Bài này hình như có vấn đề bạn à????

Chắc là không phải thế đâu, hình như là đường thẳng qua E vuông góc với AD.

Giải phương trình :

$$x^{3}-3x^{2}-8x+40=8\sqrt[4]{4x+4}$$

 

Có thể dùng đạo hàm để xét sự biến thiên của các hàm số $f(x)=x^3-3x^2-8x+40$ và $g(x)=8\sqrt[4]{4x+4}$ trên $[-1;\infty )$, ta có:

$min f(x)=f(3)=13$ và $max g(x)=g(3)=13$

 

Hoặc có thể đặt $t=8\sqrt[4]{4x+4}\geq 0$ rồi dùng đạo hàm khảo sát sự biến thiên của hàm số $f(x)=t^12-24t^8+16t^4-512t+2816$

với chú ý: $f'(x)=2(t-2).h(x)$    ($h(x)>0$)

1) Ở đây thực ra là mình dùng BĐT $3(a^2+b^2+c^2)\geq (a+b+c)^2$
Thực ra trong TH này,bạn có thể dùng BĐT $2(x^2+y^2)\geq (x+y)^2$ thì ta sẽ được BĐT mạnh hơn nhưng mình làm vậy để kết quả ra cho nó đẹp=))
2) Bạn chú ý là 2 cái ngược dấu nhau nhưng 1 cái ở tử,một cái ở mẫu mà!

Theo như bạn nói nếu $a\geq b,c\leq d$ thì ta có $\frac{a}{c}\geq \frac{b}{d}$ ?????

Áp dụng BĐT Cauchy ta có: $a^{3}+2=a^{3}+1+1\geq 3a$

 

                                            $b^{3}+2\geq 3b, c^{3}+2\geq 3c$

 

Do đó: $\frac{a}{a^{3}+2}+\frac{b}{b^{3}+2}+\frac{c}{c^{3}+2}\leq \frac{a}{3a}+\frac{b}{3b}+\frac{c}{3c}=1$

 

Như vậy thì giả thiết $a+b+c=3$ là thừa ak bạn???

Chém nốt câu b nào! Chiều nay giờ ra chơi vừa làm xong=))
Ta có hằng đẳng thức sau:
$$(a+b+c)^3=\sum a^3+3\prod (a+b)$$
Vậy ta có:
$$\sum x^3=(x+y+z)^3-3(x+y)(y+z)(z+x)$$
Vì $x+y+z=0$ nên
$$\sum x^3=-3(x+y)(y+z)(z+x)=3xyz$$
$$\Rightarrow (\sum x^3)^2=9x^2y^2z^2$$
Theo nguyên lí $Đi-rich-lê$,trong ba số $x;y;z$ tồn tại hai số cùng dấu.
Không mất tính tổng quát,giả sử $xy\geq 0$
$$\Rightarrow (\sum x^3)^2=9x^2y^2z^2=9x^2.y^2.(x+y)^2$$
Áp dụng BĐT $AM-GM$,ta có:
$$x^2y^2\leq (\frac{(x+y)^2}{4})^2$$
$$\Rightarrow 9\sum x^3\leq \frac{9(x+y)^6}{16}$$ $(1)$
Mặt khác,áp dụng BĐT $AM-GM$,ta có:
$$\sum x^2=x^2+y^2+(x+y)^2\geq \frac{(2x+2y)^2}{3}=\frac{4(x+y)^2}{3}$$
$$\Rightarrow (\sum x^2)^3\geq \frac{64(x+y)^6}{27}$$ $(2)$
Từ $(1)(2)$,ta có:
$$\frac{(x^2+y^2+z^2)^3}{(x^3+y^3+z^3)^2}\geq \frac{\frac{64(x+y)^6}{27}}{\frac{9(x+y)^6}{16}}=(\frac{4}{3})^5>4$$
Vậy ta có $Q.E.D$

