Xét tính tăng giảm của dãy số $U_n=\frac{2-n}{\sqrt{n}}$
Xét hiệu: $u_{n}-u_{n+1}=\frac{2-n}{\sqrt{n}}-\frac{1-n}{\sqrt{n+1}}=\frac{(2-n)\sqrt{n+1}-(1-n)\sqrt{n}}{\sqrt{n(n+1)}}> 0$(vì $(2-n)\sqrt{n+1}> (1-n)\sqrt{n}$)
$\Rightarrow$ Dãy số giảm
Có 1000 mục bởi NTA1907 (Tìm giới hạn từ 06-06-2020)
Đã gửi bởi NTA1907 on 09-10-2016 - 14:39 trong Dãy số - Giới hạn
Xét tính tăng giảm của dãy số $U_n=\frac{2-n}{\sqrt{n}}$
Xét hiệu: $u_{n}-u_{n+1}=\frac{2-n}{\sqrt{n}}-\frac{1-n}{\sqrt{n+1}}=\frac{(2-n)\sqrt{n+1}-(1-n)\sqrt{n}}{\sqrt{n(n+1)}}> 0$(vì $(2-n)\sqrt{n+1}> (1-n)\sqrt{n}$)
$\Rightarrow$ Dãy số giảm
Đã gửi bởi NTA1907 on 15-01-2016 - 22:17 trong Bất đẳng thức và cực trị
Thêm hai bài nữa
3,
Đã gửi bởi NTA1907 on 03-01-2016 - 10:43 trong Hướng dẫn - Trợ giúp - Giải đáp thắc mắc khi sử dụng Diễn đàn
Mọi người cho mình hỏi tại sao lại không dùng được trình soạn thảo công thức toán vậy?
Máy mình cũng bị nek, sao không gõ được Latex vậy nhỉ?
Đã gửi bởi NTA1907 on 21-08-2016 - 09:54 trong Bất đẳng thức và cực trị
Tiếp theo:
Bài 30*: Giả sử $x,y,z\ge 0$ thỏa mãn: $x+y+z=3$. Hãy tìm GTNN của biểu thức: $P=x^4+8y^4+64z^4$
Giả định $x=a, y=b, z=c$
Áp dụng AM-GM ta có:
$x^{4}+a^{4}+a^{4}+a^{4}\geq 4xa^{3}$
$8(y^{4}+b^{4}+b^{4}+b^{4})\geq 32yb^{3}$
$64(z^{4}+c^{4}+c^{4}+c^{4})\geq 256zc^{3}$
Cộng các bất đẳng thức trên vế theo vế ta được:
$P\geq 4xa^{3}+32yb^{3}+256zc^{3}-3a^{4}-24b^{4}-192c^{4}$
Ta tìm $a,b,c$ thoả mãn hệ sau:
$\left\{\begin{matrix} &a+b+c=3 \\ &4a^{3}=32b^{3}=256z^{3} \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} &a=\frac{12}{7} & \\ &b=\frac{6}{7} & \\ &c=\frac{3}{7} & \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow P\geq \frac{5184}{343}$
Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow x=\frac{12}{7}, y=\frac{6}{7}, z=\frac{3}{7}$
Đã gửi bởi NTA1907 on 08-10-2016 - 12:39 trong Bất đẳng thức và cực trị
Hai bài 79 và 80: vpvn và PlanBbyFESN đã cho lời giải đúng. Mình xin tiếp tục:
Bài 81: Cho các số thực thỏa mãn: $x,y,z>0$ và thỏa mãn: $x=y+z+xyz$. Tìm GTLN của biểu thức:
$P=\frac{(z+z\sqrt{xy})^2}{(x+y)(z^2+1)}+\frac{2z}{(z^2+1)\sqrt{z^2+1}}$.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:
$P=\frac{z(z+xyz+2z\sqrt{xy})}{(x+y)(z^{2}+1)}+\frac{2z}{(z^{2}+1)\sqrt{z^{2}+1}}=\frac{z(x-y+2z\sqrt{xy})}{(x+y)(z^{2}+1)}+\frac{2z}{(z^{2}+1)\sqrt{z^{2}+1}}=\frac{z\left [ (x-y).1+2\sqrt{xy}.z \right ]}{(x+y)(z^{2}+1)}+\frac{2z}{(z^{2}+1)\sqrt{z^{2}+1}}\leq \frac{z\sqrt{\left [ (x-y)^{2}+4xy \right ](1+z^{2})}}{(x+y)(1+z^{2})}+\frac{2z}{(z^{2}+1)\sqrt{z^{2}+1}}=\frac{z}{\sqrt{z^{2}+1}}+\frac{2z}{(z^{2}+1)\sqrt{z^{2}+1}}=\frac{z}{\sqrt{z^{2}+1}}+\frac{2z}{\sqrt{z^{2}+1}}\left ( 1-\frac{z^{2}}{z^{2}+1} \right )=\frac{3z}{\sqrt{z^{2}+1}}-\frac{2z^{3}}{(z^{2}+1)\sqrt{z^{2}+1}}$
