Cho a,b>0. Tìm GTNN của $P=\frac{a+b}{\sqrt{a(4a+5b)}+\sqrt{b(4b+5a)}}$

Với x>=0 có:

$\sqrt{1+x^{3}}=\sqrt{(1+x)(1-x+x^{2})}\leq \frac{1+x+1-x+x^{2}}{2}=1+\frac{x^{2}}{2}$

Áp dụng có:$\sqrt{\frac{a^{3}}{a^{3}+(b+c)^{3}}}\doteq \frac{1}{\sqrt{1+(\frac{b+c}{a})^{3}}}\geq \frac{1}{1+\frac{1}{2}(\frac{b+c}{a})^{2}}\geq \frac{1}{1+\frac{b^{2}+c^{2}}{a^{2}}}=\frac{a^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

Cmtt... => đpcm

Cho a,b,c>0. CMR: $\frac{a^{3}}{(2a^{2}+b^{2})(2a^{2}+c^{2})}$$+\frac{b^{3}}{(2b^{2}+c^{2})(2b^{2}+a^{2})}+\frac{c^{3}}{(2c^{2}+a^{2})(2c^{2}+b^{2})}\leq \frac{1}{a+b+c}$

$\frac{a^{2}}{\sqrt{3a^{2}+8b^{2}+14ab}}=\frac{a^{2}}{\sqrt{(a+4b)(3a+2b)}}\geq \frac{a^{2}}{2a+3b}$

Cmtt....

Dùng C-S => đpcm

$\lceil$ https://diendantoanh...ức/#entry709594 $\rfloor$

????    

Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn $(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=11$. Tìm GTNN của $A=(a^{2}+b^{2}+c^{2})(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}})$

Cho các số thực dương a,b,c. CMR: $\frac{a^{2}}{\sqrt{3a^{2}+8b^{2}+14ab}}+\frac{b^{2}}{\sqrt{3b^{2}+8c^{2}+14bc}}+\frac{c^{2}}{\sqrt{3c^{2}+8a^{2}+14ca}}\geq \frac{a+b+c}{5}$

Có thể viết lại bất đẳng thức dưới dạng:

 

$$2\left ( a+ b+ c \right )\left [ \left ( a- b \right )^{2}+ \left ( b- c \right )^{2}+ \left ( c- a \right )^{2} \right ]\geqq \left ( b+ c- 2\,a \right )^{3}$$

 

Chỉ cần tính đến trường hợp $b+ c\geqq 2\,a$ là đủ! Vì $a+ b+ c\geqq b+ c- 2\,a,\,2\left [ \left ( b- a \right )^{2}+ \left ( c- a \right )^{2}+ \left ( a- b \right )^{2} \right ]\geqq \left ( b- a+ b- c \right )^{2}= \left ( b+ c- 2\,a \right )^{2}$ nên ta có điều phải chứng minh!

có cách nào dễ hơn k ạ? e mới học lớp 9

Cho a,b,c dương. CMR: $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc\geq 2(\frac{b+c}{2}-a)^{3}$

Cho a,b,c dương. CMR: $\sqrt[3]{a^{3}+b^{3}}+\sqrt[3]{b^{3}+c^{3}}+\sqrt[3]{c^{3}+a^{3}}\geq \frac{\sqrt{2}}{2}(\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{b^{2}+c^{2}}+\sqrt{c^{2}+a^{2}})$

$\lceil\,\,'\text{AM-GM}'\,\,\rfloor$ 

 

$a- \frac{a}{ab+ 1}= \frac{ba^{\,2}}{ab+ 1}\geqq \frac{ba^{\,2}}{2\,\sqrt{ab}}= \frac{a\,\sqrt{ab}}{2}$

 

Tương tự và ta có bất đẳng thức mới cần chứng minh:

 

$\sum\limits_{cyc}\frac{a}{ab+ 1}\geqq \frac{3}{2}\,\,\Leftrightarrow \,\,\frac{a\,\sqrt{ab}+ b\,\sqrt{bc}+ c\,\sqrt{ca}}{2}\leqq a+ b+ c- \frac{3}{2}= \frac{1}{2}\,\frac{\left ( a+ b+ c \right )^{2}}{3}$

 

Đây là bất đẳng thức quen thuộc của $\lceil$ Vasile Cirtoaje $\rfloor$ , : 

 

$\lceil$ https://diendantoanh...11338 $\rfloor$

Cho e hỏi nếu GT đổi thành abc=1 thì làm ntn ạ?