Bạn cho mình hỏi tí, mình đang thắc mắc mẫy chỗ này, bạn nói rõ hơn giùm mình với:
1) $$\sum x^2=x^2+y^2+(x+y)^2\geq \frac{(2x+2y)^2}{3}=\frac{4(x+y)^2}{3}$$
2) ($1$) và ($2$) là hai bất đẳng thức trái dấu, sao từ hai cái đó lại suy ra được:
$$\frac{(x^2+y^2+z^2)^3}{(x^3+y^3+z^3)^2}\geq \frac{\frac{64(x+y)^6}{27}}{\frac{9(x+y)^6}{16}}=(\frac{4}{3})^5>4$$

a) Cho $a,b,c>0$ và $a^2+b^2+c^2=1$. CMR: $\frac{1}{b^2+c^2}+\frac{1}{c^2+a^2}+\frac{1}{a^2+b^2}\leq \frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}+3$
b) Cho $x+y+z=0$. CMR: $\frac{(x^2+y^2+z^2)^3}{(x^3+y^3+z^3)^2}>4$

 

Bài 2: Cho a,b,c thỏa abc=1

CMR: $\frac{ab}{a^5 + b^5 + ab} + \frac{bc}{b^5 + c^5 + bc} + \frac{ac}{a^5 + c^5 + ac}  \leq 1 $

 

Không có $a,b,c>0$ ak?

Trong vẽ thêm yếu tố phụ của Nguyễn Đức Tấn cũng có bài này

Giải phương trình nghiệm tự nhiên:
1) $\sqrt{x+2\sqrt{3}}=\sqrt{y}+\sqrt{z}$
2) $\sqrt{x+2\sqrt{x+...+2\sqrt{x+2\sqrt{3x}}}}=x$
3) Giải phương trình nghiệm nguyên: $19x^2-84y^2=1984$

pt liên hợp có 1 nghiệm là 2 còn phần này là m chưa c/m dc   

 

bạn up phương trình lên xem tí được không? hoặc gửi qua tin nhắn ấy )

 

Bài 1: Vì $a,\ b\in \mathbb{Z}$ nên $\dfrac{1}{b-2013}<1$

$\Rightarrow 1-\dfrac{1}{b-2013}>0 \Rightarrow \dfrac{1}{a-1966}>0 \Rightarrow a>1966$

Chứng minh trương tự ta được $b>2013$.

Đặt $a-1966=x,\ b-2013=y,$ suy ra $x,\ y \in\mathbb{Z}^+$

Khi đó $PT\Leftrightarrow \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=1$

$\Leftrightarrow x+y=xy$

$\Leftrightarrow y=\dfrac{x}{x-1}=1+\dfrac{1}{x-1}$

Vì $y\in \mathbb{Z}^+$ nên $x-1=1\ \vee\ x-1=-1 \Leftrightarrow x=2\ \vee\ x=0\ (\text{Loại})$

Từ đó tính được $y=2.$

Thử lại thấy thỏa mãn.

Do đó $a-1966=b-2013=2\Leftrightarrow a=1968\ ;\ b=2015$

 

Bài 2:

$a)$ Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM,$ ta có:

$xy+\dfrac{1}{16xy}\geq \dfrac{1}{2}$

$4xy\leq (x+y)^2=1$

Do đó $xy+\dfrac{1}{xy}=xy+\dfrac{1}{16xy}+\dfrac{15}{16xy}\geq \dfrac{1}{2}+\dfrac{15}{4}=\dfrac{17}{4}$

Đẳng thức xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} x+y=1\\ x>0\ ;\ y>0\\ xy=\dfrac{1}{16xy}\\ x=y \end{matrix}\right. \Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{2}$

 

$b)$ Theo chứng minh ở câu $a,$ ta có biểu thức $S$ có giá trị nhỏ nhất là $\dfrac{17}{4}$ 

 

 

Xin lỗi bạn, lúc nãy mình post nhầm câu $b$

Cho 0 < x, y < 1. Chứng minh $x+y+x\sqrt{1-y^{2}}+y\sqrt{1-x^{2}}\leqslant \frac{3\sqrt{3}}{2}$

