Kamii0909 nội dung
Có 155 mục bởi Kamii0909 (Tìm giới hạn từ 07-06-2020)
#661252 Tìm số nguyên tố p thỏa mãn $p= 2x^{2}-1;p^{2}= 2y^...
Đã gửi bởi Kamii0909 on 09-11-2016 - 15:02 trong Số học
Trừ từng vế 2 phương trình
$p(p-1)=2(y-x)(x+y)$
Suy ra $p|2(y-x)(y+x)$
Mà $2 < $ và $y-x < p $ nên $p|x+y$.
Lại có $x+y < 2p$ nên $x+y=p$
Thay ngược lên có $p-1=2y-2x$
Tới đây dễ rồi. Đơn thuần là giải hệ thôi.
Có $y=3x-1$ và $x^2+2xy=y^2-1$
Thay vào ra $p=7,x=2,y=5$
#660683 25≤ MN2 + NP2 + PQ2 + QM2 ≤ 50
Đã gửi bởi Kamii0909 on 05-11-2016 - 15:51 trong Hình học
Mình nghĩ là làm thế này.
Theo định lý Pytago
$MN^2+NP^2+PQ^2+QM^2=(AM^2+MB^2)+(BN^2+NC^2)+(CP^2+PD^2)+(QD^2+QA^2)$
Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz
$AM^2+MB^2 \geq \frac{1}{2} (AM+MB)^2 = \frac{1}{2} AB^2$
Cộng các bđt tương tự có min =25.
Ta có $AM^2+BM^2 \leq (AM+MB)^2=AB^2$
Cộng lại max =50
Min xảy ra khi M,N,P,Q là các trung điểm
Max xảy ra khi M,N,P,Q trùng A,B,C,D
#660680 Chứng minh N là trực tâm tam giác
Đã gửi bởi Kamii0909 on 05-11-2016 - 15:17 trong Hình học
Từ tính chất đường đối trung và định lý Thales ta có
$\frac{XB}{XC} = \frac{AB^2}{AC^2} = \frac{AE^2}{AF^2} = \frac{NE}{NF} =\frac{ZE}{ZC}$
Từ đó $ZN//FC$. Tương tự có điều phải chứng minh
#660309 $2^{n}a+b$
Đã gửi bởi Kamii0909 on 02-11-2016 - 14:33 trong Số học
Từ đề bài ta có tồn tại dãy số nguyên không âm $(x_n)_{n\ge 1}$ sao cho $a.2^n+b=x_n^2 \Rightarrow x_n=\sqrt{a.2^n+b}$
Khi đó ta có $2x_n-x_{n+2}=\frac{3b}{\sqrt{a.2^{n+2}+b}+\sqrt{a.2^{n+2}+b}}$
Suy ra $lim_{n \rightarrow +\infty}(2x_n-x_{n+2})=0$ mà dãy $\{2x_n-x_{n+2}\}$ nguyên nên tồn tại $k_0 \in \mathbb{N^*}$ để mà
$2x_n-x_{n+2}=0,\forall n \ge k_0$ hay $2x_n=x_{n+2},\forall n \ge k_0$
$\Leftrightarrow 2\sqrt{a.2^n+b}=\sqrt{a.2^{n+2}+b},\forall n \ge k_0 \Leftrightarrow b=0$
Do đó $a.2^n$ là số chính phương với mọi số nguyên không âm $n$. Hiển nhiên ta phải có $a=0$ (đpcm)
Đề ra đâu có $b=0$ đâu,chỉ $a=0$ mà
#660246 Đề thi chọn đội tuyển chính thức học sinh giỏi dự thi quốc gia năm 2016-2017...
Đã gửi bởi Kamii0909 on 01-11-2016 - 23:47 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.