$\frac{a}{ab+1}+\frac{b}{bc+1}+\frac{c}{ca+1}=\frac{a^{2}}{a^{2}b+a}+\frac{b^{2}}{b^{2}c+b}+\frac{c^{2}}{c^{2}a+c} \geq \frac{(a+b+c)^{2}}{a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a+a+b+c} \geq \frac{3^{2}}{3+3}=\frac{3}{2}$

Cho a,b,c dương thỏa mãn a+b+c=3. CMR: $\frac{a}{ab+1}+\frac{b}{bc+1}+\frac{c}{ca+1}\geq \frac{3}{2}$

Đặt A=..... Ta cần cm A<=2

$A=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a+3b}}+\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a+3b}}+\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b+3a}}+\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b+3a}}$

Với a,b>0 có:

$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a+3b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a+b}}.\frac{\sqrt{a+b}}{\sqrt{a+3b}}\leq \frac{1}{2}(\frac{a}{a+b}+\frac{a+b}{a+3b})$

$\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a+3b}}=\frac{\sqrt{2b}}{\sqrt{a+3b}}.\frac{1}{\sqrt{2}}\leq \frac{1}{2}.(\frac{1}{2}+\frac{2b}{a+3b})$

Do đó $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a+3b}}+\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a+3b}}\leq \frac{1}{2}(\frac{a}{a+b}+\frac{3}{2})$

Làm tương tự => đpcm

Cho a,b,c dương. CMR: $\sqrt[3]{4(a^{3}+b^{3})}+\sqrt[3]{4(b^{3}+c^{3})}+\sqrt[3]{4(c^{3}+a^{3})}\leq \frac{4a^{2}}{a+b}+\frac{4b^{2}}{b+c}+\frac{4c^{2}}{c+a}$

Giải pt: $3(\sqrt{2x^{2}+1}-1)=x(1+3x+8\sqrt{2x^{2}+1})$

Cho a,b >=0. CMR: $\sqrt{1+a^{2}}+\sqrt{1+b^{2}}+\sqrt{(1-a)^{2}+(1-b)^{2}}\geq (1+\sqrt{5})(1-ab)$

Cho a,b,c>0. CMR: $\sqrt{\frac{2a}{a+b}}+\sqrt{\frac{2b}{b+c}}+\sqrt{\frac{2c}{c+a}}\leq 3$

$P=(t+1)\frac{1}{\sqrt{1+3t^{2}}}+(t+1)\frac{1}{\sqrt{t^{2}+3}}; t=\sqrt{\frac{b}{a}}$;

Đạo hàm là xong

bạn có thể nói rõ hơn k, mình mới học lớp 9 

bạn có thể nói rõ hơn k, mình mới học lớp 9

Cho a,b>0. CMR: $(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\frac{1}{\sqrt{a+3b}}+\frac{1}{\sqrt{b+3a}})\leq 2$

Cho $3^{-x}+3^{-y}+3^{-z}=1$. CMR: $\frac{9^{x}}{3^{x}+3^{y+z}}+\frac{9^{y}}{3^{y}+3^{z+x}}+\frac{9^{z}}{3^{z}+3^{x+y}}\geq \frac{3^{x}+3^{y}+3^{z}}{4}$

Cho a,b,c>0 và abc=1. CMR: $\frac{1}{a^{3}+b^{3}+1}+\frac{1}{b^{3}+c^{3}+1}+\frac{1}{c^{3}+a^{3}+1}\leq 1$

Cho a,b>0 và a+b=1. CMR: $\frac{a}{a^{2}+1}+\frac{b}{b^{2}+1}\leq \frac{4}{5}$

MOD: Chú ý cách gõ nhé

Cho a,b,c>0 thỏa mãn $ab+bc+ca\leq abc$. CMR: $\frac{8}{a+b}+\frac{8}{b+c}+\frac{8}{c+a}\leq \frac{b+c}{a^{2}}+\frac{a+b}{c^{2}}+\frac{c+a}{b^{2}}+2$