Vì thầy đã cho link nên em xin đề xuất lại 

Đề xuất $\boxed{\text{Bài 10'}}$ Cho $\Delta A_0B_0C_0$ nhọn trọng tâm $G_0$. $A_0G_0,B_0G_0,C_0G_0$ cắt lại đường tròn $(A_0B_0C_0)$ tại $A_1,B_1,C_1$. Trọng tâm $A_1B_1C_1$ là $G_1$. Tiếp tục làm tương tự như trên để có tam $A_2B_2C_2$, $A_3B_3C_3$,...

Chứng minh rằng $lim_{n\rightarrow \infty }\widehat{A_nB_nC_n}=lim_{n\rightarrow \infty }\widehat{B_nC_nA_n}=lim_{n\rightarrow \infty }\widehat{C_nA_nB_n}=60^{\circ}$

Nguồn : Sáng tác 

Lời giải Bài 9

Giả sử $\Delta ABC$ nằm trên mặt phẳng phức với gốc tọa độ là $O$ và $(ABC)$ là đường tròn đơn vị. Kí hiệu các điểm bởi chữ cái viết thường của nó.

Khi đó:$o=0$, trọng tâm $\Delta ABC$ là $\frac{a+b+c}{3}$ suy ra $h=a+b+c$.

Do $A,B,C$ nằm trên đường tròn đơn vị nên $|a|=|b|=|c|=1$ suy ra $a=\frac{1}{\bar{a}}$, $b=\frac{1}{\bar{b}}$ và $c=\frac{1}{\bar{c}}$.

Phương trình đường thẳng $AB$ là $\begin{vmatrix} a & \bar{a} & 1\\ b & \bar{b} & 1\\ p & \bar{p} &1 \end{vmatrix}$ hay $p+ab\bar{p}=a+b$. Ta có phương trình tương tự cho $AC$ là $q+ac\bar{q}=a+c$

Vì $M$ cùng phía $BC$ nên $\Delta MBC$ đồng dạng ngược hướng $\Delta HPQ$. từ đó ta có đẳng thức $\frac{m-b}{b-c}=\frac{\bar{h}-\bar{p}}{\bar{p}-\bar{q}}$ suy ra $m=(b-c)\left ( \frac{\bar{h}-\bar{p}}{\bar{p}-\bar{q}} \right )+b$

Việc chứng minh $MH\perp PQ$ tương đương với chứng minh $\frac{m-h}{p-q}$ là số thuần ảo hay $\frac{m-h}{p-q}=\frac{\bar{h}-\bar{m}}{\bar{p}-\bar{q}}$

Từ đẳng thức $m=(b-c)\left ( \frac{\bar{h}-\bar{p}}{\bar{p}-\bar{q}} \right )+b$ suy ra 

$$(m-h)(\bar{p}-\bar{q})=(b-c)(\bar{h}-\bar{p})+(b-h)(\bar{p}-\bar{q})=(b-c)(\bar{h}-\bar{p})-(a+c)(\bar{p}-\bar{q})$$

$$(\bar{h}-\bar{m})(p-q)=(\bar{h}-\bar{b})(p-q)-(\bar{b}-\bar{c})(h-p)=(\bar{a}+\bar{c})(p-q)-(\bar{b}-\bar{c})(h-p)$$

Ta có 

$$(b-c)\left ( \bar{h}-\bar{p} \right )-(a+c)(\bar{p}-\bar{q})=(b-c)\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\frac{a+b-p}{ab} \right )-(a+c)\left ( \frac{a+b-p}{ab}-\frac{a+c-q}{ac} \right )=(b-c)\left ( \frac{1}{c}+\frac{p}{ab} \right )-(a+c)\left ( \frac{ac-ab+qb-pc}{abc} \right )=\frac{(b-c)(ab+pc)-(a+c)(ac-ab+qb-pc)}{abc}=\frac{a^2b-a^2c+ab^2-abq-ac^2+acp+bcp-bcq}{abc}$$

$$(\bar{a}+\bar{c})(p-q)-(\bar{b}-\bar{c})(h-p)=\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{c} \right )(p-q)-\left ( \frac{1}{b}-\frac{1}{c} \right )(a+b+c-p)=\frac{(a+c)(p-q)b+a(b-c)(a+b+c-p)}{abc}=\frac{a^2b-a^2c+ab^2-abq-ac^2+acp+bcp-bcq}{abc}$$

