Đã gửi bởi
Bài ns
Bài này chúng ta sử dụng tính chất của hàm số bậc nhất:
Với $f(x) = ax + b , x \in [\alpha; \beta]$ thì $min \{ f(\alpha); f(\beta) \} \le f(x) \le max \{f(\alpha); f(\beta) \}$
Áp dụng vào bài này:
Từ giả thiết ta có $0 \le x \le 1$.
Đặt $f(x) = 5x - 4xyz = (5 - 4yz)x$, với $x \in [0;1]$ thì:
$f(x) \le max \{ f(0); f(1) \}$.
Mà $f(0) = 0; f(1) = 1$ suy ra đpcm.
(Lưu ý khi $x = 1$ sẽ suy ra được $y = z = 1$).
Từ giả thiết, ta có thể giả sử $z \ge y$. Khi đó $0 \le x \le y \le z$ và
$3x^2 \le x^2 + y^2 + z^2 = 3 \le 3z^2$, suy ra $x \le 1 \le z \le \sqrt{3}$.
Đặt $f(x) = 5x - 4xyz = (5 - 4yz)x$, với $x \in [0;1]$ thì:
$f(x) \le max \{ f(0); f(1) \}$.
Mà $f(0) = 0; f(1) = 5 - 4yz$
Nếu $5 - 4yz \le 0$ thì ta được $f(x) \le 0 \le 1$ (đpcm).
Nếu $5 - 4yz > 0$ thì $f(x) \le f(1) = 5 - 4yz$.
Mặt khác, khi $x = 1$ ta sẽ có: $y \ge 1; z \ge 1$ (vì $x = min \{x; y; z\})$ và $y^2 + z^2 = 2$, tức là $y^2 \ge 1; z^2 \ge 1$ và $y^2 + z^2 =2$.
Từ đó suy ra $ y = z = 1$.
Khi đó $5 - 4yz = 5 - 4 = 1$.
Vậy $f(x) \le 1$.
Mình cám ơn 
