Xét bàn cờ vua 8X8.Một con tướng xuất phát từ góc bên trái của bàn cờ , dạo qua tất cả các ô mỗi ô đúng một lần .hỏi con tướng  có thể kết thúc hành trình của mình ở ô góc dưới bên phải của bàn cờ được không

Ý chú có phải là góc trái phía trên bàn cờ, góc bên dưới thì quá dễ rồi
Xét trường hợp quan vua ở góc trên bên trái (A8)
$\boxed{\text{Dàn ý:}}$

Câu trả lời là không (nghề rồi), vì sao ?

Xét số ô đen, số ô trắng (chú ý vị trí quân vua ở ô trắng muốn đi xuống ô trắng)
...

$\implies$ không đi được
 

Trả lời cho rõ .Đưa lên đây để các bạn thảo luận chứ có phải chơi đâu

Cũng để cho các bạn ấy nghĩ chứ.
Thêm một bài về cờ vua:
Cho bàn cờ $4$ x $n$. Một quân mã có thể đi hết bàn cờ ấy được không ? (mỗi ô đi $1$ lần)
Ví dụ (đây là bàn $5\ x\ 5$):

 

 

Thêm một bài về bảng: Chọn hai số liền nhau (như 1 - 2; 6-3; 8-5...) Rồi cộng vào chúng cùng một số tự nhiên, liệu có thể biến đổi cái hình bên trái thành bên phải ?

$\begin{bmatrix} 1 & 2 &3 \\ 4 & 5 &6 \\ 7 & 8 &9 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 7 & 8 &9 \\ 6 & 2 &4 \\ 3 & 5 &1 \end{bmatrix}$

Cho đường tròn (O;R) và dây BC không đi qua O, các tiếp tuyến của đường tròn tại B và C cắt nhau tại A. Gọi AO cắt BC ở J. Gọi EF là 1 dây của đường tròn (O) đi qua J (EF không trùng với AO)
a,CMR: OJ.JA=JE.JF
b,Gọi M là điểm bất kì trên cung nhỏ BC(M khác B,C). Gọi H,I,K lần lượt là hình chiếu của M trên BC,CA,AB. Gọi P là giao điểm của BM với HK và Q là giao điểm của CM với HI. CMR: PQ song song BC
c, xác định vị trí của điểm M để tích MH.MI.MK đạt giá trị lớn nhất.

Câu $a, b$ đơn giản rồi, câu $c$ liệu có thể viết lại đầu bài là chứng minh $MH + MK + MI = c$ là hằng số ?

cho biểu thức $\frac{x^{2}+x+1}{x^{2}+2x+1}$, $x \neq -1$,tìm GTNN của A

Mình không chơi kiểu Delta đen nhiếc nhá, nhưng mà đi đường vòng:
$\frac{x^{2}+x+1}{x^{2}+2x+1} min$ khi $\frac{x^{2}+2x+1}{x^{2}+x+1} max$
Có $\frac{x^{2}+2x+1}{x^{2}+x+1}$ = 1 + $\frac{x}{x^{2}+x+1}$
=> $\frac{x^{2}+2x+1}{x^{2}+x+1}$ max khi $\frac{x}{x^{2}+x+1}$ max hay $\frac{x^{2}+x+1}{x}$ min
Lại có $\frac{x^{2}+x+1}{x} >=3$ (cô si cho 2 số $x^2$ và 1) => x = 1
Vậy cái bt kia có $min = 3/4$ tại $x=1$

Đặt $6(x-\frac{1}{y})=3(y-\frac{1}{z})=2(z-\frac{1}{x})=xyz-\frac{1}{xyz}=k$
Có: $x-\frac 1y = \frac k6, y-\frac 1z = \frac k3, z - \frac 1x = \frac k2 \implies \frac {k^3}{36} = (x-\frac 1y)(y-\frac 1z)(z-\frac 1x) =
yzx-y-x+{z}^{-1}-z+{x}^{-1}+{y}^{-1}-{\frac {1}{yzx}} = k - \frac k2 - \frac k3 - \frac k6=0 \iff k=0$
----
Phần còn lại để dành bạn
KQ: $x=y=z= \pm 1$

Tìm x,y nguyên thoả mãn: 2012x²⁰¹¹+2011y²⁰¹²=2013²⁰¹⁴

Short hint: Chứng minh phương trình vô nghiệm.
~#: $2013^{2014} \equiv 1 \pmod {2012}$
~#: $2011y^{2012} \equiv -1.y^{2012} \not\equiv 1 \pmod {2012}$

Tìm x biết:
$$\frac{a+b-x}{c}+\frac{a+c-x}{b}+\frac{b+c-x}{a}+\frac{4x}{a+b+c}=1$$

Mong được sự giúp đỡ của các bạn nhé!
Mình thank các bạn nhiều!

