Chủ đề này có 4 trả lời

[Tham Lang]

Bài toán :
Cho $x,y,z \in (0;1]$. Tìm GTLN của :
$$\left (1+xyz\right )\left (\dfrac{1}{1+x^3}+\dfrac{1}{1+y^3}+\dfrac{1}{1+z^3}\right )$$

___
Em nghĩ đk là $x,y\in [0;1]$ thì mới tồn tại MAx
Hi hi. Ku Kiên nhầm rồi, mỗi số bằng 1 thì vẫn có Max mà em

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huymit_95: 26-04-2012 - 22:05

[danganhaaaa]

Bài toán :
Cho $x,y,z \in (0;1]$. Tìm GTLN của :
$$\left (1+xyz\right )\left (\dfrac{1}{1+x^3}+\dfrac{1}{1+y^3}+\dfrac{1}{1+z^3}\right )$$

em nghĩ đk của bài này phải là x,y,z>=1 và phải là tìm min chứ.nếu đề là như vậy thì em nghĩ cách giải như thế này:::
đầu tiên cm $\frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1}{1+b^{2}}\geq \frac{2}{1+ab}$
áp dụng điều đó ta có
$\frac{1}{x^{3}+1}+\frac{1}{1+y^{3}}\geq \frac{2}{1+xy\sqrt{xy}}$
$\frac{1}{z^{3}+1}+\frac{1}{1+t^{3}}\geq \frac{2}{1+zt\sqrt{zt}}$
suy ra $\frac{1}{1+x^{3}}+\frac{1}{1+y^{3}}+\frac{1}{1+z^{3}}+\frac{1}{1+t^{3}}\geq 2(...)\geq \frac{4}{1+\sqrt[4]{(xyzt)^{3}}}$
( chon t=$\sqrt[3]{xyz}$ ) có
$\frac{1}{x^{3}+1}+\frac{1}{y^{3}+1}+\frac{1}{z^{3}+1}+\frac{1}{xyz+1}\geq \frac{4}{1+xyz}.$
$\Leftrightarrow \sum \frac{1}{1+x^{3}}\geq \frac{3}{1+xyz}$
$\Rightarrow bt\geq 3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi danganhaaaa: 24-04-2012 - 23:09

[Ispectorgadget]

TÌm max cơ mà

[le_hoang1995]

Xin lỗi mọi người, mình đã post 1 lời giải sai. Sau đây xin sửa lại.

Dễ thấy $Max=3$ nên ta chứng minh $(1+abc)\left ( \frac{1}{1+a^3}+\frac{1}{1+b^3}+\frac{1}{1+c^3} \right )\leq 3$

Ta có BĐT sau: với $0\leq x,y\leq 1$ thì $\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\leq \frac{2}{1+\sqrt{xy}}$

Vì $\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}-\frac{2}{1+\sqrt{xy}}=\frac{(x-y)^2(xy-1)}{(1+x^2)(1+y^2)(1+\sqrt{xy})}\leq 0$

Xét $f(a,b,c)=(1+abc)\left ( \frac{1}{1+a^3}+\frac{1}{1+b^3}+\frac{1}{1+c^3} \right )-3$

$f(a,\sqrt{bc},\sqrt{bc})=(1+abc)\left ( \frac{1}{1+a^3}+\frac{2}{1+\sqrt{(bc)^3}} \right )-3$

Suy ra $f(a,b,c)-f(a,\sqrt{bc},\sqrt{bc})=(1+abc)\left ( \frac{1}{1+b^3}+\frac{1}{1+c^3}-\frac{2}{1+\sqrt{(bc)^3}} \right )\leq 0$

Vậy ta chỉ cần chứng minh BĐT trong trường hợp $b=c$.
$f(a,b,b)=(1+ab^2)\left ( \frac{1}{1+a^3}+\frac{2}{1+b^3} \right )-3$

Tới đây rồi chưa làm tiếp được, mọi người góp sức giúp.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi le_hoang1995: 26-04-2012 - 20:27

[le_hoang1995]

Cách dồn biến trên đã bị tắc, còn 1 cách khác.

Sử dụng BĐT mình đã chứng minh ở trên, ta có

$\frac{1}{1+a^3}+\frac{1}{1+b^3}\leq \frac{2}{1+\sqrt{(ab)^3}}$

$\frac{1}{1+c^3}+\frac{1}{1+abc}\leq \frac{2}{1+\sqrt{abc^4}}$

Cộng theo vế, ta được

$\frac{1}{1+a^3}+\frac{1}{1+b^3}+\frac{1}{1+c^3}+\frac{1}{1+abc}\leq 2\left ( \frac{1}{1+\sqrt{(ab)^3}}+\frac{1}{1+\sqrt{abc^4}} \right )\leq \frac{4}{1+abc}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{1+a^3}+\frac{1}{1+b^3}+\frac{1}{1+c^3}\leq \frac{3}{1+abc}$

Suy ra $f(a,b,c)=(1+abc)\left ( \frac{1}{1+a^3}+\frac{1}{1+b^3}+\frac{1}{1+c^3} \right )\leq (1+abc).\frac{3}{1+abc}=3$

Ta thấy $f(a,a,a)=3$ nên $f(a,b,c)_{max}=3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi le_hoang1995: 26-04-2012 - 20:49