Khảo sát hàm số $f(t)=3t-2t^{3}$ với $0\leq t=\frac{z}{\sqrt{z^{2}+1}}\leq \frac{1}{\sqrt{2}}$
$\Rightarrow P\leq f(t)\leq \sqrt{2}$
Dấu "=" xảy ra$\Leftrightarrow x=\sqrt{2}+1, y=\sqrt{2}-1, z=1$
Đã gửi bởi NTA1907 on 09-08-2016 - 10:58 trong Bất đẳng thức và cực trị
Bài 6: Xét các số thực không âm thỏa mãn: $x^2+y^2+z^2\le 3y$. Tìm GTNN của:
$P=\frac{1}{(x+1)^2}+\frac{4}{(y+2)^2}+\frac{8}{(z+3)^2}$.
Ta có: $(x+1)^{2}\leq 2(x^{2}+1), (z+3)^{2}\leq 4(z^{2}+3)$
Áp dụng Cauchy-Schwarz ta có:
$\frac{1}{(x+1)^{2}}+\frac{8}{(z+3)^{2}}\geq \frac{1}{2(x^{2}+1)}+\frac{2}{z^{2}+3}=\frac{1}{2(x^{2}+1)}+\frac{4}{2(z^{2}+3)}\geq \frac{9}{2(x^{2}+z^{2})+8}\geq \frac{9}{2(3y-y^{2})+8}$
$\Rightarrow P\geq \frac{9}{2(3y-y^{2})+8}+\frac{4}{(y+2)^{2}}$
Ta chứng minh: $\frac{4}{(y+2)^{2}}+\frac{9}{2(3y-y^{2})+8}\geq 1$
$\Leftrightarrow (y-2)^{2}(2y^{2}+9y+10)\geq 0$(luôn đúng)
Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow x=z=1, y=2$
Đã gửi bởi NTA1907 on 08-08-2016 - 11:08 trong Bất đẳng thức và cực trị
Và tiếp theo là hai bài sau:
Bài 3: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn: $a+b+c=3$. Chứng minh rằng: $3(a^2+b^2+c^2)+4abc\ge 13$.
Theo nguyên tắc Đi-rích-lê thì tồn tại 2 số cùng lớn hơn hoặc nhỏ hơn 1.
Giả sử $(a-1)(b-1)\geq 0\Leftrightarrow ab\geq a+b-1\Leftrightarrow abc\geq c(a+b)-c=c(3-c)-c=2c-c^{2}$
Do đó ta có:
$3(a^{2}+b^{2}+c^{2})+4abc\geq \frac{3}{2}(a+b)^{2}+3c^{2}+4(2c-c^{2})=\frac{3}{2}(3-c)^{2}+3c^{2}+4(2c-c^{2})=\frac{(c-1)^{2}+26}{2}\geq 13$
Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow a=b=c=1$
Đã gửi bởi NTA1907 on 07-08-2016 - 21:00 trong Bất đẳng thức và cực trị
Bài 2: Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn: $x(x+y+z)=3yz$. Chứng minh rằng: $(x+y)^3+(x+z)^3+3(x+y)(y+z)(z+x)\le 5(y+z)^3$
Một cách gải khác cho bài toán 2.
Đặt $a=x+y, b=y+z, c=z+x(a,b,c>0)$
Từ gt$\Rightarrow b^{2}=c^{2}+a^{2}-ca$
Ta có: $b^{2}=c^{2}+a^{2}-ca\geq 2ca-ca=ca$
$b^{2}=c^{2}+a^{2}-ca=(c+a)^{2}-3ca\geq (c+a)^{2}-\frac{3}{4}(c+a)^{2}=\frac{1}{4}(c+a)^{2}\Leftrightarrow c+a\leq 2b$
Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
$a^{3}+c^{3}+3abc\leq 5b^{3}$
$\Leftrightarrow b(c+a-2b)+3(ca-b^{2})\leq 0$(luôn đúng)
Ta có đpcm.
