Hàm số không liên tục tại 0 (vì lim 2 phía khác nhau) nên không thể có đạo hàm tại 0 được.

Năm nay có thể xem là một năm rực sáng nữa của VMF sau những năm đầu thời kì đầu mới lập web.

 

Hòa chung niềm vui đó mình xin được tổng kết một số kết quả cả các thành viên VMF ( còn ai được giải mình không biết thì cũng vào khoe hàng luôn nghe  )

 

Nhất : Cả nước được 1, rất tiếc chú này không có nick trên VMF 

 

Nhì ( 7+ ) : 

1) Lê Nhật Hoàng ( Bình Định )

2) Mai Tiến Luật ( Bình Định )

3) Cao Xuân Huy ( Đà Nẵng ) 

4) Đỗ Trọng Đạt ( Thái Bình ) 

5)  Hoàng Trung Hiếu ( Thái Bình ) 

6) Tạ Hà Nguyên ( ĐHQG Hà Nội )

7)  Nguyễn Đức Minh ( ĐHQG Hà Nội ) 

 

Ba ( 2+ )

1) Dương Đức Thịnh ( Bình Thuận )

2) Nguyễn Văn Thế ( Hà Tĩnh )

 

 

Khuyến khích ( 3+ )

1) Trần Ngọc Bách ( Cà Mau ) 

2) Đinh Thanh Hải ( Quảng Nam )

3) Nguyễn Khánh Hòa ( Yên Bái ) 

 

Trên là những thành viên mình biết, còn lại rất nhiều mình không biết, hy vọng các bạn sẽ khoe hàng thoải mái ở topic này .

 

PS: Năm nay toàn tập trung ở giải cao   

Nhìn danh sách giải đã thích rùi...

Tiếc là thời mình VMF chưa ra đời  . Thi trước năm 2005, phải tự mày mò, không Thầy hướng dẫn (thời đó Tỉnh mình còn không có nổi 1 trường chuyên, đến năm 2008 mới có), tài liệu thì khan hiếm, không như bây giờ: tài liệu báo, sách, mạng tràn ngập thật sướng; nên nói chung trình vẫn chưa đủ mạnh để giật giải (chỉ được 2 bài)   Về nhà mới giải hoàn chỉnh bài max, min  .

Nhận xét cá nhân: VMF là một nơi tuyệt vời để thử thách và chấp cánh cho những ai say mê về Toán! 

THTT tháng 9/2015 (đã hết hạn nhận bài giải, nên các bạn có thể thoải mái trao đổi lời giải nhé)

$\frac{2x^3 +3x}{7-2x} > \sqrt{2-x}$

Tìm $m$ để phương trinh sau có đúng một nghiệm duy nhất:

$x^3 -2m = \sqrt[3]{3x+2m}$

Biến đổi về theo phương trình hàm đặc trưng $f(t) = t^3 + 3t$ sẽ thu được $x^3 - 3x = 2m$.

Khảo sát hàm số $g(x) = x^3 - 3x$ sẽ có kết quả $m>1$ hoặc $m<-1$.

THTT tháng 9/2015 (đã hết hạn nhận bài giải, nên các bạn có thể thoải mái trao đổi lời giải nhé)

$\frac{2x^3 +3x}{7-2x} > \sqrt{2-x}$

Đáp số: $1 <x\le 2$.

Cách giải trên hoàn toàn đúng, mấu chốt bài này chính là phát hiện được hàm đặc trưng f(t) đơn điệu. Tuy nhiên, trong lời giải trên, chúng ta có thể lý luận một tí là đánh giá được $0 \le x \le 2$, từ đó sẽ nhân chéo quy đồng làm trực tiếp 1 trường hợp sẽ gọn hơn.

THTT tháng 10/2015 (đã hết hạn nhận bài giải, các bạn có thể thoải mái trao đổi cách giải của mình)

Tìm $p,q$ để hệ phương trình:

$x^2+y^2+5=q^2+2x-4y$ và $x^2+(12-2p)x+y^2 =2py+12p-2p^2-27$

có 2 nghiệm $(x_1;y_1)$ và $(x_2;y_2)$ thỏa mãn điều kiện $x_1^2 + y_1^2 = x_2^2 +y_2^2$.

THTT tháng 10/2015 (đã hết hạn nhận bài giải, các bạn có thể thoải mái trao đổi cách giải của mình)

Tìm $p,q$ để hệ phương trình:

$x^2+y^2+5=q^2+2x-4y$ và $x^2+(12-2p)x+y^2 =2py+12p-2p^2-27$

có 2 nghiệm $(x_1;y_1)$ và $(x_2;y_2)$ thỏa mãn điều kiện $x_1^2 + y_1^2 = x_2^2 +y_2^2$.

Ta đưa về thành bài toán hình học: 2 pt trong hệ chính là phương trình của 2 đường tròn. Yêu cầu bài toán tương đương với 2 đường tròn cắt nhau tại 2 điểm A, B đồng thời $OA = OB$, từ đó suy ra được các điều kiện $R-r < I I' < R + r$ và $O,I,I'$ thẳng hàng. Ta được kết quả $p=4$ và

$3\sqrt{5} - 3 < |q| < 3\sqrt{5} + 3$.