À mình nhầm sang đa thức. Tks bạnđây cũng phải PTH đa thức
Cũng đặt $g(x)$ như bạn
Tức là ta có $g(g(x)) + g(x)=2x+9 $
Xét dãy số $x_0=x , x_1=g(x)$
$x_n= g(g(...(x)...)) $ ($n$ lần $g$ )
Khi đó, ta dễ có $x_{n+2} + x_{n+1} = 2x_n +9 $
Đặt $u_n=x_n-3n $
Khi đó thay vào lại, ta được
$u_{n+2} + u_{n+1} = 2u_n $
Sai phân, ta tính được
$u_n = c_1.1 + c_2(-2)^n $
Cho $n$ lẻ và đủ lớn thì $u_n <0 $ vô lí
Do đó $c_2=0 $
Tới đây dễ rồi
#660036 ĐỀ THI HSG LỚP 12 TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM 2016-2017
Đã gửi bởi Kamii0909 on 31-10-2016 - 00:41 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.
Sorry bác. Không hiểu thế nào e đọc nhầm đề thành trên tia đối của tia BA.
Post cái hình cho bác Kamii 0909
Đây là kết quả quen thuộc rồi và thậm chí nó còn có trong tuyển tập ôn thi chuyên cấp 3 của e.
Cứ chém tạm câu c(ngắn nhất-chủ yếu là do e lười LaTeX)
Có tứ giác ACBD điều hòa nên CD đi qua giao điểm 2 tiếp tuyến tại A và B của đường tròn tâm O' là điểm cố định(đpcm).
Cũng có thể giải bằng đồng dạng với kiến thức THCS như sau.
Gọi giao điểm OO' và MB là H,OO' với CD là Q. O'M với CD là K.Khi đó $O'H.O'Q=O'K.O'M=O'C^2$
Như vậy O'Q không đổi. CD đi qua Q cố định
#660035 Đề thi chọn đội tuyển chính thức học sinh giỏi dự thi quốc gia năm 2016-2017...
Đã gửi bởi Kamii0909 on 31-10-2016 - 00:25 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.
Đặt $g(x)=xf(x)$
PT trở thành
$g(g(x))+g(x)=2x+9$
Đến đây thì dễ rồi.
Dế thấy $g$ không thể là hàm hằng.
Gọi bậc của $g(x)$ là $n(n \geq 1)$
Bậc của VP là 1 còn VT là $max(n^2,n)$. Mà $deg VT= deg VP$ nên $n=1$
$g(x)=ax+b$ thì $a=1,b=3$
Thay ngược lên + thử lại thì thỏa mãn
Kết luận $f(x)=1+ \frac {3}{x}$
#659818 Tìm các số nguyên dương sao cho $\frac{a^2+b}{b^2-a}$ và...
Đã gửi bởi Kamii0909 on 29-10-2016 - 16:25 trong Số học
Viết lại cách trên dễ hiểu hơn. Ta viết lại điều kiện $\left\{\begin{matrix} b^2-a|a^2+b\\ a^2-b|b^2+a \end{matrix}\right.$
Từ đó $\left\{\begin{matrix} a^2+b \geq b^2-a\\ b^2+a \geq a^2-b \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (a-b+1)(a+b)\geq 0\\ (b-a+1)(a+b) \geq 0 \end{matrix}\right.$
Do $a+b >0$ nên $\left\{\begin{matrix} a-b+1 \leq 0\\ b-a+1 \leq 0 \end{matrix}\right.\Rightarrow (a-b+1)(b-a+1) \leq 0 \Leftrightarrow (a-b)^2 \leq 1$
Giả sử $a \geq b$ thì $a=b+1$ hoặc $a=b$
Nếu $a=b+1$ thì $a^2-a-1|a^2+3a+1$ hay $a^2-a-1|4a+2$
Từ đó $a^2-a-1 \leq 4a +2$ suy ra $a \leq 5$. Thay lại tìm $b$
Nếu $a=b$ thì $a^2-a|a^2+a$ hay $a^2-a|2a$ nên $a(a-3) \leq 0$
Vậy $a \leq 3 $ Thay lại ta tìm được nốt.