Đã gửi bởi NTA1907 on 15-08-2016 - 11:17 trong Bất đẳng thức và cực trị
Bài 18: Cho $x,y,z$ là ba số thực thỏa mãn: $2x+3y+z=40$. Tìm GTNN của biểu thức:
$S=2\sqrt{x^2+1}+3\sqrt{y^2+16}+\sqrt{z^2+36}$
Áp dụng bất đẳng thức Min-cốp-xki ta có:
$S=\sqrt{4x^{2}+4}+\sqrt{9y^{2}+144}+\sqrt{z^{2}+36}\geq \sqrt{(2x+3y+z)^{2}+(2+12+6)^{2}}=20\sqrt{5}$
Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow x=2, y=8, z=12$
Đã gửi bởi NTA1907 on 06-05-2016 - 12:27 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình
Lần sau bạn chú ý đánh đúng STT bài nhé...
Bài 404: Giải BPT
$x^{4}+2x^{3}+2x^{2}-2x+1\leqslant \left ( x^{3} +x\right )\sqrt{\frac{1-x^{2}}{x}}$
Bài 405: Giải BPT
$\sqrt{3x}+\sqrt{x-2}\geqslant \sqrt{-2x^{2}+8x+10}$
Bài 404:
ĐK: $0< x\leq 1, x\leq -1$
+) $0< x\leq 1$
Bpt$\Leftrightarrow (x^{2}+1)^{2}-2(x-x^{3})\leq (x^{2}+1)\sqrt{x-x^{3}}$
Đây là pt đẳng cấp...
+) $x\leq -1$. Làm tương tự
Bài 405:
ĐK: $2\leq x\leq 5$
Bpt$\Leftrightarrow 4x-2+2\sqrt{3x(x-2)}\geq -2x^{2}+8x+10$
$\Leftrightarrow x(x-2)-6+\sqrt{3x(x-2)}\geq 0$
Đặt $\sqrt{x(x-2)}=t\geq 0$
$\Rightarrow t^{2}-6+t\sqrt{3}\geq 0$
$\Leftrightarrow t\leq -2\sqrt{3}$ hoặc $t\geq \sqrt{3}$
Mà $t\geq 0$ nên $t\geq \sqrt{3}$
$\Rightarrow \sqrt{x(x-2)}\geq \sqrt{3} \Rightarrow x^{2}-2x-3\geq 0$
$\Leftrightarrow x\leq -1$ hoặc $x\geq 3$
Kết hợp ĐK$\Rightarrow 3\leq x\leq 5$
Đã gửi bởi NTA1907 on 22-05-2016 - 19:23 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình
Bài 442: $\frac{8x(1-x^{2})}{(1+x^{2})^{2}}-\frac{2\sqrt{2}x(x+3)}{1+x^{2}}=5-\sqrt{2}$
Đã gửi bởi NTA1907 on 01-04-2016 - 12:31 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình
Đây là những bài tập chưa có lời giải trong Topic về phương trình và hệ phương trình, mong các bạn sớm hoàn thiện những bài tập này trước khi đăng bài mới để tránh loãng topic
Bài 18: $(\sqrt{2-x^{2}}+1)(3-x^{2})+4x-4=0$
Bài 20: $\left\{\begin{matrix} &x^{3}+x^{2}+4x+16=y^{3}-5y^{2}+12y \\ &3x^{2}+3x+y-5=4(y+2)\sqrt{3x+y-5} \end{matrix}\right.$
Bài 21: $\left\{\begin{matrix} &2\sqrt{x+y-1}+\sqrt{2x-1}=\sqrt{4x^{3}+3x^{2}+2} \\ &2\sqrt{\frac{x^{2}+2}{6}}+\sqrt{\frac{3x-2y}{2}}=\sqrt{\frac{2x^{2}+4x-y+4}{2}} \end{matrix}\right.$
Bài 37: $\left\{\begin{matrix} &(7x+y-2)\sqrt{xy+1}-15x-10=(x-y+7)(6x+2y-13) \\ &2x+6=(xy-5x-y+5)\sqrt{x-1}.y-6 \end{matrix}\right.$
Bài 78: $\sqrt{5x+4}+2\sqrt{2-x}=\frac{12x-2}{\sqrt{9x^{2}+16}}+3$
Bài 85: $\frac{9x^{2}-14x+25}{3x+3+4\sqrt{2x-1}}=\frac{(\sqrt{x-1}-1)(2x-4)}{x}$
