Ngày thi thứ nhất.

Câu 2. Cho $a, b, c$ là các số thực không âm. Chứng minh rằng $$3(a^2+b^2+c^2)\geq(a+b+c)(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})+(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\geq(a+b+c)^2.$$
 

$\star $ Ta có: $\sum \sqrt{ab}\leq \sqrt{3\left ( \sum ab \right )}$ 

Ta cần chứng minh $3\sum a^{2}\geq \left ( \sum a \right )\left ( \sqrt{3\left ( \sum ab \right )} \right )+\sum \left ( a-b \right )^{2}\Leftrightarrow \sum a^{2}\geq \left ( \sum a \right )\left ( \sqrt{3\left ( \sum ab \right )} \right )-2\sum ab\Leftrightarrow \left ( a+b+c \right )^{2}\geq (a+b+c)\left ( \sqrt{3(a+b+c)} \right )\Leftrightarrow \left ( a+b+c \right )^{2}\geq 3(ab+bc+ca)$ (luôn đúng)

$\star $ $\left ( \sum a \right )\left ( \sum \sqrt{ab} \right )+\sum \left ( a-b \right )^{2}\geq \left ( \sum a \right )^{2}\Leftrightarrow \left ( \sum a \right )\left ( \sum \sqrt{ab} \right )+\sum a^{2}\geq 4\sum ab$ $(1)$

Đặt $\left ( \sum x^{2} \right )\left ( \sum xy \right )+\sum x^{4}\geq 4\sum x^{2}y^{2}$ 

Đặt $\left\{\begin{matrix} p=x+y+z & \\ q=xy+yz+zx & \\ r=xyz & \end{matrix}\right.$

$(1)$ trở thành $\left ( p^{2}-2q \right )q+p^{4}-4p^{2}q+2q^{2}+4pr\geq 4(q^{2}-2pr)\Leftrightarrow p^{4}-3p^{2}q+12pr\geq 4q^{2}$

Mặt khác ta có bđt quen thuộc $4q^{2}\leq p^{2}q+3pr$ $(2)$

Theo bđt Schur ta có: $a^{r}(a-b)(a-c)+b^{r}(b-c)(b-a)+c^{r}(c-a)(c-b)\geq 0$

Cho $r=1$ bđt Schur trở thành: $a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc\geq ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)\Leftrightarrow p^{3}-4pq+9r\geq 0\Leftrightarrow p^{4}-4p^{2}q+9pr\geq 0$ $(3)$

Cộng theo vế $(2)$ và $(3)$ suy ra đpcm

 

Câu 2 : (1,5 điểm)

Cho đa thức $f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ với a nguyên dương và $f(5)-f(4)=2012$. CMR : $f(7)-f(2)$ là hợp số

 

Ta có: $f(5)-f(4)=2012\Leftrightarrow 11a+9b+c=2012$

$f(7)-f(2)=335a+45b+5c=280a+(55a+45b+5c)=(280a+10060)\vdots 10$

Vậy $f(7)-f(2)$ là hợp số

Tìm các số nguyên x,y thoả mãn phương trình: x³+2x²+3x+2=y³

Với $\begin{bmatrix} x> 1 & \\ x< -1& \end{bmatrix}$ ta có: $x^{3}< x^{3}+2x^{2}+3x+2< (x+1)^{3}\Rightarrow x^{3}< y^{3}< (x+1)^{3}$ (không xảy ra)
Từ đây suy ra $-1\leq x\leq 1$
Mà $x\in \mathbb{Z}\Rightarrow x\in \left \{ -1;0;1 \right \}$
$\bullet$ Với $x=-1\Rightarrow y=0$
$\bullet$ Với $x=0\Rightarrow y=\sqrt[3]{2}$ (không thỏa mãn)
$\bullet$ Với $x=1\Rightarrow y=2$
Vậy phương trình có $2$ nghiệm nguyên $(x;y)$ là $(-1;0)$ và $(1;2)$

Câu 3:
a)Ta có (x-9)(x+5)+50=50, suy ra (x-9)(x+5)=0 suy ra x=9 hoặc x=-5
b)ta có: $\left | x+3 \right |=\left | -x-3 \right |\Rightarrow x+3=-x-3$ hoặc x+3=x+3
suy ra x=-3

Câu 5
Gọi tổng số người là A (0<A<1000)
Vì A chia 20; 25; 30 đều dư 15 nên A tận cùng là 5
Mà A chia hết cho 41, A<1000 nên A có thể là 205, 615
Ta thấy số 625 thỏa mãn.
Vậy.............