 

Ta có: $A=x+y+x\sqrt{1-y^{2}}+y\sqrt{1-x^{2}}=x+y+\frac{1}{\sqrt{3}}x\sqrt{3-3y^2}+\frac{1}{\sqrt{3}}y\sqrt{3-3x^2}$

 

Áp dụng $Cauchy$ ngược ta có:

 

$x\sqrt{3-3y^2}\leq \frac{x^2+3-3y^2}{2}$

 

$y\sqrt{3-3x^2}\leq \frac{y^2+3-3x^2}{2}$

 

Do đó: $A\leq x+y+\frac{x^2+3-3y^2}{2\sqrt{3}}+\frac{y^2+3-3x^2}{2\sqrt{3}}=x+y-\frac{x^2}{\sqrt{3}}-\frac{y^2}{\sqrt{3}}+\sqrt{3}$

 

             $=-\frac{1}{\sqrt{3}}(x^2-x\sqrt{3}+\frac{3}{4})-\frac{1}{\sqrt{3}}(y^2-y\sqrt{3}+\frac{3}{4})+\frac{\sqrt{3}}{2}+\sqrt{3}$

 

             $=-\frac{1}{\sqrt{3}}\left ( x-\frac{\sqrt{3}}{2} \right )^2-\frac{1}{\sqrt{3}}\left ( y-\frac{\sqrt{3}}{2} \right )^2+\frac{3\sqrt{3}}{2}\leq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

 

Dấu $"="$ xảy ra khi và chỉ khi $x=y=\frac{\sqrt{3}}{2}$

 

Vậy $x+y+x\sqrt{1-y^{2}}+y\sqrt{1-x^{2}}\leqslant \frac{3\sqrt{3}}{2}$

theo dự đoán thì 96,69% là từ một bt liên hợp     

Mình nghĩ đó là một phương trình giải bằng phương pháp liên hợp. Nhưng liên hợp mà không lấy hết nghiệm thì giải hoa mắt cũng không ra! Đề nghị chủ thớt post phương trình lên!

bài làm hơi khó hiểu, và lại còn phải chứng minh thêm bdt phụ nũa. nên ap dung côsi 2 số
cho h_a/l_{a , hb/lb, hc/lc rùi moi dung cosi 3 số tiếp thì đơn giản hơn.}

Tất nhiên bài toán này có nhiều cách giải khác nhau dựa trên các công thức tính độ dài đường cao và đường phân giác của một tam giác. Không những thế, bài toán này còn có thể tính theo cả góc $A, B$ và $C$. Chẳng hạn: $h_a=bsinC(=csinB),l_a=\frac{2bc}{b+c}cos\frac{A}{2},v.v...$
Tuy nhiên, cuối cùng đều phải sử dụng $BĐT Cauchy$ đối với ba số dương.
Chú ý thêm rằng có hệ thức sau đây giữa $r,R$ và các góc $A, B, C$: $r=4Rsin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}$
2) Gọi $AH=h_a$ và $AD=l_a$, ta có $\widehat{HAD}=\frac{1}{2}|\widehat{B}-\widehat{C}|$, do đó:
$\frac{h_a}{l_a}=cos\frac{B-C}{2}$, tương tự $\frac{h_b}{l_b}=cos\frac{C-A}{2}$ và $\frac{h_c}{l_c}=cos\frac{A-B}{2}$
Từ đó: $\frac{h_a}{l_a}+\frac{h_b}{l_b}+\frac{h_c}{l_c}=cos\frac{B-C}{2}+cos\frac{C-A}{2}+cos\frac{A-B}{2}$
Từ kết quả này ta cũng có bất đẳng thức cần tìm...

với $\frac{-10}{3}\leq x\leq \frac{1}{4}$. c/m$\frac{3}{\sqrt{3x+10}+2}+\frac{4}{3+\sqrt{1-4x}}=x+1$ vô nghiệm

 

Cái này hình như xuất phát từ phương trình nào đó phải không bạn?