Vậy từ 2 điều trên suy ra 

$$(b-c)(\bar{h}-\bar{p})-(a+c)(\bar{p}-\bar{q})=(\bar{a}+\bar{c})(p-q)-(\bar{b}-\bar{c})(h-p)$$

hay $\frac{m-h}{p-q}=\frac{\bar{h}-\bar{m}}{\bar{p}-\bar{q}}$ hay ta có điều cần chứng minh

 

Đề xuất Bài 10 (AoPS): Chứng minh rằng trong một tam giác nếu lấy đổi xứng của một tiếp tuyến của đường tròn nội tiếp qua các phân giác ngoài thì các đường thẳng đối xứng này cắt nhau tạo thành một tam giác bằng tam giác đã cho . 

$$\begin{array}{| l | l |} \hline Ngockhanh99k48 & 1\\ \hline IHateMath & 1\\ \hline fatcat12345 & 2\\ \hline dogsteven & 2\\ \hline baopbc & 3\\ \hline QuangDuong12011998 & 1\\ \hline xuantrandong & 1\\ \hline mrjackass & 1\\ \hline\end{array}$$

Dạ em muốn đính chính là em không lấy bài từ đâu, nghịch GSP và nhìn ra thôi ạ.

Nếu em có bạn gái và rủ đc nó tham gia VMF thì cx đc thi à À mà nó cũng thi chuyên Toán thưa các bác

Các bạn cho mình hỏi cái dùng đề làm gì zạ??

Cái đó là để có sight thưa bác, kiểu như kiểm tra các vị trí quan trọng trên bản đồ như RS, rune hoặc cắm trong rừng chống roam. Supporter hay lên cái này cho team

Nick GG của mình là W.Storm

Lời giải Bài 9:

Xét $a_n$. Số các tập thuộc $a_n$ có $i$ phần tử là $\binom{n-i+1}{i}$ vì ta chỉ chọn các phần tử $i, i+1, ...,n$

Do đó $a_n=\sum_{i<n-i+1}\binom{n-i+1}{i}$

Xét $b_n$. Ta đếm số các tập thuộc $b_n$ có $i$ phần tử. Gọi các phần tử đó là $x_1 < x_2 < ... <x_i$ thì theo đề bài $1 \leq x_1 < x_2 - 1 < x_3 -2 ... <x_i-(i-1)\leq n -i +1$. Đặt $y_i=x_i-(i-1)$ thì số tập thuộc $b_n$ có $i$ phần tử bằng số các dãy $y_1,y_2,..,y_i$ mà $1\leq y_1 < y_2 <...<y_i \leq n-i+1$ hay bằng $\binom{n-i+1}{i}$. Do đó $b_n=\sum_{i<n-i+1}\binom{n-i+1}{i}$ hay ta có $a_n=b_n$

 

Đề xuất Bài 10: Xét một số tự nhiên được biểu diễn trong hệ nhị phân. Ta gọi một khoảng cách nhị phân là một khoảng gồm các số $0$ liền nhau và ở hai đầu của nó là hai số $1$. Ví dụ số $548=1000100100_{2}$ có hai khoảng cách nhị phân là $000$ và $00$.

Hỏi từ $1$ tới $4095$ có bao nhiêu số mà độ dài các khoảng cách nhị phân của nó nhỏ hơn hoặc bằng $3$?

Câu I. 1) Rút gọn

$S=\frac{1}{2\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+\frac{1}{4\sqrt{3}+3\sqrt{4}}+...+\frac{1}{100\sqrt{99}+99\sqrt{100}}$

 

2) Giải phương trình: $\sqrt[3]{1-2x}+\sqrt{x+3}=1$

 

Câu II. 1) Tìm các cặp số nguyên $(x;y)$ thỏa mãn: $2x^2+3xy+y^2-4x-3y+1=0$

 

2) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} 2x^2-xy=1\\ x^3-5xy^2-x^2+5y^2+4x=4\end{matrix}\right.$

 

Câu III. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ cố định, $B,C$ cố định, $A$ di chuyển trên $(O)$. $D$ thuộc đoạn $BC$ sao cho $AD$ là phân giác $\angle BAC$. Đường tròn $(K)$ đi qua $A$ tiếp xúc $BC$ tại $D$.

