từ 09-06-2020)
#672341 Chứng minh
Đã gửi bởi iloveyouproht on 21-02-2017 - 21:24 trong Bất đẳng thức và cực trị
#634591 Chứng minh : $\frac{\sqrt{a}}{a+1} + \frac{\sqrt{b}...
Đã gửi bởi iloveyouproht on 21-05-2016 - 22:35 trong Bất đẳng thức và cực trị
Biết a+b+c=2 . Chứng minh : $\frac{\sqrt{a}}{a+1} + \frac{\sqrt{b}}{a+b+1} + \frac{\sqrt{c}}{a+b+c+1} \geq \sqrt{2}$
#590430 AI giúp với ạ
Đã gửi bởi iloveyouproht on 23-09-2015 - 12:41 trong Đại số
Chứng minh : căn 2 + căn 5 là số vô tỷ )
#650462 $\frac{\sqrt{a}}{1+a} + \fr...
Đã gửi bởi iloveyouproht on 20-08-2016 - 10:15 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho a,b,c dương thỏa mãn : a+b+c=2
Chứng Minh : $\frac{\sqrt{a}}{1+a} + \frac{\sqrt{b}}{1+a+b} + \frac{\sqrt{c}}{1+a+b+c}\leq \sqrt{2}$
#633284 Chứng minh : $y( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} ) + \frac{1}{y...
Đã gửi bởi iloveyouproht on 15-05-2016 - 16:54 trong Bất đẳng thức và cực trị
cho $z\geq y\geq x> 0$ Chứng minh : $y( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} ) + \frac{1}{y}(x+z) \leq (x+z)(\frac{1}{x} + \frac{1}{z} )$
#667970 cho a,b,c là các số thực dương chung minh rang
Đã gửi bởi iloveyouproht on 11-01-2017 - 10:31 trong Bất đẳng thức và cực trị
cho a,b,c là các số thực dương chung minh rang
$\sqrt{\frac{a+b}{c}}+\sqrt{\frac{b+c}{a}}+\sqrt{\frac{c+a}{b}}\geq 2(\sqrt{\frac{c}{a+b}}+\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}})$
Ta có :
VT=$\sum \sqrt{\frac{a+b}{c}}\geq \sum \sqrt{\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^{2}}{2c}} \geq \sum \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{2c}}=\sum \sqrt{a}(\frac{1}{\sqrt{2b}}+\frac{1}{\sqrt{2c}})\geq \sum \sqrt{a}\frac{4}{\sqrt{2}(\sqrt{c}+\sqrt{b})}\geq \sum \sqrt{a}\frac{4}{2\sqrt{b+c}}=2(\sum \sqrt{\frac{a}{b+c}})$=VP=> ĐPCM
#669038 $\sqrt{a^2+1}+\sqrt{b^2+1}+\sqrt...
Đã gửi bởi iloveyouproht on 20-01-2017 - 16:52 trong Bất đẳng thức và cực trị
1) Cho các số dương thỏa mãn: $abc\geq 1$
CMR: $\sqrt{a^2+1}+\sqrt{b^2+1}+\sqrt{c^2+1}\leq \sqrt{2}(a+b+c)$
2) Cho các số dương thỏa mãn: $xyz=1$
CMR: $\frac{x^4y}{x^2+1}+\frac{y^4z}{y^2+1}+\frac{z^4x}{z^2+1}\geq \frac{3}{2}$
1.Ta có :
$\sqrt{a^{2}+1}+\sqrt{2a}\leq \sqrt{2(a^{2}+1+2a)}\doteq \sqrt{2}(a+1)$
Tương tự , cộng vế theo vế ta đc : $\sum \sqrt{a^{2}+1}+\sum \sqrt{2a}\leq \sqrt{2}(\sum a)+3\sqrt{2}$
=>$\sum \sqrt{a^{2}+1}\leq \sqrt{2}(\sum a)+3\sqrt{2}-\sum \sqrt{2a}\leq \sqrt{2}(\sum a)$(đpcm)
1) Cho các số dương thỏa mãn: $abc\geq 1$
CMR: $\sqrt{a^2+1}+\sqrt{b^2+1}+\sqrt{c^2+1}\leq \sqrt{2}(a+b+c)$
2) Cho các số dương thỏa mãn: $xyz=1$
CMR: $\frac{x^4y}{x^2+1}+\frac{y^4z}{y^2+1}+\frac{z^4x}{z^2+1}\geq \frac{3}{2}$
#674093 Max $\sum \frac{a}{a^3+b^2+c}$
Đã gửi bởi iloveyouproht on 12-03-2017 - 19:46 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a+b+c=3
Tìm GTLN:
$P=\frac{a}{a^3+b^2+c}+\frac{b}{b^3+c^2+a}+\frac{c}{c^3+a^2+b}$
Ta có :
