đặt y+z=a;x+z=b;x+y=c(a,b,c>0).
ta có pt
$\frac{a}{2a+c}+\frac{b}{2b+a}+\frac{c}{2c+b}= 1$
$\Leftrightarrow \frac{a^{2}}{2a^{2}+ac}+\frac{b^{2}}{2b^{2}+ab}+\frac{c^{2}}{2c^{2}+bc}=1$
$\Leftrightarrow \frac{1}{2+\frac{c}{a}}+\frac{1}{2+\frac{a}{b}}+\frac{1}{2+\frac{b}{c}}=1$
đặt $\frac{c}{a}=m;\frac{a}{b}=n;\frac{b}{c}=p$ (m,n,p>0).ta có mnp=1
$\Leftrightarrow \frac{1}{m+2}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{p+2}=1$
$\Leftrightarrow (m+2)(n+2)+(n+2)(p+2)+(m+2)(p+2)=(m+2)(n+2)(p+2)$
$\Leftrightarrow (mn+np+mp)+4(m+n+p)+12= mnp+2(mn+np+mp)+4(m+n+p)+8$
$\Leftrightarrow 4=mnp+mn+np+mp$
$\Leftrightarrow 3= mn+np+mp$
áp dụng bdt AM-GM cho 3 số dương . ta có
$mn+np+mp\geq 3\sqrt[3]{(xyz)^{2}}=3$
dấu đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow m=n=p$
$\Leftrightarrow \frac{c}{a}=\frac{a}{b}=\frac{b}{c}$
$\Leftrightarrow a=b=c$
$\Leftrightarrow y+z=x+z=x+y$
$\Leftrightarrow x=y=z$
vậy x=y=z nguyên dương là nghiệm của pt đã cho

Chưa chứng minh BĐT AM-GM cho 3 số dương: trừ 4đ
D-B=27.4h
E=6
F=10
S=48.6

giải hộ tớ bài toán nhé!!!
choa,b>0 tm a+b+ab=3
cmr$\frac{3a}{b+1}+\frac{3b}{a+1}+\frac{ab}{a+b}\leq a^{2}+b^{2}+\frac{3}{2}$

cho các số a, b, c $\in \left [ 1;2 \right ]$. Chứng minh bất đẳng thức:
$\frac{a^{2}+b^{2}}{ab}+\frac{b^{2}+c^{2}}{bc}+\frac{c^{2}+a^{2}}{ca}\leq 7.$

bất đẳng thức tương đương với:
$(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\leq 10$
không mất tính tổng quát ta giả sử $1\leq a\leq b\leq c\leq 2$
ta có $\left ( 1-\frac{a}{b} \right )(1-\frac{b}{c})\geq 0$ và $(1-\frac{b}{a})(1-\frac{c}{b})\geq 0$
$\Rightarrow (\frac{a}{b}+\frac{b}{c})+(\frac{b}{a}+\frac{c}{b})\leq 2+(\frac{a}{c}+\frac{c}{a})$
$\Rightarrow (a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\leq 5+2(\frac{a}{c}+\frac{c}{a})$
xét $(2-\frac{a}{c})(\frac{1}{2}-\frac{a}{c})\leq 0$ vì $\frac{1}{2}\leq \frac{a}{c}\leq 2$
nên a/c + c/a $\leq \frac{5}{2}$
suy ra dpcm

Bài toán :
Cho $x,y,z \in (0;1]$. Tìm GTLN của :
$$\left (1+xyz\right )\left (\dfrac{1}{1+x^3}+\dfrac{1}{1+y^3}+\dfrac{1}{1+z^3}\right )$$

em nghĩ đk của bài này phải là x,y,z>=1 và phải là tìm min chứ.nếu đề là như vậy thì em nghĩ cách giải như thế này:::
đầu tiên cm $\frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1}{1+b^{2}}\geq \frac{2}{1+ab}$
áp dụng điều đó ta có
$\frac{1}{x^{3}+1}+\frac{1}{1+y^{3}}\geq \frac{2}{1+xy\sqrt{xy}}$
$\frac{1}{z^{3}+1}+\frac{1}{1+t^{3}}\geq \frac{2}{1+zt\sqrt{zt}}$
suy ra $\frac{1}{1+x^{3}}+\frac{1}{1+y^{3}}+\frac{1}{1+z^{3}}+\frac{1}{1+t^{3}}\geq 2(...)\geq \frac{4}{1+\sqrt[4]{(xyzt)^{3}}}$
( chon t=$\sqrt[3]{xyz}$ ) có
$\frac{1}{x^{3}+1}+\frac{1}{y^{3}+1}+\frac{1}{z^{3}+1}+\frac{1}{xyz+1}\geq \frac{4}{1+xyz}.$
$\Leftrightarrow \sum \frac{1}{1+x^{3}}\geq \frac{3}{1+xyz}$
$\Rightarrow bt\geq 3$

$36(a^{2}+11a+30)(a^{2}+11a+31)=(a^{2}+11a+12)(a^{2}+9a+20)(a^{2}+13a+42)$
$\Leftrightarrow 36(a^{2}+6a+5a+6.5)(a^{2}+11a+31)=(a^{2}+11a+12)(a^{2}+4a+5a+4.5)(a^{2}+6a+7a+6.7)$
$\Leftrightarrow 36(a+5)(a+6)(a^{2}+11a+31)=(a^{2}+11a+12)(a+4)(a+5)(a+6)(a+7)$
$\Leftrightarrow (a+5)(a+6)\left ( (a^{2}+11a+12)(a+7)(a+4)-36(a^{2}+11a+31) \right )=0$
$\Leftrightarrow (a+5)(a+6)(a^{4}+22a^{3}+125a^{2}+44a-780)=0$
$\Leftrightarrow (a+5)(a+6)(a^{2}+11a-26)(a^{2}+11a+30)=0$
$\Leftrightarrow (a+5)(a+6)(a-2)(a+13)(a+6)(a+5)=0$
$\Leftrightarrow a\epsilon \left \{ -13,2,-6,-5 \right \}$
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm $a \in \left \{ -13,2,-6,-5 \right \}$.