Biến đổi về theo phương trình hàm đặc trưng $f(t) = t^3 + 3t$ sẽ thu được $x^3 - 3x = 2m$.

Khảo sát hàm số $g(x) = x^3 - 3x$ sẽ có kết quả $m>1$

P/s: bài toán gốc trong báo THTT là cho $m>1$ và chứng minh phương trình có 1 nghiệm duy nhất. Với đề bài gốc ta có thể chỉ sử dụng kiến thức lớp 10 để chứng minh, không cần dùng tới đạo hàm. Nhưng nếu chuyển thành bài toán như ở trên thì cách lớp 10 có vẻ hơi khó khăn. Liệu bạn nào có thể giải bài trên mà không dùng tới đạo hàm được không???

Giải phương trình: $\sqrt{x^2+1} (\sqrt{x^2 -3x \sqrt{2} + 9 } + \sqrt{x^2 - 4x \sqrt{2} + 16} ) = 6 \sqrt{x^2 + 1} - x^2 - 1$

Giải phương trình: $\sqrt{x^2+1} (\sqrt{x^2 -3x \sqrt{2} + 9 } + \sqrt{x^2 - 4x \sqrt{2} + 16} ) = 6 \sqrt{x^2 + 1} - x^2 - 1$

Chuyển hết sang vế trái, sau đó dùng BĐT vecto, ta sẽ đánh giá được $Vế trái \ge 0$. Đẳng thức không xảy ra nên phương trình vô nghiệm.

Topic này đã bị lãng quên hết rồi chăng??? Sao không thấy ai tham gia thảo luận hết vậy?

Bài 25.

Tìm $m$ để giá trị lớn nhất của hàm số $y = \frac{2m cosx + m + 1}{cosx + sinx + 2}$ là nhỏ nhất.

Bài 24.

Tìm $m$ để giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \frac{m sinx + 1}{cosx +2}$ nhỏ hơn $-1$.

1 bài nhỏ tự chế từ THTT năm 2003:

$Cho x,y, z$ là các số thực không âm thỏa mãn: $x+y+z = 2$. Tìm max, min của biểu thức

$$P = x^4 + y^4 + z^4 - 2(x^3 + y^3 + z^3)$$

Đáp số: $minP = -2$ và $maxP = 0$.

1 bài minh họa:

Cho $x, y, z$ là các số không âm thỏa mãn $x + y + z = 2$.

Tìm $max, min$ của biểu thức $P = 2(x^4 + y^4 + z^4) - 5(x^3 + y^3 + z^3)$.

Đáp số:

$min P = \frac{-33}{4} ; maxP = \frac{-88}{27}$.

THTT tháng 10/2015 (đã hết hạn nhận bài giải, các bạn có thể thoải mái trao đổi cách giải của mình)

Cho tam giác $ABC$. Chứng minh rằng: 

$\frac{ab+bc+ca}{p^2 +9Rr} \ge \frac{4}{5}$

Bài này là sao y nguyên rồi còn gì

Ta chứng minh $P \geq -2$

Hay $2 \geq x^3\left(2-x\right)+y^3\left(2-y\right)+z^3\left(2-z\right)$

$\Leftrightarrow 2 \geq x^3\left(y+z\right) + y^3\left(z+x\right)+z^3\left(x+y\right)$         

Lại có: $\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(xy+yz+zx\right) \geq x^3\left(y+z\right) + y^3\left(z+x\right)+z^3\left(x+y\right)$

Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ ta có: $\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(xy+yz+zx\right) \leq \dfrac{\left(x+y+z\right)^4}{8}=2$

Ta lại có: $x^4+y^4+z^4-2\left(x^3+y^3+z^3\right)= -x^3\left(y+z\right)-y^3\left(x+z\right)-z^3\left(x+y\right)\leq 0$

Vậy GTLN của $P$ là $0$ khi trong 3 số $x,y,z$ có 1 số bằng $2$ và $2$ số còn lại bằng $0$

       GTNN của $P$ là $-2$ khi trong 3 số $x,y,z$ có 1 số bằng $0$ và $2$ số còn lại bằng $1$

Hì hi... Thì mới nói đây chỉ là 1 bài nhỏ. Thật ra đề gốc chỉ là chứng minh BĐT 1 vế. Sau đó mình tự phát triển ra dạng tổng quát hơn: 

Cho $x, y, z$ không âm và thỏa mãn $x + y + z = 2$. Tìm max, min của biểu thức 

$$m(x^4 + y^4 + z^4) - n(x^3 + y^3 + z^3)$$, với $m, n$ là các số dương.

Cách giải của bạn hoàn toàn chính xác cho bài ở trên, nhưng không biết có thể giải quyết cho bài toán tổng quát ở trên hay không? Bạn hãy thử xem sao nhé!