P=$\sum \frac{a}{a^{3}+b^{2}+c}=\sum \frac{a(\frac{1}{a}+1+c)}{(a^{3}+b^{2}+c)(\frac{1}{a}+1+c)}\leq \frac{\sum a+\sum ab+3}{(\sum a)^{2}}\leq \frac{\sum a+\frac{1}{3}(\sum a)^{2}+3}{(\sum a)^{2}}=1$
Dấu '=' xảy ra khi a=b=c=1
#676063 tìm gtnn của biểu thức
Đã gửi bởi iloveyouproht on 03-04-2017 - 00:55 trong Bất đẳng thức và cực trị
cho x,y là 2 số dương thay đổi.tìm gtnn của biểu thức:$s=\frac{(x+y)^{2}}{x^{2}+y^{2}}+\frac{(x+y)^{2}}{xy}$
$S=(x+y)^{2}(\frac{1}{x^{2}+y^{2}}+\frac{1}{2xy})+\frac{(x+y)^{2}}{2xy}\geq (x+y)^{2}\frac{4}{(x+y)^{2}}+\frac{4xy}{2xy}=6$
#685370 CMR: $\sum \sqrt{\frac{cosAcosB}{cosC...
Đã gửi bởi iloveyouproht on 23-06-2017 - 08:59 trong Bất đẳng thức và cực trị
Giả sử $A,B,C$ là ba góc của một tam giác nhọn.
Chứng minh rằng:
$\sqrt{\frac{cosAcosB}{cosC}}+\sqrt{\frac{cosBcosC}{cosA}}+\sqrt{\frac{cosCcosA}{cosB}}> 2$
Đào mộ ạ :v
____________________________________
BĐT <=> $\sum \sqrt{\frac{(a^{2}+b^{2}-c^{2})(c^{2}+a^{2}-b^{2})}{2a^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2})}}> 2$
Đặt : $a^{2}+b^{2}-c^{2}=x;b^{2}+c^{2}-a^{2}=z;c^{2}+a^{2}-b^{2}=y$
Ta cần cm : $\sum \sqrt{\frac{xy}{z(x+y)}}>2$
Đúng vì : $\sum \sqrt{\frac{xy}{z(x+y)}}=\frac{xy}{\sqrt{xy.z(x+y)}}\geq 2(\sum \frac{xy}{xy+yz+zx})=2$
Dấu = xảy ra khi một trong các số xy;yz;zx=0 . Điều này không thể do đó :
$\sum \sqrt{\frac{xy}{z(x+y)}}>2$ hay : $\sum \sqrt{\frac{CosACosB}{CosC}}>2$
#678680 $(\sum a^{2}-\sum ab)\left ( \sum \fr...
Đã gửi bởi iloveyouproht on 26-04-2017 - 20:38 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho a,b,c là các số thực đôi một khác nhau. Chứng minh rằng:
$\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca \right )\left ( \frac{1}{( a-b)^{2}}+\frac{1}{( b-c)^{2}}+\frac{1}{( c-a)^{2}} \right )\geq \frac{27}{4}$
bài toán 4 nha b
#678428 1.cho a,b,c>0 và (a+1)(b+1)(c+1)=8 cmr abc(a+b+c)<3
Đã gửi bởi iloveyouproht on 23-04-2017 - 20:13 trong Bất đẳng thức và cực trị
2.cho a,b,c>0 và $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$ cmr $\sum \frac{1}{3-ab}\leq \frac{3}{2}$
đã có ở đây : https://diendantoanh...32/#entry676259
#659631 Cho a, b, c là các số thực dương bất kì thỏa mãn a+b+c=2
Đã gửi bởi iloveyouproht on 27-10-2016 - 22:08 trong Bất đẳng thức và cực trị
a+b+c = 2 Chứng minh rằng : $(a+b-ab)(b+c-bc)(c+a-ca)\leq 1-abc$
Đặt $a=1-x;b=1-y;c=1-z$ suy ra $x+y+z=1$
$\Rightarrow a+b-ab=2-x-y-(1-x)(1-y)=1-xy$
Chứng minh tt ta có $b+c-bc=1-yz;c+a-ac=1-zx$
Ta cần cm:$(1-xy)(1-yz)(1-zx)\leq 1-(1-x)(1-y)(1-z)\Leftrightarrow (xyz)^{2}-xyz(x+y+z)+xyz+x+y+z-1\geq 0\Leftrightarrow (xyz)^{2}\geq 0$ (luôn đúng do $x+y+z=1$)
Dấu ''='' xảy ra khi $a=b=1;c=0$ và các hoán vị
#676062 cho 3 số thực dương x,y,z thỏa mãn
Đã gửi bởi iloveyouproht on 03-04-2017 - 00:40 trong Bất đẳng thức và cực trị
cho 3 số thực dương x,y,z thỏa mãn $x+y\leq z$ chứng minh rằng:$(x^{2}+y^{2}+z^{2})(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}})\geq \frac{27}{2}$
#649690 $\sum \frac{1}{a^{2}+b^{2}...