Bài 88**: $4\sqrt{x+2}+\sqrt{10-3x}=x^{2}+8$
Bài 123: $\frac{1}{1+\sqrt{1+x}}+\frac{3x}{2(1+\sqrt{1+3x})}+\frac{1}{1+\sqrt{1+5x}}=\frac{2\sqrt{1-x^{2}}+\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}{4}$
Bài 160: $6\sqrt{x^{2}+5}+12\sqrt[3]{x^{2}+3x+2}=3x^{2}-x+32$
Bài 161:a, $3\sqrt{8x^{3}+3}+1=6\sqrt{2x^{2}-2x+1}+8x$
c, $x\sqrt[3]{17-x^{2}}+x\sqrt{17-x^{2}}=9$
Bài 164: $\sqrt[3]{x^{3}+1}-\sqrt[3]{x-1}=\sqrt[6]{x^{2}-1}$
Bài 183: $4^{x+1}+5^{\left | x \right |}=3^{\sqrt{x^{2}+1}}$
Bài 184: $x^{\sqrt{x^{2}+2}}+\sqrt[3]{x^{2}+7}=3x$
Bài 186: $(2\sqrt{x+3}+\sqrt{x+2})^{2}(4-3\sqrt{x+3})=\sqrt{x+3}+\sqrt{x+2}$
Bài 187: $\left\{\begin{matrix} &8x^{3}+12x^{2}y+12xy-26x^{2}+28x-3y-3=0 \\ &y^{3}-6xy^{2}+9y^{2}-24xy+24x+24y+25=0 \end{matrix}\right.$
Bài 188: $\sqrt{x^{3}+5}+2\sqrt[3]{2x+1}+x=0$
Bài 199: $4x^{3}-4x-x\sqrt{1-x^{2}}+1=0$
Bài 202: $\left\{\begin{matrix} &\sqrt{x+y}(\sqrt{x}+1)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}+2 \\ &x\sqrt{y-1}+y\sqrt{x-1}=\frac{x^{2}+4y-4}{2} \end{matrix}\right.$
Bài 207: Giải hpt với $x,y,z> 0$:
$\left\{\begin{matrix} &(x+1)(y+1)(z+1)=5 \\ &(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^{2}-min(x,y,z)=6 \end{matrix}\right.$
Bài 225: $\left\{\begin{matrix} &y^{3}+2x^{3}+3y^{2}+4y+3xy(x+y+2)=2(3x^{2}-16x+14) \\ &5x^{2}+3x+y+3=\sqrt{y^{2}+4x+8}+3x\sqrt{2x^{2}-y+4} \end{matrix}\right.$
Bài 230: $\left\{\begin{matrix} &x^{2015}+y^{2014}=y^{4030}+y^{2016} \\ &7y^{4}+13x+8=2y^{4}.\sqrt[3]{x(3x^{2}+3y^{2}-1)} \end{matrix}\right.$
Bài 276: $\begin{cases} &x^2+2xy-2x-y=0 &\\& x^4-4(x+y-1)x^2 +y^2+2xy=0 & \end{cases}.$
Bài 279: $\sqrt{2-x\sqrt{2}}+\sqrt[4]{2x-2}=1$
Bài 281: Tìm $a,b,c>0, a+b+c=k$
$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+max\left \{ \frac{2ac}{\left (a+c \right )^{2}};\frac{2ab}{\left (a+b \right )^{2}};\frac{2bc}{\left (b+c \right )^{2}} \right \}=2$
Bài 287: $\left\{\begin{matrix} (x+\sqrt{y^{2}+2015})(y+\sqrt{x^{2}+2015})=2015 & & \\ x+y+\sqrt{x+3}=x\sqrt[3]{x+7} & & \end{matrix}\right.$
Bài 288: $2x^{4}+x^{4}\sqrt{x^{2}+2}+x-2=0$
Bài 290: $(2\sqrt{x+3}+\sqrt{x+2})^{2}.(4-3\sqrt{x+3})=\sqrt{x+3}+\sqrt{x+2}$
Bài 292: $\begin{cases} & y^{6}+y^{3}+2x^{2}=\sqrt{xy-x^{2}y^{2}} \\ & 4xy^{3}+y^{3}+\dfrac{1}{2}=2x^{2}+\sqrt{1+(2x-y)^{2}} \end{cases}$
Bài 297: $\begin{cases} \sqrt{3y^{2}+13}-\sqrt{15-2x}=\sqrt{x+1} & \text{ } \\ y^{4}-2xy^{2}+7y^{2}=(x+1)(8-x) & \text{ } \end{cases}$