ta có thể tách tất cả các biểu thức có thể tách được trong ngoặc thành nhân tử .tìm thừa số chung rồi trừ cả 2 vế đi

D-B=11.7h
E=10
F=0
S=66.3

cho em đăng kí với

$\frac{\sqrt{17}-3}{4}x^2+\frac{1}{\sqrt{17}-3}y^2\geq xy$

$\frac{\sqrt{17}-3}{4}z^2+\frac{1}{\sqrt{17}-3}y^2\geq yz$

$\frac{3}{2}(x^2+z^2)\geq 3zx$

cộng từng vế 3 bđt trên tìm đc Min của P

đúng rồi bạn ạ.minP=$\frac{\sqrt{17}-3}{2}$

các bài bdt tớ thấy hay hay nên post thôi

1.cho x,y,z là các số thực tm xy+yz+3xz=1
tìm min của P=$x^{2}+y^{2}+z^{2}$

2.choa,b,c>0 tm a+b+c=1.cmr
$\sum \frac{a^{7}+b^{7}}{a^{5}+b^{5}}\geq \frac{1}{3}$

3.cho a,b,c$\geq 0$.cmr
$(a+b+c)^{3}\geq 6\sqrt{3}(a-b)(b-c)(c-a)$

4.cho a,b,c>0 tm a+b+c=3.cmr
$\sum \frac{ab}{\sqrt{c^{2}+3}}\leq \frac{3}{2}$

cho x,y,z,a,b>0.


Tìm GTNN của

P=$\frac{x^{2}}{(ay+bz)(az+by)}+\frac{y^{2}}{(ax+bz)(az+bx)}+\frac{z^{2}}{(ax+by)(ay+bz)}$

1.cho a,b,c$\geq 1$.cmr
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{9}{2+abc}$

2.cho a+b+c $\epsilon [0,1]$,$a+b+c= \frac{3}{2}$.Chứng minh rằng
$a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq \frac{5}{4}$

3.Cho x, y, z > 0 và xyz=32. Tìm Min của
S=$x^{2}+4xy+4y^{2}+2z^{2}$

4.Chứng minh rằng:$\frac{1}{a^{3}+1}+\frac{1}{b^{3}+1}+\frac{1}{c^{3}+1}\leq \frac{3}{2abc}$.Với$a,b,c\epsilon [0,1]$

5.Cho a, b, c > 0 và a+b+c=1. Chứng minh rằng
$\left ( a-bc \right ).\left ( b-ac \right ).\left ( c-ab \right )\leq 8a^{2}b^{2}c^{2}$

6.Cho$x^{2}+y^{2}+z^{2}-4x+2z\leq 0$.
Tìm Min, Max của S=2x+3y-2z

7.Chứng minh rằng $a^{3}+b^{3}+c^{3}\leq 5abc$ Với a,b,c$\epsilon$[1,2]


-------------------
MOD: Bạn vui lòng gõ $\LaTeX$ lên tiêu đề nhé. Xem Thông báo về việc đặt tiêu đề.

- Nếu trong topic có nhiều bài toán thì bạn chọn một bài có nội dung ngắn nhất để đặt tên cho tiêu đề.

- Lần này mod sẽ sửa giúp bạn, nếu còn tái phạm thì bài viết sẽ bị xóa mà không báo trước.

- Bạn cần xem ở đây: http://diendantoanho...30

bài khác nữa nè:
1.cho 3 số dương a,b,c tm a+b+c+abc=4.cmr
a+b+c$\geq$ab+bc+ac
2.cho a,b,c thuộc đoạn [1,2] cmr
$\left ( a+b+c \right ).\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )\leq 10$
3.ho a,b,c thuộc đoạn [0,1].cmr
a(1-b)+b(1-c)+c(1-a)$\leq$1
bài 1 bài 3 làm được thì đăng lên luôn nhé!!!

____
3 bài này có nhiều trên topic BĐT THCS và THPT rồi bạn

sử dụng bdt cosi ta được:
$\left ( \frac{1}{x^{2}}+ \frac{1}{y^{2}}\right )$.$(x+y)^{2}$$\geq 8$
suy ra:$\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}\geq \frac{8}{(x+y)^{2}}$
do vai trò của a,b,c như nhau nên ta gs $a> b> c$
áp dụng bất đẳng thức trên ta được:
$\frac{1}{(a-b)^{2}}+\frac{1}{(b-c)^{2}}\geq \frac{8}{(a-c)^{2}}$
đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a-b=b-c
suy ra VT của BĐT ban đầu $\geq$$\frac{9}{(a-c)^{2}}$
mặt khác do a,c thuộc đoạn [0,2] nên 0<a-c<=2
vậy VT$\geq$$\frac{9}{4}$ ta được DPCM
dấu = có khi và chỉ khi (a,b,c)=(2,1,0) và các hoán vị

nếu còn bài nào hay thì up tiếp ở trang này đi nhé.

làm hộ tớ bài này nhé

$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\geq \frac{22}{15}$
với $\frac{1}{2}\leq a,b,c\leq 2$

Tớ cảm ơn các bạn