Bài làm tại đây $x=a+b+c$

Tìm tất cả giá trị của m để $2x-(m+1)\sqrt{x+4}+m+9=0$ có 2 nghiệm phân biệt

HINT: $\sqrt{x+4}=t\ge0\iff x+4=t^2 \iff 2x =2t^2-8$, thay vào phương trình đầu được phương trình ẩn $t$ (chú ý $t \ge 0$)

Do $A= {n^{2009}} + {n^{2008}} + 1$ luôn chia hết cho $A > x^2+x+1 > 1$ nên nó luôn là hợp số.

Bải giải hơi sai, phải có thêm n > 1 (chiều nay mình mới học bài này xong, khác là tìm n để $A= {n^{2012}} + {n^{2011}} + 1$ là SNT

$\Delta = 4a^2 + 4a + 1 +11 = (2a + 1)^2 + 11$ là số chính phương thì pt mới có nghiệm nguyên. Đặt $\Delta = m^2$...
--------------------

Tìm số tự nhiên n để $A(x)=x^{2n} +x^n+1$ chia hết cho $x^2+x+1$

~#: $n=3k$
$x^2 + x + 1 \nmid x^{2n} + x^n + 1 = x^{6k} + x^{3k} + 1 = (x^{6k} - 1) + (x^{3k} - 1 ) + 3 = \mathfrak{M}(x-1)(x^2+x+1) + 3$

~#: $n=3k \pm 1$
(bạn tách như trên và sẽ thu được $VT \vdots VP$ )

$19026+25n = m^2 => m=25k+1 hoặc m=25k - 1 (hay chính là cộng 24)$ để tí mình gct

Tìm số nguyên dương n sao cho $\frac{n(2n-1)}{26}$ là số chính phương

$\frac{n(2n-1)}{26}$ là số chính phương $\iff n(2n-1)=26k^2$
$\Delta_n = 208k^2+1 = y^2 \iff y^2 - 208k^2 = 1 \overset{PELL.}{\iff} $

----------
Fix: quên không để ý $n$ nguyên DƯƠNG nên lời giải hơi lằng nhằng một chút

Trên bàn có 10 miếng giấy. Người ta chọn một vài miếng và cắt mỗi miếng thành 7 miếng nhỏ, rồi để tất cả các miếng giấy sau khi cắt trở lại mặt bàn. Tiếp theo, lại chọn một vài miếng giấy trên bàn (trong tổng số các miếng giấy) và lại cắt mỗi miếng thành 7 miếng rồi để tất cả các miếng giấy sau khi cắt trở lại mặt bàn. Quá trình cứ tiếp diễn như vậy, hỏi sau hữu hạn bước, có thu được 2014 miếng giấy hay không?

Không mất tính tổng quát, có thể giả sử mỗi lần chỉ chọn một miếng giấy, khi ấy, 1 miếng --> 7 miếng

$\implies$ số giấy trên mặt bàn tăng thêm $-1+7 = 6$ (miếng)

Vậy sau $334$ bước sẽ có thêm $6 \cdot 334 = 2004$ miếng $\iff$ số giấy trên bàn là $2004+10 = 2014$

 

1. Tìm đa thức bậc 2 f(x) sao cho: f(x+1) - f(x) = x²
2. Xác định f(x) bậc 4 với f(-1)=0, f(x) - f(x-1) = (2x+1)x(x+1) (hình như $f(x) = \frac{ x (x+1)^2 (x+2)}{2}$)

Không ai làm được 4 5 6 à?!  

 

 

Mình xin tiếp tục nhé!!
Bài toán 4:
Cho bàn cờ vua 8x8. Người ta đặt lên bàn cờ 12 quân tốt vào 12 ô.
Chứng minh rằng: có thể chọn 4 hàng và 4 cột sao cho 12 quân tốt nằm trong 4 hàng và 4 cột đó
Bài toán 5:
Hỏi như bài 4 với bảng 2nx2n. Đặt 3n quân cờ. Chọn n hàng và n cột (tổng quát)
Bài toán 6:
Cho đa giác lồi 2n cạnh.
Chứng minh rằng: tồn tại ít nhất một đường chéo không song song với bất kì cạnh nào của đa giác đó

                                       
 