 

Anh cho e hỏi chỉ học sinh trường chuyên mới được đi thôi ạ?????

Bài 3. (4,0 điểm)
2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $2{x^6} + {y^2} - 2{x^3}y = 320$

Ta có phương trình đã cho $\Leftrightarrow x^{6}-2x^{3}y+y^{2}+x^{6}=320\Leftrightarrow (x^{3}-y)^{2}+(x^{3})^{2}=320$
Vì $x,y\in \mathbb{Z}$ nên $(x^{3}-y)^{2}+(x^{3})^{2}$ là tổng của 2 số chính phương
Mà $320$ viết thành tổng của 2 số chính phương có trương hợp là
$320=64+256$
Mà $x^{3}$ là lập phương của 1 số nguyên nên ta có: $\left\{\begin{matrix} x^{3}=8 & \\ x^{3}-y=16 & \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=2\\ y=-8 \end{matrix}\right.$
Vậy phương trình có 1 nghiệm nguyên là $(x;y)$ là $(2;-8)$

giải phương trình nghiệm nguyên:
\[1 + x + {x^2} + {x^3} = {y^3}\]

Với $\begin{bmatrix} x> 0 & \\ x< -1 & \end{bmatrix}$ ta có:
$x^{3}< x^{3}+x^{2}+x+1< (x+1)^{3}\Rightarrow x^{3}< y^{3}< (x+1)^{3}$ (không thỏa mãn)
Suy ra $-1\leq x\leq 0$. Mà $x\in \mathbb{Z}\Rightarrow x\in \left \{ -1;0 \right \}$
$\star$ Với $x=-1$ ta có: $y=0$
$\star$ Với $x=0$ ta có: $y=1$

 

Ngày 2 (04/10/2014) :

Câu 5 :

1) Chứng minh rằng với mọi $a;b;c>0$ ta có $$\frac{a(b+c)}{(b+c)^2+a^2}+\frac{b(a+c)}{(a+c)^2+b^2}+\frac{c(a+b)}{(a+b)^2+c^2}\leq \frac{6}{5}$$

 

$\sum \frac{a(b+c)}{a^{2}+(b+c)^{2}}=\sum \frac{a(b+c)}{a^{2}+\frac{1}{4}(b+c)^{2}+\frac{3}{4}(b+c)^{2}}\leq \sum \frac{a(b+c)}{a(b+c)+\frac{3}{4}(b+c)^{2}}$

Ta có: $1-\frac{a(b+c)}{a(b+c)+\frac{3}{4}(b+c)^{2}}=\frac{3}{4}\cdot \frac{(b+c)^{2}}{a(b+c)+\frac{3}{4}(b+c)^{2}}\Rightarrow 3-\sum \frac{a(b+c)}{a(b+c)+\frac{3}{4}(b+c)^{2}}=\frac{3}{4}\sum \frac{(b+c)^{2}}{a(b+c)+\frac{3}{4}(b+c)^{2}}\geq \frac{3}{4}\cdot \frac{4(a+b+c)^{2}}{\frac{3}{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})+\frac{7}{2}(ab+bc+ca)}= 6\cdot \frac{(a+b+c)^{2}}{3(a+b+c)^{2}+ab+bc+ca}\geq 6\cdot \frac{(a+b+c)^{2}}{3(a+b+c)^{2}+\frac{(a+b+c)^{2}}{3}}= \frac{9}{5}\Rightarrow \sum \frac{a(b+c)}{a(b+c)+\frac{3}{4}(b+c)^{2}}\leq \frac{6}{5}$

Bài $4$:

Cho ba số thực $x,y,z$ thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$

Chứng minh: $\sum \sqrt{x^{2}+y^{2}z^{2}}\geq \sum xy+1$

 

Áp dụng BĐT Mincowski ta được:

$\sum \sqrt{x^{2}+y^{2}z^{2}}\geq \sqrt{(\sum x)^{2}+(\sum yz)^{2}}$

Lại có: $(\sum x)^{2}=\sum x^{2}+2\sum xy=1+2\sum xy\Rightarrow \sqrt{\left ( \sum x \right )^{2}+\left ( \sum xy \right )^{2}}= \sqrt{\left ( \sum xy \right )^{2}+2\sum xy+1}= \sum xy+1$

Q14:


We have $2HB=AB+BC-AC=10$; $2HC=AC+BC-AB=16$
$\Rightarrow AC-AB=3$
We have $AB^{2}+AC^{2}=169$ so we have system of equation
$\left\{\begin{matrix} AC-AB=3 & \\ AB^{2}+AC^{2}=169 & \end{matrix}\right.$
Solve the system of equation we have $AB=\frac{\sqrt{329}-3}{2};AC=\frac{\sqrt{329}+3}{2}$
So $S_{\Delta ABC}=\frac{AB.AC}{2}=\sqrt{5}(cm^{2})$

Không biết dịch TA có đúng không nữa?
Q7:
We have equation $-n^{2}+2n+60=k^{2}(k\in \mathbb{Z}^{+})\Leftrightarrow -(n-1)^{2}+61=k^{2}\Leftrightarrow (n-1)^{2}+k^{2}=61$
Because $n$ and $k$ is two integer so $61$ is the total of two perfect square.
We have the following cases $61=25+36$
$\bullet$ If $(n-1)^{2}=25\Leftrightarrow n=6$ (satisfies)
$\bullet$ If $(n-1)^{2}=36\Leftrightarrow n=7$ (satisfies)
So $n=7;n=6$ are the values need to find.

Một bệnh nhân bị nghi là có thể mắc một trong $3$ bệnh $A,B,C$ với các xác suất tương ứng là $0,3;0,4;0,3$. Người đó đến khám ở 4 bác sĩ một cách độc lập. Bác sĩ thứ nhất chẩn đoán bệnh $A$. Bác sĩ thứ hai chẩn đoán bệnh $B$. Bác sĩ thứ ba chẩn đoán bệnh $C$ và bác sĩ thứ tư chẩn đoán bệnh $A$. Hỏi sau khi khám bệnh, người bệnh cần đánh giá lại xác suất mắc bệnh $A,B,C$ của mình là bao nhiêu. Biết rằng xác suất chẩn đoán đúng của mỗi ông bác sĩ là $0,6$; và chẩn đoán nhầm sang hai bệnh còn lại là $0,2$ và $0,2$

 

             b) Giải phương trình $2(x+1)^{2}=9x(\sqrt{x+2}-1)^{2}$

 

Đặt $\sqrt{x+2}=t(t\geq 0)\Rightarrow x=t^{2}-2$

Phương trình tương đương: $2(t^{2}-1)^{2}-9(t^{2}-2)(t-1)^{2}=0\Leftrightarrow -7t^{4}+18t^{3}+5t^{2}-36t+20=0\Leftrightarrow (t-2)(7t^{3}-4t^{2}-13t+10)\Leftrightarrow \begin{bmatrix} t=2 \rightarrow x=2& \\ t=\frac{-10}{7}(L) & \\ t=1 \rightarrow x=-1& \end{bmatrix}$

Giải phương trình $(2x+7)\sqrt{2x+7}=x^{2}+9x+7$

PHÒNG GD&ĐT ỨNG HÒA ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
KÌ THI HSG LỚP 9 CẤP HUYỆN Năm học: 2012-2013
Khóa thi ngày 04-03-2013