Đã gửi bởi iloveyouproht on 14-08-2016 - 23:05 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=3abc.CMR:
$\frac{1}{a^{2}+b^{2}}+\frac{1}{b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{c^{2}+a^{2}}+\frac{3}{2}\geq 2(\frac{1}{a^{2}+bc}+\frac{1}{b^{2}+ca}+\frac{1}{c^2+ab})$
Từ giả thiết :
=> $\sum \frac{1}{2ab}=\frac{3}{2}$
Ta có : $\sum \frac{1}{a^{2}+b^{2}}+\sum \frac{1}{2ab}\geq \sum \frac{4}{(a+b)^{2}}$
Ta cần cm : $\frac{1}{(a+b)^{2}} + \frac{1}{(b+c)^{2}}\geq \frac{1}{a^{2}+bc}$
<=> $a^{4}+bc(b^{2}+c^{2})\geq 2a^{2}bc+b^{2}c2$ ( đúng theo cauchy )
Cộng vế theo vế ta được ĐPCM
#636492 Tìm Max : P = $\frac{ab}{a^{2}+2b^{2}}$
Đã gửi bởi iloveyouproht on 29-05-2016 - 11:49 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho a,b là 2 số thực dương thỏa mãn điều kiện : ab+4 $\leq$ 2b
Tìm Max : P = $\frac{ab}{a^{2}+2b^{2}}$
#634549 Tìm max $ab+bc+ca$
Đã gửi bởi iloveyouproht on 21-05-2016 - 20:52 trong Bất đẳng thức và cực trị
cho $a,b,c>0$ t/m $(a+b)(b+c)(c+a)=1$. Tìm max $ab+bc+ca$
#634419 Chứng minh
Đã gửi bởi iloveyouproht on 21-05-2016 - 01:34 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho a,b,c >1
Chứng minh $\frac{a^{2}}{b-1} + \frac{b^{2}}{c-1} + \frac{c^{2}}{a-1} \geq 12$
#590437 Ai thi casio giúp mình với ạ
Đã gửi bởi iloveyouproht on 23-09-2015 - 13:02 trong Giải toán bằng máy tính bỏ túi
1) lập quy trình tính ( bằng máy sasio fx 570ES Plus ) : a) $(1+\frac{1}{2})(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3})(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}).......(1+\frac{1}{2}+.....+\frac{1}{10})$
b) $\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+...+\frac{1}{10!}$
c) $a_1=3$ , $a_{n+1}=\frac{\sqrt{a_n^2+a_n}}{a_n^3+2}$
d) Bỏ số hạt kê vào các hộp . Hộp 1 bỏ 1 hạt . Hộp 2 bỏ 3 hạt . hộp 3 bỏ 7 hạt . hộp 4 bỏ 17 hạt . Hỏi đến hộp 20 bỏ bn hạt . lập quy trình tình tổng số hạt của 20 hộp
p/s: ai có thủ thuật gì về lập quy trình chỉ em với ạ . Em k giỏi phần này lắm
2. Từ 1 đến 4^60 có bao nhiêu số chính phương
#643064 $\sum \frac{1}{1+a^{3}} \ge...
Đã gửi bởi iloveyouproht on 01-07-2016 - 09:33 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho a,b,c $\geq$1 Chứng minh : $\sum \frac{1}{1+a^{3}} \geq \frac{3}{1+abc}$
#646645 $(a+b+c)^{3}\geq 4(a+b+c)^{2}$
Đã gửi bởi iloveyouproht on 26-07-2016 - 22:14 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho a,b,c dương . ab+bc+ca=1 . Chứng Minh : $(a+b+c)^{3}\geq 4(a+b+c)^{2}$
#649080 $\frac{1}{1+3a^2}+\frac{1}{...