1) Chứng minh $(K)$ tiếp xúc $(O)$

2) Gọi $(K)$ giao $CA,AB$ lần lượt tại $E,F$ khác $A$. $BE,CF$ lần lượt cắy $(K)$ tại $G,H$ khác $E,F$. $AG,AH$ cắt $BC$ lần lượt tại $M,N$. Chứng minh rằng: độ dài $MN$ không đổi khi $A$ di chuyển

 

Câu IV. Với các số dương $a,b$ thỏa mãn $a^3+b^3+6ab \leq 8$, tìm GTNN của $P=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{3}{ab}+ab$

 

 

 

 

 

 

Câu I:Xác định các giá trị của tham số $m$ để phương trình $2013x^2-(m-2014)x-2015=0$ có 2 nghiệm $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn điều kiện $(\sqrt{x_{1}^2+2013}-x_{1})(\sqrt{x_{2}^2+2013}-x_{2})=2013$. Tìm 2 nghiệm đó

 

Câu II: (3 điểm)

1) Tìm tất cả các cặp số nguyên $(x,y)$ thỏa mãn phương trình $\dfrac{x-y}{x^2+xy+y^2}=\dfrac{19}{97}$

2) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix}(x+y)z=\sqrt{xy}\\ (y+x)x=\sqrt{yz}\\ (z+x)y=\sqrt{zx}\end{matrix}\right.$

 

Câu III: (2,5 điểm)

1) Cho $a,b,c$ là 3 số nguyên dương phân biệt sao cho $\frac{a.\sqrt{2013}-b}{c.\sqrt{2013}-a}$ là 1 số hữu tỉ. Chứng minh rằng $\frac{2a^3-b^3-c^3}{2a-b-c}$ là 1 số chính phương.

2) Cho các số $x,y$ cùng dấu. Chứng minh rắng $\left ( \frac{x^4}{y^4}+\frac{y^4}{x^4} \right )-\left ( \frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2} \right )+\left ( \frac{x}{y}+\frac{y}{x} \right )\geq 2$

 

Câu IV: (1,5 điểm)

Cho $\Delta ABC$ nhọn và điểm $K$ trên cạnh $AC$ sao cho $AK=2KC$, $\angle ABK=2\angle KBC$ và $AB< BC$. Dưng đường tròn đường kính $AB$, cắt $BK$ tại $D$ và cắt $BC$ tại $E$. Chứng minh rắng $\Delta CDE$ là tam giác cân

 

Câu V: (1 điểm)

Các số nguyên dương từ $1$ đến $10$ được xếp ngẫu nhiên chung quanh một đường tròn. Chứng minh rằng trong $10$ số trên có ít nhất 3 số xếp liên tiếp mà tổng của chúng không nhỏ hơn $17$

Bài này mình bỏ mất câu hình. Cũng may các phần còn lại làm được hết. Không biết các bạn khác đi thi thế nào   
.

• Trả lời
   
•  

 

 

Hôm đi thi mình làm được bài hình, xin chia sẻ lời giải vắn tắt. (Không biết vẽ hình nên các thím thông cảm)

Lấy $F$ đối xứng $A$ qua $BK$. Gọi $M$ là trung điểm $KF$ thì $KM=KC=MD$. Lại có $DM // KC$ nên $KDMC$ là hình bình hành. Suy ra $CM \perp DF$. Suy ra $C$ nằm trên trung trực $DF$. Lại có $\angle {KBA}=\angle {KBF}=2 \angle {CBK}$ nên $C$ là giao của phân giác $\angle{DBF}$ và trung trực $DF$. Vậy $DBCF$ nội tiếp.

Do đó ta có: $\angle {DCE}=\angle {DFB}=\angle {DAB}=\angle {DEC}$ do đó $\Delta CDE$ cân ở $D$

Ông nói chuẩn,nhưng vẫn ngon, thi cụm nào vậy?

Tui thi ở Thanh Xuân

Bài 1 (5 điểm)

a) Tìm các số thực $a,b$ sao cho đa thức $4x^4-11x^3-2ax^2+5bx-6$ chia hết cho đa thức $x^2-2x-3$

b) Cho biểu thức $P=(a^{2013}-8a^{2012}+11a^{2011}) + (b^{2013}-8b^{2012}+11b^{2011})$. Tính giá trị của $P$ với $a=4+\sqrt{5}$ và $b=4-\sqrt{5}$

 

Bài 2 (5 điểm)

a) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} 6x^2-y^2-xy+5x+5y-6=0\\ 20x^2-y^2-28x+9=0 \end{matrix}\right.$

Đề năm nay không khó, mỗi tội nhầm mất bài 2 

Nhưng ít ra nó khó hơn năm ngoái 

Đề lần này ngon quá rồi còn gì Theo yêu cầu của các thím em sẽ làm bài hình.