#659813 ĐỀ THI HSG LỚP 12 TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM 2016-2017
Đã gửi bởi Kamii0909 on 29-10-2016 - 15:59 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.
Sai ở câu b: Đường thẳng CD đi qua trung điểm của PQ?
Hình như cũng ko đúng. Câu a và b khả năng cao là sai đề. Câu c thì đúng
#659762 ĐỀ THI HSG LỚP 12 TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM 2016-2017
Đã gửi bởi Kamii0909 on 28-10-2016 - 22:52 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.
#659194 cho đa thức f(x) tìm dư của phép chia f(x) cho (x-1)(x-2)
Đã gửi bởi Kamii0909 on 24-10-2016 - 18:21 trong Bất đẳng thức và cực trị
P=$(x+y)^3-3xy(x+y)+2xy$
$P=a^3-3ab+2b=a^3+b(2-3a)$
Ta có $4xy=4b=(x+y)^2+(x-y)^2=a^2+(x-y)^2$
Đến đây chắc em làm được. Chỉ việc xét min max của $(x-y)^2$ mà x,y nguyên nên công việc này rất dễ.
#659152 ĐỀ THI HSG LỚP 12 TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM 2016-2017
Đã gửi bởi Kamii0909 on 24-10-2016 - 00:02 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.
Thay x=0 thì $f(0)=-1$
Thay x=y thì $f(2x)-2f(x)=x^2+1$ (1)
Từ 1 thay x=-x thì $f(-2x)-f(-x)=x^2+1$(2)
Từ (1) và (2) $f(x)-f(-x)=f(2x)-f(-2x)$
Đặt $g(x)=f(x)-f(-x)$ thì
$g(1)=g(2)=....$
Vậy g(x)=c=const hay $f(x)=c+f(-x)$
Từ phương trình thay y=-x thì $f(x)+f(-x)=x^2-2$(3)
Thay vào ta có $f(-x)=\frac{x^2-2-c}{2}$
Với x=0 thì c=0 vậy $f(x)=f(-x)$
Thay lên (3) ta có $f(x)=\frac{x^2}{2}-1$
Thử lại thỏa mãn
#659119 ĐỀ THI HSG LỚP 12 TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM 2016-2017
Đã gửi bởi Kamii0909 on 23-10-2016 - 22:06 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.
1. Giải hệ phương trình với $x\geq 0$
$\left\{\begin{matrix} 2x-2y+\sqrt{2x+y+2xy+1}=1 & & \\ \sqrt[3]{3y+1}=8x^{3}-4x-1& & \end{matrix}\right.$
Câu hệ này từng là đề thi rồi thì phải. Tại mình làm rồi
$\sqrt{2x+1}=a, \sqrt{y+1}=b$ (Do x>0)
Viết lại phương trình 1 $(a-b)(a+2b)=0\Rightarrow 2x=y$
Thế vào phương trình 2 $6x+1+\sqrt[3]{6x+1}=8x^{3}+2x$
Xét hàm đặc trưng $f(t)=t^{3}+t$
Có $f'(t)=3t^{2}+1>0$
Như vậy $8x^{3}-6x-1=0$
Phương trình này có thể giải bằng lượng giác hóa.
#658826 Tìm giá trị nhỏ nhất $\sum \frac{x}{xy+1}...
Đã gửi bởi Kamii0909 on 22-10-2016 - 21:22 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cheybershev có vẻ khó ra hoàn chỉnh
Mình xin đính chính lại cách khác hay hơn
$\sum \frac{x}{xy+1}=\sum x -\sum \frac{x^{2}y}{xy+1}$
Theo AM-GM 10 số và Holder(đoạn này số siếc loằng ngà loằng ngoằng nên cho phép mình bỏ )
Min=9/10
- Diễn đàn Toán học
- → Kamii0909 nội dung