( thời gian làm bài 150 phút ) MÔN: TOÁN HỌC

Câu 1:(4đ)
Cho $P=\frac{x\sqrt{x}+5\sqrt{x}-12}{x-\sqrt{x}-6}-\frac{2(\sqrt{x}-3)}{\sqrt{x}+2}+\frac{\sqrt{x}+3}{3-\sqrt{x}}$
$a/$ Rút gọn $P$
$b/$ So sánh $P$ và $4$
$c/$ Tính $P$ khi $x=\frac{\sqrt{3-\sqrt{5}}-\sqrt{3+\sqrt{5}}}{\sqrt{2-\sqrt{3}}-\sqrt{2+\sqrt{3}}}$
Câu 2:(4,5đ)
$a/$ Tìm $x,y$ thỏa mãn $(x+1)^{2}+2xy+2y+y^{2}+\sqrt{2x-y-4}=0$
$b/$ Chứng minh nếu $n$ là số nguyên lẻ thì $(m^{3}+3m^{2}-m-3)\vdots 48$
$c/$ Cho $x,y$ dương thỏa mãn $x+y\geq 6$. TÌm min $Q=3x+2y+\frac{6}{x}+\frac{8}{y}$
Câu 3:(2đ)
Cho đường thẳng $(d)$ có phương trình $y=(m-2)x+2m-1$
$a/$ Chứng minh rằng $(d)$ luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của $m$
$b/$ Tìm giá trị của $m$ để khoảng cách từ gốc tọa độ đến $(d)$ có giá trị bằng $2$
Câu 4:(8đ)
Cho $\Delta ABC$ có ba góc nhọn nội tiếp $(O;R)$. Các đường cao $AD;BE;CF$ cắt nhau tại $H$. Kéo dài $AO$ cắt đường tròn tại $K$
$a/$ Chứng minh $BHCK$ là hình bình hành
$b/$ Kẻ $OM\perp BC$ tại $M$. Gọi $G$ là trọng tâm của $\Delta ABC$.
Chứng minh $S_{AHG}=2.S_{AGO}$
$c/$ Chứng minh $\frac{AD}{HD}+\frac{BE}{HE}+\frac{CF}{HF}\geq 9$
Câu 5:(1,5đ)
Hai bạn $A$ và $B$ tiến hành chơi với $2013$ hạt đậu. $A$ đi trước và luân phiên nhau. Một nước đi là một lần lấy khỏi đống hạt đậu đi $1,2$ hoặc $3$ hạt. Người nào đi nước cuối (hết đậu trong đống), người ấy thắng. Vậy người nào có chiến thuật để luôn thắng và chiến thuật đó ra sao?
__________________________________________________________

P/S: Nhờ sự động viên của anh em trên $VMF$ mà mình đã làm hết! Cảm ơn mọi người nhiều! Bây giờ mọi nhười cùng chữa bài giúp mình nhé!

Ta có hệ đã cho $\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix} x^{3}-y^{3}=6(y-x)(1) & \\ x^{3}=6(y+1) & \end{matrix}\right.$
Giải $(1)\Leftrightarrow (x-y)(x^{2}+xy+y^{2}+6)=0\Leftrightarrow x=y$
(Vì $(x^{2}+xy+y^{2}+6)> 0\forall x;y$)
Với $x=y$ ta có phương trình $x^{3}-6x-6=0\Leftrightarrow x\approx 2,847$
Vậy hệ có nghiệm duy nhất $(x;y)= (2,847;2,847)$

Điểm bài làm 2

Công thức nghiệm Cardano là j z mn? Hình như lớp 9 đâu có học nhỷ? Em Nguyen Viet Khanh 6c cũng biết nó nữa!Giỏi quá!

Cho tứ giác ABCD. Gọi I, J là trung điểm của AC và BD.Chứng minh rằng: $\vec{AB}+\vec{CD}=2\vec{IJ}$

Ta có: $2\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{ID}=\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}}{2}+\frac{\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CD}}{2}$ $(1)$

Lại có: $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AC}\Rightarrow \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}$

Thay vào $(1)$ ta thu được ĐPCM 

Đề thi chọn đội tuyển HSG QG tỉnh Lâm Đồng năm học 2014-2015

 

 

2014 - 2015 chon Doi tuyen_2.jpg

$1)$ Tứ giác $OCAD$ nội tiếp, suy ra $\widehat{ODA}=90^{\circ}$

Suy ra $AC,AD$ là các tiếp tuyến của $\left ( C_{2} \right )$

Suy ra $AC=AD$. Ta có: $\left\{\begin{matrix} \widehat{BCF}=\widehat{CAE} & \\ \widehat{CBF}=\widehat{ACE} & \end{matrix}\right. \Rightarrow \widehat{AEC}=\widehat{BFC}\Rightarrow \widehat{CEF}=\widehat{CFE}$

Mà $\left\{\begin{matrix} \widehat{AEG}=\widehat{CEF}=\widehat{CFE}=\widehat{ADC} & \\ \widehat{AGE}=\widehat{ADC} & \end{matrix}\right. \Rightarrow \widehat{AEG}=\widehat{AGE}=\widehat{ADC}=\widehat{ACD}$