Bài 298: $\left\{\begin{matrix} x^3+\frac{1}{3}y=x^2+x-\frac{4}{3}\\y^3+\frac{1}{4}z=y^2+y-\frac{5}{4} \\ z^3+\frac{1}{5x}=z^2+z-\frac{6}{5} \end{matrix}\right.$
Bài 301: $\left\{\begin{matrix} 2x+4y+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=8 & & \\4x+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=6 & & \end{matrix}\right.$
Bài 302: $\left\{\begin{matrix} 1+x+xy=5y & & \\1+x^{2}+y^{2}=6y^{2} & & \end{matrix}\right.$
Bài 304: $\left\{\begin{matrix} 8y^{2}+4xy+2x+1=0 & & \\ (x+y)^{2}-y-3x=1 & & \end{matrix}\right.$
Bài 307: $\left\{\begin{matrix} (9x^{2}+2)x+(y-2)\sqrt{4-3y}=0 & & \\9x^{2}+y^{2}+\frac{4}{3}\sqrt{2-3x}=\frac{10}{3} & & \end{matrix}\right.$
Bài 314: $\left\{\begin{matrix} x^2+xy=3y^2-y\sqrt{xy} & \\ & \frac{y^2}{1+\sqrt{2-x}}+\frac{(2-x)^2}{1+y}=1 \end{matrix}\right.$
Bài 315: $\left\{\begin{matrix} x(x-3)^3=2+\sqrt{y^3+3y} & \\ & 3\sqrt{x-3}=\sqrt{y^2+8y} \end{matrix}\right.$
Bài 321: $\begin{cases} & y^{3}+\sqrt{x-1}+\sqrt{2-x}+2=y(\sqrt{x-1}-\sqrt{2-x}-1) \\ & 3xy^{2}-2y^{2}-2x+1=0 \end{cases}$
Bài 322: $\begin{cases} & \dfrac{25}{9}+\sqrt{9x^{2}-4}=\dfrac{1}{9}\left ( \dfrac{2}{x}+\dfrac{18x}{y^{2}-2y+2}+25y \right ) \\ & 7x^{3}+y^{3}+3xy(x-y)-12x^{2}+6x=1 \end{cases}$
Bài 323: $(4x+3)(\sqrt{4+x}+\sqrt[3]{3x+8}-1)=9$
Bài 324: $\begin{cases} (1+3^{x-y})5^{1-x+y}=1+2^{x-y+2} & \text{ } \\ \sqrt[3]{y^{2}-3}-\sqrt{xy^{2}-2}+x=0 & \text{ } \end{cases}$
Bài 325: $\left\{\begin{matrix} \left ( \sqrt{y} + 1 \right )^{2} + \frac{y^{2}}x = y^{2} + 2\sqrt{x-2}{}\\ x + \frac{x - 1}{y}+\frac{y}{x}=y^{2}+y \end{matrix}\right.$
Bài 326: $\begin{cases} & 2(x+5)-2(y+4)-3(z-8)=0 \\ & 4(x+5)+6(z-8)=0\\ & (x+5)(x-2)+(y+4)(y-3)+(z-8)(z-1)=0 \end{cases}$
Bài 328: $\begin{cases} & (\sqrt{x-y}-4)(\sqrt{2y-x}+2)=3x-5y-8 \\ & \sqrt{2-y}-\sqrt{x^{2}-2}= x^{2}+\dfrac{5x}{9}-4 \end{cases}$
Bài 331: $\left\{\begin{matrix} x^3+y^3=1+x+y+xy & \\ & 7xy+y-x=7 \end{matrix}\right.$
Bài 335: $\left\{\begin{matrix} &(\sqrt{y}+1)^{2}+y^{2}x=y^{2}+2\sqrt{x-2} \\ &x+\frac{x-1}{y}+\frac{y}{x}=y^{2}+y \end{matrix}\right.$
Bài 336: $\begin{cases} (1+3^{x-y})5^{1-x+y}=1+2^{x-y+2} & \text{ } \\ \sqrt[3]{y^{2}-3}-\sqrt{xy^{2}-2}+x=0 & \text{ } \end{cases}$
Bài 338: $2x= (\sqrt[3]{9x+9}-x)^3+3$
Bài 339: $(\sqrt{x-4}+1)^3= \sqrt{x^3+2}$
Bài 342: $x(x^{2}-2)= \sqrt{7}$
Bài 349: $(x-2)\sqrt{\dfrac{x+1}{x-1}}+(x-2)(x+1)=6$
Bài 350: $x^3+(3-\sqrt{x^2+2})x=1+2\sqrt{x^2+2}$