Đã gửi bởi iloveyouproht on 11-08-2016 - 20:27 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho $a,b,c,d>0$ thỏa mãn: $a+b+c+d=2$. Chứng minh rằng:
$\frac{1}{1+3a^2}+\frac{1}{1+3b^2}+\frac{1}{1+3c^2}+\frac{1}{1+3d^2}\ge \frac{16}{7}$
Ta có : $(\sum \frac{1}{1+3a^{2}})(\sum 1+3a^{2})(1+1+1+1)(1+1+1+1)\geq 256 ( holder)$
Mà : $(\sum \frac{1}{1+3a^{2}})(\sum 1+3a^{2})(1+1+1+1)(1+1+1+1)\geq (\sum \frac{1}{1+3a^{2}})(4+\frac{3(\sum a)^{2}}{4})X16\geq 112(\sum \frac{1}{1+3a^{2}})$
=> $\sum \frac{1}{1+3a^{2}}\geq \frac{16}{7}$( Q.E.D )
#647188 CMR: $ab^2c^3d^5\leq \frac{1}{10^{11}}$
Đã gửi bởi iloveyouproht on 30-07-2016 - 15:35 trong Bất đẳng thức và cực trị
cần gấp
Từ đk ta có : $\frac{1}{1+a}\geq \frac{2b}{1+b} + \frac{3c}{1+c} + \frac{5d}{1+d} \geq 10\sqrt[10]{\frac{b^{2}c^{3}d^{5}}{(1+b)^{2}(1+c)^{3}(1+d)^{5}}}$ (1)
$\frac{1}{1+b}\geq 10\sqrt[10]{\frac{abc^{3}d^{5}}{(1+a)(1+b)(1+c)^{3}(1+d)^{5}}}$
=> $\frac{1}{(1+b)^{2}} \geq 10^{2}\sqrt{\frac{a^{2}b^{2}c^{6}d^{10}}{(1+a)^{2}(1+b)^{2(1+c)^{6}}(1+d)^{10}}}$ (2)
Tương tự :
$\frac{1}{(1+c)^{3}} \geq 10^{3}\sqrt[10]{\frac{a^{3}b^{6}c^{6}d^{5}}{(1+a)^{3}(1+b)^{6}(1+c)^{6}(1+a)^{15}}}$ (3)
$\frac{1}{(1+d)^{5}} \geq 10^{5}\sqrt[10]{\frac{a^{5}b^{10}c^{15}d^{20}}{(1+a)^{5}(1+b)^{10}(1+c)^{15}(1+d)^{20}}}$ (4)
Nhần 1,2,3,4 lại với nhau ta được :
$\frac{1}{(1+a)(1+b)^{2}(1+c)^{3}(1+d)^{5}} \geq 10^{11}\frac{ab^{2}c^{3}d^{5}}{(1+a)(1+b^{2}(1+c)^{3}(1+d)^{5}}$
=> $ab^{2}c^{3}d^{5}\leq \frac{1}{10^{11}}$ (đpcm )
#647034 Tìm GTNN của P=$\frac{1}{2a^{2}+1}+...
Đã gửi bởi iloveyouproht on 29-07-2016 - 15:11 trong Bất đẳng thức và cực trị
#651140 $A=\frac{1}{x^{3}}+\frac{1...
Đã gửi bởi iloveyouproht on 24-08-2016 - 22:18 trong Bất đẳng thức và cực trị
Từ giả thiết ta được : $x^{2}+y^{2}-xy=x^{2}y^{2}$
$(x+y)^{2}=xy(xy+3) => x+y=\sqrt{xy(xy+3)}$ ( do x,y dương )
Ta có :
$\frac{1}{x^{3}} + \frac{1}{y^{3}} = \frac{(x+y)(x^{2}+y^{2}-xy)}{x^{3}y^{3}} = \frac{(x+y)x^{2}y^{2}}{x^{3}y^{3}} = \frac{x+y}{xy}=\frac{\sqrt{xy(xy+3)}}{xy} = \sqrt{\frac{xy+3}{xy}} =\sqrt{1+\frac{3}{xy}}$
Bây h ta chỉ cần tìm min xy là bài toán được giải quyết .
$(x+y)^{2}=xy(xy+3) \leq \frac{(x+y)^{2}}{4}(xy+3) => xy+3\geq 4 => xy\geq 1$
=> Max A = 2
- Diễn đàn Toán học
- → iloveyouproht nội dung