Do cách suy nghĩ của mình nên mình sẽ làm câu b trước, câu a sau

b)Trước tiên các bạn chú ý bổ đề: $\Delta ABC$ nội tiếp $(O;R)$ thì $\frac {BC}{sin A}=2R$ 

Do $\widehat{CFB}=\widehat{BEC}$ nên $\widehat{CFA}=\widehat{BEA}$, từ đó $\widehat{HFB}=\widehat{HEQ}$.

Lại có $HA=HP=HQ$ theo tính chất đối xứng trục. Từ bổ đề ta có bán kính $(I)$ và $(J)$ bằng nhau

 

a)Gọi giao $(I)$ và $(J)$ là $T$.

$\widehat{HTF}=\widehat{HPF}=\widehat{HAF}$ và $\widehat{HTE}=\widehat{HQE}=\widehat{HAE}$. Mà $\widehat{HTF}+\widehat{HTE}=\widehat{ETF}$ và $\widehat{HAF}+\widehat{HAE}=\widehat{FAE}$ nên $\widehat{FAE}=\widehat{FTE}$

Lại có $\widehat{HFT}=\widehat{HET}$ (góc nội tiếp trong 2 đường tròn bằng nhau theo CM của câu b và chắn dây bằng nhau).

Mà theo trên thì $\widehat{HFA}=\widehat{HEA}$ => $\widehat{TFA}=\widehat{TEA}$

$AETF$ có 2 cặp góc đối bằng nhau nên là hình bình hành. Từ đó có $A,M,T$ thẳng hàng.

Đúng rồi đó anh, nhưng tại sao ko lập hẳn 1 tên miền riêng cho điện thoại? Công thức Toán load tùy vào tốc độ mạng thôi

Khi ở lớp em lên VMF từ điện thoại bạn, thấy khá bất tiện do giao diện là bản chuẩn cho máy tính. Tại sao không lập 1 phiên bản VMF riêng dành cho điện thoại? VD lấy tên miền như m.diendantoanhoc.net chẳng hạn

Nó là Galaxy Y Xin lỗi anh, thật ra nó vẫn load bình thường, tuy nhiên em ko để ý và nghĩ nó là bản chuẩn nên tưởng rằng như vậy sẽ chậm hơn. Tiện cho em hỏi: 1 đứa bạn khác của em có cái Nokia E72, em lên bằng Opera Mini thì không thể kéo xuống dưới đọc hết bài viết, nhưng khi dùng trình duyệt của điện thoại (cái Web Browser đc cho sẵn) thì lại xem được. Nó là như thế nào vậy anh?

cho xy+z+xz=-1
Tìm min S=$x^{2}+5y^{2}+8z^{2}$

Hình như là $xy+yz+zx=1$ mới đúng chứ
$x,y,z$ vai trò không tương đương. Giả sử $x=\alpha y=\beta z$ ($\alpha$ và $\beta$ là hằng số dương, tìm sau)
Áp dụng AM-GM:
$\beta(x^2+\alpha^2 y^2)\geq2\alpha \beta xy$
$\alpha(x^2+\beta^2 z^2)\geq2\alpha \beta xz$
$\alpha^2y^2+\beta^2z^2\geq2\alpha\beta yz$
Cộng vào: $(\alpha+\beta)x^2+(\alpha^2+\alpha^2\beta)y^2+(\beta^2+\alpha\beta^2)z^2\geq 2\alpha\beta$
Để vế trái có dạng $x^2+5y^2+8z^2$ thì $\frac{\alpha+\beta}{\alpha^2+\alpha^2\beta}=\frac{1}{5}$ và $\frac{\alpha+\beta}{\beta^2+\alpha\beta^2}=\frac{1}{8}$
Giải hệ đó và lấy nghiệm dương thì $\alpha=\frac{1}{7}(10+\sqrt{65})$ và $\beta=\frac{1}{4}(7+\sqrt{65})$
[Thực ra mình lên http://www.wolframal.../(b^2+ab^2)=1/8 cho nhanh =))]
Có $\alpha$ và $\beta$ rồi thì bạn thay ngược vào trên và tìm dấu $=$