Bài 351: $\begin{cases} & x\sqrt{x-2y-1}+y\sqrt{x+2y-1}=2 \\ & x(x-y-2)+1=\sqrt[3]{y^{3}+3xy-3y+1} \end{cases}$
Bài 353: $\sqrt[5]{x-1}+\sqrt[3]{x+8}=x^3+1$
Bài 356: $(2x+4)\sqrt{5-x^{2}}+(x-1)\sqrt{5+x^{2}}\leq 7x+5$
Bài 357: $\left\{\begin{matrix} &(x+2)(x-y^{2}+1)+\sqrt{(x+1)(y^{2}+1)}=2y^{2}+3 \\ &5y^{2}+22=3\sqrt{x^{2}+8y^{2}}+\dfrac{18}{x+\sqrt{x^{2}-1}} \end{matrix}\right.$
P/s: Những bài có đáp án sẽ được tô màu đỏ
Đã gửi bởi NTA1907 on 14-01-2016 - 21:23 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình
Ta có:
$\sqrt{5x^2+4x}-\sqrt{x^2-3x-18}=5\sqrt{x}$
$\Leftrightarrow \sqrt{5x^{2}+4x}=5\sqrt{x}+\sqrt{x^{2}-3x-18}$
$\Leftrightarrow 5x^{2}+4x=25x+x^{2}-3x-18+10\sqrt{x(x-6)(x+3)}$
$\Leftrightarrow 4x^{2}-18x+18=10\sqrt{(x^{2}-6x)(x+3)}$
Đặt $\sqrt{x^{2}-6x}=a, \sqrt{x+3}=b(a,b\geq 0)$
Phương trình trên trở thành:
$4a^{2}+6b^{2}=10ab$
Đến đây nó đã trở thành phương trình đẳng cấp
Bài 35 đã dc giải ở trang 1
Đã gửi bởi NTA1907 on 18-02-2016 - 22:07 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình
Giải hết đi a phương trình $a=c,b=d$ cũng trâu đấy
Ta có: $2x+\frac{2013x-1}{\sqrt{2-x^{2}}}\geq 0\Leftrightarrow 2x\sqrt{2-x^{2}}+2013x-1\geq 0$
+) $-\sqrt{2}\leq x\leq 0\Rightarrow VN$
$\Rightarrow \sqrt{2}\geq x> 0$
$\sqrt{2x+\frac{2013x-1}{\sqrt{2-x^{2}}}}=\sqrt{x+2013}$
$\Rightarrow (x-1)+(\frac{2013x-1}{\sqrt{2-x^{2}}}-2012)=0$
$\Leftrightarrow (x-1)+\frac{(x-1)(8100313x+8096287)}{\sqrt{2-x^{2}}}=0$
Vì $x> 0\Rightarrow x=1$(TM)
P/s: Bài này có lẽ liên hợp ngay từ đầu sẽ nhanh hơn
Đã gửi bởi NTA1907 on 06-07-2016 - 22:33 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình
Bài 460: Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} &x\sqrt{12-y}+\sqrt{y(12-x^{2})}=12 \\ &x^{3}-8x-1=2\sqrt{y-2} \end{matrix}\right.$
Đã gửi bởi NTA1907 on 18-02-2016 - 21:43 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình
Bài 242 : Tuyển sinh chuyên Thái Bình 2013-2014
Giải phương trình :
$\sqrt{2x+\frac{2013x-1}{\sqrt{2-x^2}}}-\sqrt[3]{2014-\frac{2013x-1}{\sqrt{2-x^2}}}=\sqrt{x+2013}-\sqrt[3]{x+1}$
ĐK: $2x+\frac{2013x-1}{\sqrt{2-x^{2}}}\geq 0, x\geq -2013, x\neq \pm \sqrt{2}$
Đặt $\sqrt{2x+\frac{2013x-1}{\sqrt{2-x^{2}}}}=a, \sqrt[3]{2014-\frac{2013x-1}{\sqrt{2-x^{2}}}}=b, \sqrt{x+2013}=c, \sqrt[3]{x+1}=d$ $\Rightarrow a^{2}+b^{3}=c^{2}+d^{3}\Leftrightarrow (a-c)(a+c)+(b-d)(b^{2}+bd+d^{2})$
Vì $a-b=c-d$(theo gt)$\Rightarrow a-c=b-d$
Mà $a+c+b^{2}+bd+d^{2}> 0\Rightarrow a-c=b-d=0$
Đến đây dễ rồi
P/s: I Love MC đánh lại STT bài đi em.
