Cho a,b,c là các số thực dương có tổng bằng 1, chứng minh rằng:

$(a+\frac{1}{b})(b+\frac{1}{c})(c+\frac{1}{a})\geq (\frac{10}{3})^3$

Giải bất phương trình:

$(5x^2-5x+10)\sqrt{x+7}+(2x+6)\sqrt{x+2}\geq x^3+13x^2-6x+32$

Chứng minh rằng với mọi số thực x,y,z:

$(\sum \left | x+y-z \right |) + \left | x+y+z \right | \geqslant 2(\sum \left | x \right |)$

Dấu "=" xảy ra khi nào?

Xét $f(x)=\left | x \right |$ là một hàm lồi.

Ta cần chứng minh

$f(x+y-z)+f(y+z-x)+f(z+x-y)+f(x+y+z)\geq f(2x)+f(2y)+f(z)+f(z)$

Giả sử $x\geq y\geq z$. Xét hai bộ $(x+y-z,y+z-x,z+x-y,x+y+z)^{*}$ và $(2x,2y,z,z)^*$

Rõ ràng $(x+y-z,y+z-x,z+x-y,x+y+z)^*\gg (2x,2y,z,z)^*$. Do đó theo bất đẳng thức Karamata ta có đpcm

Hix. Chỉ dùng đến kiến thức thông thường có giải đk ko bạn??? Hàm lồi mình chưa học à; cả bđt Karamata bạn ns nữa. 

cái này thực ra làm thường thì phải liệt kê từng trường hợp thôi mà cái đó thì mình lười lắm, bạn xem quyển sáng tạo bất đẳng thức ấy

Hix. Mình đâu có mà đọc bạn. Liệt kê từng trường hợp là ntn vậy, bạn thử ns hướng mình vs? Mình đag làm theo hướng này:

Đặt x+y-z = a; x+z-y= b; z+y-x= c ==> C/m:

$\left | a \right |+\left | b \right |+\left | c \right |+\left | a+b+c \right |\geqslant \left | a+b \right |+\left | b+c \right |+\left | a+c \right |$

Nhưng chứng minh cái này cx chưa ra đk

Chứng minh rằng với mọi số thực x,y,z thì:

$(\sum \left | x+y-z \right |) + \left | x+y+z \right | \geqslant 2(\sum \left | x \right |)$

Đúng hướng rồi, cái này liệt kê ra đơn giản mà(chỉ cần trâu bò một chút thôi) còn sách thì trên mạng có e-book mà

Mình vẫn ko hiểu liệt kê ntn??? Mình áp dụng mãi mấy cái bđt dấu gttđ mà nó cứ sai dấu chỗ /a+b+c/. Mà nếu tìm đk sách thì bài này ở phần nào vậy bạn???

Chứng minh rằng với mọi số thực x,y,z:

$\left | x+y-z \right |+\left | y+z-x \right |+\left | x+z-y \right | \left +| x+y+z \right | \geqslant 2(\left | x \right |+\left | y \right |+\left | z \right |)$

Dấu "=" xảy ra khi nào?

Chứng minh rằng với mọi số thực dương x,y,z ta có:

$\frac{x+y+2010}{z+\sqrt[3]{4(x^{3}+y^{3})}}\leq \frac{x+y+2010}{x+y+z}$

Thực tế là bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

        $\sqrt[3]{4(x^3+y^3)}\geq x+y$

<=>  $4(x^3+y^3)\geq (x+y)^3$

<=>  $x^3+y^3\geq x^2y+y^2x$

Cái này thì không khó để chứng minh 

Chỗ cuối là dùng bđt ji hay biến đổi tương đương thôi bạn

Chứng minh rằng với mọi $x\in (0;\frac{\pi}{4})$ ta luôn có: 

$\frac{cosx}{sin^2x(cosx-sinx)}> 8$

Đặt $t=\frac{\cos x}{\sin x}>1$

BĐT tương đương $\cos x(\sin^2x+\cos^2x)>8\sin^2x(\cos x-\sin x)$

              $\Leftrightarrow t(1+t^2)>8(t-1)$

              $\Leftrightarrow t^3-7t+8>0$

Dễ thấy bđt trên đúng với $t>1$

Tại sao lại đặt t như vậy, bạn có thể nói rõ hướng suy nghĩ đk ko? Có thể đưa về biến sin hoặc cos rồi đạo hàm đk ko nhỉ?

Cho a,b,c >0 thỏa mãn a + b +c = 1. Chứng minh rằng:

$\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\sqrt[3]{abc}\geq \frac{10}{9(a^{2}+b^{2}+c^{2})}$
 

Áp dụng bất đẳng thức phụ sau : $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geqslant \frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}=\frac{1}{\sqrt[3]{abc}}$

         $\Rightarrow \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\sqrt[3]{abc}\geqslant \frac{1}{\sqrt[3]{abc}}+\sqrt[3]{abc}$

Ta sẽ chứng minh $\frac{1}{\sqrt[3]{abc}}+\sqrt[3]{abc}\geqslant \frac{10}{3}\geqslant \frac{10}{9(a^2+b^2+c^2)}$

Chứng minh 1: Đặt $t=\sqrt[3]{abc}\leqslant \frac{a+b+c}{3}=\frac{1}{3}$

       $\Rightarrow \frac{1}{t}+t=(\frac{1}{9t}+t)+\frac{8}{9t}\geqslant \frac{10}{3}$ do AM-GM và $t\leqslant \frac{1}{3}$

Chứng minh 2: $\frac{10}{3}\geqslant \frac{10}{9(a^2+b^2+c^2)}\Leftrightarrow 3(a^2+b^2+c^2)\geqslant 1$

BĐT trên luôn đúng theo AM-GM $3(a^2+b^2+c^2)\geqslant (a+b+c)^2=1$

Vậy ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$

Bạn có thể nói rõ hơn cách chứng minh bất đẳng thức phụ ở phần đầu đk k???

Cho tam giác ABC có diện tích $=\frac{1}{4}$. Chứng minh rằng: $\frac{3}{\Pi }(\sum \frac{A}{tanA})\leq \sum a^2$

Giải phương trình: $\frac{2\sqrt{2}}{x+1}+\sqrt{x}=\sqrt{x+9}$

Tìm m để hai phương trình sau tương đương: 

$\begin{matrix} 2sin^7x+(m-1)sin^3x+(2m^3-2m-1)sinx=0& \\ 2sin^5x+(2-m)cos^2x+2m^3-m-2=0& \end{matrix}$