Thì nó cũng tương tự thôi nhưng để tránh nhầm lẫn khi dùng AM-GM hãy để $xy, yz, zx$ trong trị tuyệt đối
KQ: $min = 4$ tại $x=1,5, y=-0,5$

Ấy ấy không được đâu bác. Ai mà biết được $\alpha$ hay $\beta$ dương hay không để có 2 đánh giá đầu tiên??? Bài của em cũng chỉ là đang xét trong trường hợp $x,y,z$ dương

Bài em đã giải và bài ở topic này hoàn toàn khác nhau. Về bài ở topic này có thể dùng phương pháp dồn biến, khá dài dòng ==!
Đối với bài kia em có thể dùng Chevbyshev với 2 bộ đơn điệu, cơ mà 2 bộ trong bài toán topic này lại không hề đơn điệu tăng hoặc giảm
Chúc em xử được bài này !
___
NLT

Xin lỗi em sơ suất quá, nhìn nhầm 2 bài toán

nhìn thì giống nhưng ko phải Nesbit tổng quát

Nó chẳng liên quan đâu bạn ạ. Nesbit (hay Shapiro) tổng quát là lquan tới số biến, còn cái này của bạn nó còn chẳng giống Nesbit 3 số

Chú black với white đăng kí không để mình chốt danh sách, 10 giờ đến 12 giờ ngày 29 âm bắt đầu chiến nhé!

Họ và tên: Phan Minh Nghĩa
Trường: THCS Marie Curie HN
Nick diễn đàn toán học: mrjackass
Nick garena: W.Storm
Nick yahoo hoặc số điện thoại nếu có để liên lạc: [email protected]
Team mới: W
Các thánh viên có thể thi đấu: W.Sunny, W.Windy (th` này nick VMF là dinhthanhhung)
3 th` có đủ ko chủ thớt hay phải kêu thêm 2 th` nữa. Tiện thể các bác SX lịch thi đấu, mai chơi rồi

Đây là BĐT được mở rộng của BĐT nesbit

Ông đọc nhầm đề giống tôi rồi =))

Cho a,b,c dương, n >1 (n nguyên)
Chứng minh rằng
$$ (\frac{a}{a+b})^{n}+(\frac{b}{b+c})^{n}+(\frac{c}{c+a})^{n}\geq \frac{3}{2^{n}}$$

Bạn tham khảo tại http://diendantoanho...bckgeq-frac32k/

Bài cậu đúng rồi nhưng chú ý là mệnh đề trên là một mệnh đề sai nhé. Vd: $1+2\sqrt{2}$và $-2\sqrt{2}$ là hai số vô tỉ nhưng tổng của chúng lại là một số hữu tỉ.

Mệnh đề đúng là: Tổng của hai số vô tỉ không đồng dạng là một số vô tỉ

Nhờ bác định nghĩa hộ số vô tỉ không đồng dạng???

tìm x,y nguyên thỏa mãn $$x^y=y^x$$ dùng kiến thức cấp 2

Bài này hình như tớ post 1 lần rồi nhưng chưa ai giải ở cái topic đó cả.

Nếu $x=y$ thì nghiệm là $(n;n)$ với $n$ tự nhiên

Nếu $x$ khác $y$. Không mất tổng quát, giả sử $ x \geq y$. Đặt $x=y+m$ ($m$ nguyên)

=> $y^{y+m}=(y+m)^y \iff (1+\frac{m}{y})^y=y^m$

Dễ thấy VP nguyên, do đó VT nguyên, dẫn tới $\frac{m}{y}$ nguyên

=>$x\vdots y$. Đặt $x=ny$ ($n$ nguyên)

=> $(ny)^y=y^{ny} \iff ny=y^n$

Nếu $y=1$ thì $x=y=1$

Nếu $y \geq 2$ thì bằng quy nạp, ta CM được $VP \geq VT$ và dấu "=" $\iff y=n=2 \iff x=4; y=2$

Cho đa thức bậc 5 có hệ số nguyên. Biết rằng $f(x)$ nhận giá trị nguyên với 4 giá trị nguyên khác nhau của $x$. Cmr : với mọi $x\in Z$ thì $f(x)$ không thể có giá trị bằng 1992.

Bác giải thích rõ. $f(x)$ có hệ số nguyên thì cứ $x$ nguyên là $f(x)$ nguyên còn gì