Bài 4, 5: 
Thi thử KHTN và giải tại đây

Bài 6: KHTN vòng 2 năm 2006

Chắc không tồn tại m
$-7m^2 + 10m + 33 = 16m+4<=>7m^2-6m+29=0$
Pt này đâu có nghiệm nguyên đâu

đấy là 2 pt khác nhau mà anh ơi

Sr.mình sửa đây
a.Dùng phương pháp chặn
$-7m^2 + 10m + 33 = 4k^2\geq 0=>-1.5\leq m\leq 3$
m nguyên nên chỉ cần thay các giá trị -1,0,1,2,3. chỉ có giá trị 3 cho kết quả k là số nguyên
b.$m=\frac{(k-1)(k+1)}{4}$
k chẵn thì (k-1)(k+1) lẻ =>m không nguyên
k lẻ thì (k-1)(k+1) là tích hai số chẵn liên tiếp =>m nguyên
Vậy $m=\frac{(k-1)(k+1)}{4}$ với k lẻ

Hoàn thiện nốt: $m=\frac{(k-1)(k+1)}{4} = n(n+1)$ (với n là số nguyên)

1. Tìm m nguyên:
a.$-7m^2 + 10m + 33 = 4k^2$
b.$4m + 1 = k^2$
c. $(23 – m)(m – 3)=k^2$
d. $m^3 + 2003m = 2005^{2006} + 1$ (vô nghiệm nhá)
(k thuộc Z)
---
Để tí mình gõ tiếp

n = 7 + 11m hoặc n = 6 + 11m (m là số nguyên dương)

tưởng chung của bài 71 là giới hạn miền nghiệm $a \ge b \ge c$ khi đó $3c^3 \le 2001 \Leftrightarrow c \le 8$.

 

Anh đã thử và cảm nhận: a long story

Giới hạn như vậy: 8 trường hợp của c, mỗi trường hợp của c lại có vài trường hợp của a, b $\implies$ khá dài (cần kết hợp đồng dư, lời giải sẽ dễ chịu hơn)

Tiếp tục nào

Bài 73* : Chứng minh rằng phương trình sau không có nghiệm nguyên dương :

a.$x^{4}+y^{4}=z^{2}$

b.$x^{4}-y^{4}=z^{2}$

Bài 74 : Có tồn tại hay không các số nguyên $x$,$y$ thoả mãn điều kiện $1992x^{1993}+1993y^{4}=1995$

Bài 75 : Giải phương trình nghiệm nguyên : $x^{2}+x=y^{4}+y^{3}+y^{2}+y$

Bài 74: Xét đồng dư cho $4 \implies$ vô nghiệm

Bài 75: Nhân thêm $4$ rồi cộng $1$ vào $2$ vế, rồi chặn sẽ tìm đuợc nghiệm

Bài 73: a), b)
Đưa về phương trình pytago, chắc biểu diễn các nghiệm 1 hồi $\implies$ vô nghiệm (chưa thử, không biết lùi vô hạn được không)

EDIT: Đây là 1 bài toán của Nagell, đã được chứng minh vô nghiệm (các bạn thử Google xem có solution không ?).

Tiếp cho nóng nào
Bài 70: Giải phương trình nghiệm nguyên

$x^2 + y^2 + z^2 = 807$ ( một bài dễ ~~)

----------
Có $x^2 + y^2 + z^2 = 807 \equiv 3 \pmod 4\\ \implies x^2 \equiv y^2 \equiv z^2 \equiv 1 \pmod 4 \\ \iff 2\nmid x, y, z$
Đặt $x = 2x_1 + 1,y = 2y_1 + 1,z = 2z_1 + 1$
Phương trình tương đương 

$4 x^2+4 x+4 y^2+4 y+4 z^2+4 z+3 = 807 \\ \iff {x}^{2}+x+{y}^{2}+y+{z}^{2}+z=201 \\ \iff x(x+1)+y(y+1)+z(z+1)=201$

Mà $2 \mid VT \land 2 \nmid VP\implies$ vô nghiệm

 

Xin góp 1 bài: 

Bài 71: Giải phương trình nghiệm nguyên dương $a^3 + b^3 + c^3 = 2001$

Hâm nóng topic nào .
Bài 69: Giải phương trình nghiệm nguyên $5^x + 2.5^y + 5^z = 4500$ với $x<y<z$

$x<y<z$ làm ta nghĩ đến việc xét khoảng
#: $z<5 \implies VT < VP$
#: $z>5 \implies VT > VP$
#: $z=5$, thay, và thử $(x;y;z)=(3;4;5)$

Cuộc đời vốn đã bất công
Thằng hai hộp...nhầm.... Thằng hơn thầy giáo, thằng không biết gì