Đã gửi bởi NTA1907 on 15-02-2016 - 17:50 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình
Bài 227: $x^{2}+\sqrt{2x-3}=5x-5$
Bài 228: $2(x-2)(\sqrt[3]{x+5}+2\sqrt{2x-5})=3x-1$
Đã gửi bởi NTA1907 on 15-02-2016 - 17:16 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình
Bài 226: $2x^{2}-11x+23=4\sqrt{x+1}$
P/s: Giải bằng 10 cách
Đã gửi bởi NTA1907 on 14-08-2016 - 11:15 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình
Có khá nhiều bài khó trong topic chưa có lời giải. Vì vậy ta sẽ tiếp tục với một bài dễ hơn như sau:
Bài 476: Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix} &(5-x)(1+x^{4}y^{4})=(1+x^{2}y^{2})^{3} \\ &x^{2}y^{2}+x^{2}+x+y^{2}=4 \end{matrix}\right.$
Đã gửi bởi NTA1907 on 13-05-2016 - 21:41 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình
Bài 408: Giải hệ:
$\left\{\begin{matrix} (x-y)(x^2-y^2)+(x+y)(3xy+x-1)=-2 & \\ 2(x^2+y^2)+3x-y-2=0 \end{matrix}\right.$
Hpt$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} &(x+y)(x^{2}+y^{2}+xy+x-1)=-2 \\ &2(x^{2}+y^{2})=2-3x+y \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} &(x+y)(2-3x+y+2xy+2x-2)=-4 \\ &2(x^{2}+y^{2})=2-3x+y \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} &(x+y)(2xy+y-x)=-4 \\ &2(x^{2}+y^{2})+3x-y=2 \end{matrix}\right.$
Đặt $x+y=a, x-y=b\Rightarrow \left\{\begin{matrix} &x=\frac{a+b}{2} & \\ &y=\frac{a-b}{2} & \\ &2xy=\frac{a^{2}-b^{2}}{2} & \end{matrix}\right.$
Khi đó ta có hệ mới: $\left\{\begin{matrix} &a(a^{2}-b^{2}-2b)=-8 \\ &a^{2}+b^{2}+a+2b=2 \end{matrix}\right.$
Pt(1)+a.Pt(2)$\Rightarrow 2a^{3}+a^{2}-2a+8=0$
$\Leftrightarrow a=-2$
Đến đây dễ rồi
Đã gửi bởi NTA1907 on 16-05-2016 - 22:25 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình
Đây là những bài tập chưa có lời giải trong Topic về phương trình và hệ phương trình, mong các bạn sớm hoàn thiện những bài tập này trước khi đăng bài mới để tránh loãng topic
Bài 298: $\left\{\begin{matrix} x^3+\frac{1}{3}y=x^2+x-\frac{4}{3}\\y^3+\frac{1}{4}z=y^2+y-\frac{5}{4} \\ z^3+\frac{1}{5x}=z^2+z-\frac{6}{5} \end{matrix}\right.$
P/s: Những bài có đáp án sẽ được tô màu đỏ.
Hpt$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} &(x-1)^{2}(x+1)+\frac{1}{3}(y+1)=0 & \\ &(y-1)^{2}(y+1)+\frac{1}{3}(z+1)=0 & \\ &(z-1)^{2}(z+1)+\frac{1}{3}(x+1)=0 & \end{matrix}\right.$
+) $x=y=z=-1\Rightarrow$ Thoả mãn
+) $x> -1$, từ pt(1)$\Rightarrow y< -1$
$\Rightarrow$ Từ pt(2)$\Rightarrow z> -1$
$\Rightarrow$ Từ pt(3)$\Rightarrow x< -1$(mâu thuẫn)
+) $x< -1$ cũng không thoả mãn
Vậy $(x,y,z)=(-1;-1;-1)$
Đã gửi bởi NTA1907 on 10-09-2016 - 13:33 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình
Giải HPT
$\left\{\begin{matrix} 2x^{2}y+2(x-2)^{2}=(xy+y+3x-3)y+10\\ y=x^{2}-x+\sqrt{2x-x^{2}}+2 \end{matrix}\right.$
Đánh STT bài 525 vào đi bạn. Lần sau bạn chú ý hơn khi post bài.