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                                                                       ĐỀ THI TUYỂN SINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH                                                                 VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN

                                                                                                                        NĂM HỌC 2013 - 2014

    ĐỀ CHÍNH THỨC                                                                                        Môn thi: Toán (Vòng 1)

                                                                                       Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề)

 

 

 

Câu 1 (2,0 điểm). Tìm hai số nguyên $a$ và $b$ sao cho

                                 $\frac{1}{a-1966}+\frac{1}{b-2013}=1$.

 

Câu 2 (2,5 điểm). Cho phương trình $x^2-2mx+m(m+1)=0$  ($*$).

          a) Tìm $m$ để phương trình ($*$) có hai nghiệm phân biệt.

          b) Tìm $m$ để phương trình ($*$) có nghiệm bé là $x_1$, nghiệm lớn là $x_2$ thỏa mãn điều kiện $x_1+2x_2=0$.

 

Câu 3 (1,5 điểm). Giả sử $x$ và $y$ là các số dương có tổng bằng $1$. Đặt $S=xy+\frac{1}{xy}$.

          a) Tìm giá trị nhỏ nhất của $S$.

          b) Biểu thức $S$ có giá trị lớn nhất hay không? Vì sao?

 

Câu 4 (4,0 điểm). Cho tam giác $ABC$ có $AB=6$, $AC=8$, $BC=10$. Gọi $M$, $N$, $P$ tương ứng là chân đường cao, chân đường phân giác, chân đường trung tuyến kẻ từ đỉnh $A$.

          a) Chứng minh rằng, điểm $N$ nằm giữa hai điểm $M$ và $P$.

          b) Tính diện tích các tam giác $ABP$, $ABN$ và $ABM$.

 

--------------------------------- HẾT ---------------------------------

 

  Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!

 

  Họ tên thí sinh: ........................................................................ Số báo danh: ..............................

  Chữ kí của CBCT thứ nhất:                                                                   Chữ kí của CBCT thứ hai:

  ...........................................                                                                    ........................................   

Cho $\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{3}{z}=1$. Tìm $Min A=xyz$

$\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{d^2}+\frac{d^2}{a^2}\geq\frac{1}{2}(\frac{a}{b}+\frac{b}{c})^{2}+\frac{1}{2}(\frac{c}{d}+\frac{d}{a})^{2}\geq \frac{1}{4}(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a})^{2}$
AM-GM
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a}\geq 4\sqrt[4]{\frac{abcd}{abcd}}=4$

Nhưng đề y/c chứng minh khác mà bạn, nó đâu có ra số cụ thể

Dễ dàng cm được $\sum \frac{a^{2}}{b^{2}}\geq \sum \frac{a}{b}$
Ta cần CM : $\sum \frac{a^{2}}{b^{2}}+ \sum \frac{a}{b}\geq 2\frac{a+b+c+d}{\sqrt[4]{abcd}}$
Sử dụng BDT AM-GM :$\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{c^{2}}+\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\geq 4\sqrt[4]{\frac{a^{3}}{bcd}}=4\frac{a}{\sqrt[4]{abcd}}$
Tương tự và cộng từng vế lại ta có đpcm

Cho mình hỏi một tí, giả sử $0< \frac{a}{b}\leq 1$ thì làm sao mà $\frac{a^2}{b^2}\geq \frac{a}{b}$ được bạn???

Chứng minh rằng:
a) $\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{d^2}+\frac{d^2}{a^2}\geq \frac{a+b+c+d}{\sqrt[4]{abcd}}$
b) $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}$
-------------------------------------
p/s: Đây là một bài trong bài tập tết của mình, nhưng mình lại không thấy điều kiện, mình đưa nguyên si lên để nhờ mọi người giúp, bài này mình nghĩ cần có thêm đk $a,b,c,d$ dương

Mình tìm được một cách nữa
$x^{2}+xy+y^{2}-x^{2}y^{2}=(x+y)^{2}-xy-x^{2}y^{2}$
Đặt x+y=a và xy=b ta có:
$a^{2}-b^{2}-b=0 \Rightarrow 4a^{2}-4b^{2}-4b=0 \Rightarrow 4a^{2}-4b^{2}-4b-1=-1 \Rightarrow (2a+2b+1)(2a-2b-1)=-1$
Xét ước của -1 rồi tìm ra a,b.
sau đó thay vào tìm x,y.