$\Rightarrow \widehat{CAD}=\widehat{GAE}\Rightarrow \widehat{CGD}=\widehat{GCF}$

Tứ giác $CFDG$ nội tiếp $\Rightarrow \widehat{HFD}=\widehat{CGD}=\widehat{GCF}\Rightarrow FD//CG$

$2)$ Tứ giác $CEDB$ nội tiếp suy ra $\widehat{GED}=\widehat{CBD}$

Mà $\widehat{CBD}=\widehat{ACD}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung)

$\Rightarrow \widehat{GED}=\widehat{ACD}$

Mà $\widehat{EGD}=\widehat{CAD}$ (góc nội tiếp)

Suy ra $\Delta ACD\sim \Delta GED$. Mà $ACD$ cân suy ra $\Delta EGD$ cân

$3)$ Từ câu $1$ suy ra $\Delta CEF\sim \Delta ACD\sim \Delta GED$

$\Delta HCG$ cân và $FD//CG$ suy ra $DG=CF$

$\Rightarrow \Delta CEF=\Delta GED$ suy ra $CE=CG$

$HE$ là trung tuyến tam giác cân nên cũng là trung trực 

Vậy $HE$ là trung trực của $FD$

Bài $2$: $c/$

Đặt $\frac{1}{x}=a;\frac{1}{y-2}=b$, hệ đã cho trở thành

$\left\{\begin{matrix} a-3b=2 & \\ 2a+b=11 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2a-6b=4 & \\ 2a+b=11 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b=1 & \\ a=5 & \end{matrix}\right.$

Với $\left\{\begin{matrix} b=1 & \\ a=5 & \end{matrix}\right.$ ta có: $\left\{\begin{matrix} x=\frac{1}{5} & \\ y=3 & \end{matrix}\right.$

 

cho hình vuông có cạnh là 8cm. Lấy 100 điểm trong hình vuông. Chứng minh có ít nhất 4 điểm cùng nằm trong 1 đường tròn có bán kính là 1 cm

 

Chia hình vuông đã cho thành $32$ hình vuông nhỏ có diện tích bằng nhau.

Có $100$ điểm mà có $32$ hình vuông

Lại có: $100:32=3$ và còn dư nên thep nguyên lý $Directle$ thì tồn tại ít nhất $1$ hình vuông chứa $4$ điểm trong $100$ điểm đã cho.

Diện tích mỗi hình vuông nhỏ là $2cm^{2}$

Nên độ dài mỗi cạnh hình vuông nhỏ là $\sqrt{2}cm$

Suy ra độ dài đường chéo của hình vuông nhỏ là $2cm$

Suy ra bán kính đường tròn ngoại tiếp hình vuông nhỏ là $1cm$

Vậy luôn tồn tại ít nhất $4$ điểm cùng nằm trong $1$ đường tròn bán kính $1cm$

Chẳng có ai bình chọn cho mình cả! buồn quá!

Giải phương trình $3x \sqrt{x^3+1}=x^3+x^2-19x-16$

 

@MOD: chú ý cách đặt tiêu đề

Ta có: $x^{3}+x^{2}-19x-16-3x\sqrt{x^{3}+1}=0\Leftrightarrow \left ( \sqrt{x^{3}+1}-3x-3 \right )\left ( \frac{3}{2}\sqrt{x^{3}+1}+\frac{1}{2}x-\frac{13}{2} \right )=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} \sqrt{x^{3}+1}=3x+3 & \\ 3\sqrt{x^{3}+1}=x-13 & \end{bmatrix} \Leftrightarrow \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} x\geq -1 & \\ \begin{bmatrix} x=-1\\ x=5\pm \sqrt{33} \end{bmatrix} & \end{matrix}\right. & \\ \left\{\begin{matrix} x\geq 13 & \\ 9x^{3}-x^{2}+26x-160=0 & \end{matrix}\right. & \end{bmatrix}$

Pt dưới vô nghiệm 

PT chỉ có nghiệm $x = 5 \pm \sqrt {33} $ thôi mà 

Chắc mình bấm máy nhầm, thử lại thấy không đúng thật