Mình thì biến đổi theo $t = xy + yz + zx$ sẽ về hàm rất đơn giản, từ đó có thể ràng buộc được điều kiện $m, n$ để dễ tìm cực trị. Thật ra với $m, n$ tùy ý biểu thức trên vẫn luôn có cực trị (thỏa định lý hàm liên tục trên một tập compact), nhưng tính theo $m, n$ chỉ mang ý nghĩa tính toán trâu bò chứ cũng chẳng hay ho gì  ).

THTT tháng 10/2015 (đã hết hạn nhận bài giải, các bạn có thể thoải mái trao đổi cách giải của mình)

Cho tam giác $ABC$. Chứng minh rằng: 

$\frac{ab+bc+ca}{p^2 +9Rr} \ge \frac{4}{5}$

Tự chém trước luôn.

Yêu cầu bài toán tương đương với $(a \vec{GA}+b \vec{GB} + c \vec{GC})^2 \ge 0$ (luôn đúng)

Ta có đpcm.

Dấu bằng xảy ra khi tam giác $ABC$ đều.

Mình giải rồi. Post lên để cùng tham khảo lời giải của các bạn, biết đâu có nhiều ý tưởng hay hơn...

THTT tháng 10/2015 (đã hết hạn nhận bài giải, các bạn có thể thoải mái trao đổi cách giải của mình)

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $abc\ge 1$. Chứng minh rằng:

$\frac{a^4 b^2 c^2}{bc+1} +\frac{b^4 c^2 a^2}{ca+1} +\frac{c^4 a^2 b^2}{ab+1} \ge \frac{3}{2}$

 

P/s: Bài này có thể thay thế thành tìm Giá trị nhỏ nhất của vế trái.

Sử dụng đánh giá $\frac{a^4 b^2 c^2}{bc+1} \ge \frac{a^3}{a+1} \ge \frac{5}{4}a - \frac{3}{4}$ là xong.

1 bài minh họa:

Cho $x, y, z$ là các số không âm thỏa mãn $x + y + z = 2$.

Tìm $max, min$ của biểu thức $P = 2(x^4 + y^4 + z^4) - 5(x^3 + y^3 + z^3)$.

1 bài nhỏ tự chế từ THTT năm 2003:

$Cho x,y, z$ là các số thực không âm thỏa mãn: $x+y+z = 2$. Tìm max, min của biểu thức

$$P = x^4 + y^4 + z^4 - 2(x^3 + y^3 + z^3)$$

Bài này là sao y nguyên rồi còn gì

Ta chứng minh $P \geq -2$

Hay $2 \geq x^3\left(2-x\right)+y^3\left(2-y\right)+z^3\left(2-z\right)$

$\Leftrightarrow 2 \geq x^3\left(y+z\right) + y^3\left(z+x\right)+z^3\left(x+y\right)$         

Lại có: $\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(xy+yz+zx\right) \geq x^3\left(y+z\right) + y^3\left(z+x\right)+z^3\left(x+y\right)$

Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ ta có: $\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(xy+yz+zx\right) \leq \dfrac{\left(x+y+z\right)^4}{8}=2$

Ta lại có: $x^4+y^4+z^4-2\left(x^3+y^3+z^3\right)= -x^3\left(y+z\right)-y^3\left(x+z\right)-z^3\left(x+y\right)\leq 0$

Vậy GTLN của $P$ là $0$ khi trong 3 số $x,y,z$ có 1 số bằng $2$ và $2$ số còn lại bằng $0$

       GTNN của $P$ là $-2$ khi trong 3 số $x,y,z$ có 1 số bằng $0$ và $2$ số còn lại bằng $1$

Bài này hệ số hơi đặc biệt nên tìm $max$ có thể làm ngắn gọn:

Theo giả thiết ta có $0 \le x, y, z \le 2$. Ta có thể viết lại

$P= x(x - 2) + y(y - 2) + z(z - 2) \le 0$

Nên $maxP = 0$ khi $(x, y, z) = (0, 0, 2)$ và các hoán vị của nó.

Chủ yếu là tìm min:

Đặt $t = xy + yz + zx$, với $0 \le t \le \frac{1}{3}(x+y+z)^2 = \frac{4}{3}$. Khi đó:

$x^4 + y^4 + z^4 = (x^2 + y^2 + z^2)^2 - 2(x^2 y^2 + y^2z^2 + z^2x^2)$

                         $ = ((x+y+z)^2 - 2t)^2 - 2(t^2 - 2xyz(x+y+z) $

                         $ = 2t^2 -16t + 8xyz + 16$.

$x^3 + y^3 + z^3 = (x+y+z)^3 - 3(x+y)(y+z)(z+x) = 8 - 3(2-x)(2-y)(2-z)$

                         $ = 8 - 6t + 3xyz$

Suy ra $P = 2t^2 - 4t + 2xyz = 2(t-1)^2 + 2xyz - 2 \ge 0 + 0 -2 = -2$

Nên $minP = -2$ khi $x+y+z = 2$ và $xy + yz + zx = 1$ và $xyz = 0 \Leftrightarrow (x,y,z) = (0, 1, 1)$ và các hoán vị của nó.

(đối với bài toán tổng quát, tìm max, min sẽ đều đánh giá theo $t$).