Em là Phạm Ngọc Hoàng, còn bạn kia là Phạm Thị Khánh Ly, cùng lớp ^^ Các bác thấy thế nào ạ?

Anh like, đặc biệt là bé gái

Bé gái thế nào ạ ? Anh cho ý kiến chi tiết đi. Mà ông anh nhận xét luôn thằng con trai đê

Với $a,b,c$ là các cạnh và $h_a;h_b;h_c$ là đường cao của 1 tam giác. Cmr : $(a+b+c)^2\geq 4(h_a^2+h_b^2+h_c^2)$

Cmr : $(\sqrt[3]{3+2\sqrt{2}}+\sqrt[3]{3-2\sqrt{2}})^8>3^6$

Tìm $k$ để pt $x^2+kx+a=0$ với $a$ khác 0 có 2 nghiệm thỏa mãn : $(\frac{x_1}{x_2})^3+(\frac{x_2}{x_1})^3\leq 52$

Đặt $a=3^x;b=3^y;c=3^z$
$a,b,c>0$
Ta có $a,b,c>0$
$\frac{a^2}{a+bc}=\frac{a^3}{a^2+abc}$
Từ giả thiết suy ra $abc=ab+bc+ca$
Suy ra $\frac{a^2}{a+bc}=\frac{a^3}{(a+c)(a+b)}$
Ta có $\frac{a^3}{(a+c)(a+b)}+\frac{a+c}{8}+\frac{a+b}{8}\geq \frac{3a}{4}$
Tương tự rồi cộng các bdt ta có dpcm

với $k=1$ ta có bất đẳng thức đúng
với $k\geq 2$
đặt $f(x)=x^{k}$
là hàm lồi nên áp dụng ngay Jensen ta có đpcm
$f(a_{1})+f(a_{2})+...+f(a_{n})\geq nf(\frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}{n})$

Phạm vi THCS thôi anh

THCS của em đây
chứng minh bằng quy nạp
trường hợp $n=2$ chứng minh dễ
giả sử bất bẳng thức đúng với n
ta có
$a_{1}^{k}+a_{2}^{k}+...+a_{n}^{k}\geq n(\frac{a_{1}+...+a_{n}}{n})^{k}$
ta sẽ chứng minh bất đẳng thức đúng với n-1
chọn $a_{n}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n-1}a_{i}$
ta có
$a_{1}^{k}+a_{2}^{k}+...+a_{n-1}^{k}+a_{n}^{k}\geq na_{n}^{k}$
nên
$a_{1}^{k}+a_{2}^{k}+...+a_{n-1}^{k}\geq (n-1)a_{n}^{k}=(n-1)(\frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{n-1}}{n-1})^{k}$
ta có đpcm

Cám ơn anh

Mình không biết Holder

Tìm $a,b$ nguyên dương sao cho $\frac{a^2-2}{ab+2}$ là số nguyên.

sai rồi bạn ơi, tích bằng 1 nhưng chưa chắc nhỏ hơn 1 đâu, bạn thay 50 ; 0,1 và 0,2 vào mà xem

Ờ ha, mình quên ;P

Có :$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=x+y+x$
$\Rightarrow xy+yz+zx=x+y+z$
Do $0<x,y,z\leq 1\Rightarrow xy,yz,zx\leq 1\Rightarrow xy\leq \sqrt{xy}, yz\leq...$
Áp dụng bđt Cauchy : $x+y\geq 2\sqrt{xy}\geq 2xy$
Tương tự $y+z\geq 2yz$; $z+x\geq 2zx$
Cộng vế theo vế 3 bđt trên ta được : $x+y+z\geq xy+yz+zx$
Dấu "=" xảy ra $\leftrightarrow x=y=z=1$
$\Rightarrow \frac{1}{x^{13}}+\frac{1}{y^{13}}+\frac{1}{z^{13}}=x^{13}+y^{13}+x^{13}$
Vậy bài toán đã được chứng minh xong.

$\sum \frac{1}{a^2}\geqslant \frac{3}{\sqrt[3]{abc}^2}=\frac{27}{(3\sqrt[3]{abc})^2}\geqslant \frac{27}{a+b+c}$

Hoặc dùng trực tiếp BĐT sau :
$\frac{1}{1+a_{1}}+\frac{1}{1+a_{2}}+...+\frac{1}{1+a_{n}}\geq \frac{n}{1+\sqrt[n]{a_{1}.a_{2}...a_{n}}} (a_{j}>0;j=\overline{1,n})$
----------

Bất này chứng minh kiểu gì cậu?

Cmr : với $x\geq 1;y\geq 1$ ta có :
$\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\geq \frac{2}{1+xy}$

ồ đâu, nếu làm chi tiết thì cách tui ngắn hơn cách bạn

nói lại đi bạn à
ai ngắn hơn ai chưa biết đâu

Sao hai bạn không trình bày bài giải đầy đủ ra rồi mọi người cùng so sánh?