Mình cũng có cách nữa!

PT đã cho tương đương với: $x^2+xy+y^2=x^2y^2$
Với $|x|\geq 2$ và $|y|\geq 2$ ta có:
$\left\{\begin{matrix} x^2y^2\geq 4x^2\\ x^2y^2\geq 4y^2 \end{matrix}\right.$ $\Rightarrow x^2y^2\geq 2(x^2+y^2)=x^2+y^2+x^2+y^2\geq x^2+y^2+2|xy|>x^2+y^2+xy$
Vậy $|x|\leq 2$ hoặc $|y|\leq 2$. Nếu $x=\pm 2$ hoặc $y=\pm 2$ thì phương trình đã cho không có nghiệm nguyên.
Thử với $x=0,x=1$ và $x=-1$ ta thấy PT có ba nghiệm nguyên $(x;y)$ là $(0;0),(1;-1),(-1;1)$

Gọi a, b, c là dộ dài các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC và h_a,h_b,h_c là độ dài các đường cao tương ứng với 3 cạnh đó; l_a, l_b, l_c là độ dài các đường phân giác xuất phát từ các đỉnh A, B, C; r, R lần lượt là bán kinhs đường tròn nội tiếp và ngoai tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng :
$\frac{h_a}{l_a}+\frac{h_b}{l_b}+\frac{h_c}{l_c}\geq 3 \sqrt[3]{\frac{2r}{R}}$

Sử dụng các công thức tính độ dài đường cao và đường phân giác của một tam giác theo độ dài các cạnh:
$h_a=\frac{2}{a}\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$
$l_a=\frac{2\sqrt{bc}}{b+c}\sqrt{p(p-a)}$
trong đó $p=\frac{1}{2}(a+b+c)$, ta được:
$\frac{h_a}{l_a}=\frac{b+c}{a\sqrt{bc}}\sqrt{(p-b)(p-c)}$ và hai hệ thức tương tự:
$\frac{h_b}{l_b}=\frac{c+a}{b\sqrt{ca}}\sqrt{(p-c)(p-a)}$
$\frac{h_c}{l_c}=\frac{a+b}{c\sqrt{ab}}\sqrt{(p-a)(p-b)}$
Từ đó, áp dụng bất đẳng thức $Cauchy$, ta được (với $S$ là diện tích tam giác):
$\frac{h_a}{l_a}+\frac{h_b}{l_b}+\frac{h_c}{l_c}\geq 3\sqrt[3]{\frac{(b+c)(c+a)(a+b)(p-a)(p-b)(p-c)}{a^2b^2c^2}}\geq 3\sqrt[3]{\frac{8S^2}{pabc}}=3\sqrt[3]{\frac{2r}{R}}$
(vì $(b+c)(c+a)(a+b) \geq 8abc$)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c, lúc đó $\Delta ABC$ đều.

Dùng Cô-si luôn được mà $1=\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{3}{z}\geq 3.\sqrt[3]{\frac{6}{xyz}}\Rightarrow xyz\geq 162$

$Min(xyz)=162\Leftrightarrow (x;y;z)=(3;6;9)$

$x,y,z$ đâu có dương đâu bạn!

Nhưng không tính đến khoảng $\frac{3}{4}\leq a+\sqrt{a}+1< 0$ ạ?

Mình thắc mắc chỗ đó nên hỏi ý kiến mọi người

 

Bạn ơi, sao $a+\sqrt{a}+1<0$ được. Vì $a+\sqrt{a}+1=(\sqrt{a}+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}\geq \frac{3}{4}$ mà!

min x,y,z la 0 x=1 ;y=2 ;z=-3

 

bài giải xúc tích, cô đọng bạn nhỉ?