Đã gửi bởi NTA1907 on 17-05-2016 - 21:46 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình
Bài 414: $\begin{cases} & \sqrt{2(4x^{2}+y^{2})}+\sqrt{5x^{2}+2xy+2y^{2}}=3x-2y \\ & \sqrt{y^{2}+x+6}=2(x+y)+1+5\sqrt{x+1} \end{cases}$
ĐK: $x\geq -1, y^{2}+x+6\geq 0$
Ta chứng minh được:
$\sqrt{2(4x^{2}+y^{2})}\geq 2x-y$
$\sqrt{5x^{2}+2xy+2y^{2}}\geq x-y$
Cộng 2 bất đẳng thức trên ta được $VT\geq VP$
Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow 2x+y=0$
Đến đây thay vào pt(2) là ok...
Đã gửi bởi NTA1907 on 22-05-2016 - 13:24 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình
Đây là những bài tập chưa có lời giải trong Topic về phương trình và hệ phương trình, mong các bạn sớm hoàn thiện những bài tập này trước khi đăng bài mới để tránh loãng topic
Bài 287: $\left\{\begin{matrix} (x+\sqrt{y^{2}+2015})(y+\sqrt{x^{2}+2015})=2015 & & \\ x+y+\sqrt{x+3}=x\sqrt[3]{x+7} & & \end{matrix}\right.$
P/s: Những bài có đáp án sẽ được tô màu đỏ.
Đặt $2015=t$
Khi đó pt(1)$\Leftrightarrow (x+\sqrt{y^{2}+t})(y+\sqrt{x^{2}+t})=t$
$\Leftrightarrow xy+x\sqrt{x^{2}+t}+y\sqrt{y^{2}+t}+\sqrt{(x^{2}+t)(y^{2}+t)}=t$
$\Leftrightarrow xy+\sqrt{(x^{2}+t)(y^{2}+t)}-t=-(x\sqrt{x^{2}+t}+y\sqrt{y^{2}+t})$
Bình phương 2 vế ta có:
$x^{2}y^{2}+x^{2}y^{2}+ty^{2}+tx^{2}+t^{2}+t^{2}+2xy\sqrt{(x^{2}+t)(y^{2}+t)}-2xyt-2t\sqrt{(x^{2}+t)(y^{2}+t)}=x^{4}+tx^{2}+y^{4}+ty^{2}+2xy\sqrt{(x^{2}+t)(y^{2}+t)}$
$\Leftrightarrow 2x^{2}y^{2}+2t^{2}-2t\sqrt{(x^{2}+t)(y^{2}+t)}-2xyt=x^{4}+y^{4}$
$\Leftrightarrow (x^{2}-y^{2})^{2}=2\left [ t^{2}-xyt-t\sqrt{(x^{2}+t)(y^{2}+t)} \right ]\geq 0$
$\Rightarrow t^{2}-xyt-t\sqrt{(x^{2}+t)(y^{2}+t)}\geq 0$
$\Leftrightarrow t-xy\geq \sqrt{(x^{2}+t)(y^{2}+t)}$
$\Rightarrow x^{2}y^{2}-2txy+t^{2}\geq x^{2}y^{2}+t(x^{2}+y^{2})+t^{2}$
$\Leftrightarrow t(x+y)^{2}\leq 0$
$\Leftrightarrow x+y=0$
Thay vào pt(2) ta được:
$\sqrt{x+3}=x\sqrt[3]{x+7}$(*)
ĐK: $x\geq 0$
(*)$\Leftrightarrow (\sqrt{x+3}-2)=2x-2+x(\sqrt[3]{x+7}-2)$
$\Leftrightarrow \frac{x-1}{\sqrt{x+3}+2}=2(x-1)+\frac{x(x-1)}{\sqrt[3]{(x+7)^{2}+2\sqrt[3]{x+7}+4}}$
$\Leftrightarrow x=1$ hoặc $\frac{1}{\sqrt{x+3}+2}=2+\frac{x}{\sqrt[3]{(x+7)^{2}+2\sqrt[3]{x+7}+4}}$(**)
Ta dễ dàng chứng minh được pt(**) vô nghiệm với $x\geq 0$
Vậy $(x,y)=(1;-1)$
Đã gửi bởi NTA1907 on 27-01-2017 - 19:59 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình
Bài 553: Giải hệ phương trình:
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học