Thưa BQT, em thấy những thành viên có danh hiệu là Lính mới . Đăng nhiều bài lỗi. Em chỉ sửa chữa, nhắc nhở nhẹ .Nhưng em thấy mấy mod ghi điểm thì em thấy nặng quá có thể làm những thành viên mới k có sở thích với diễn đàn mình. 

Vậy em nên nhắn tin nhắc nhở nhẹ hay là phải ghi điểm nhắc nhở ạ. Em cảm ơn BQT

Đề nghị buiminhhieu nếu đã khóa topic thì khóa những bài nên khóa thôi, và cũng ẩn đi cho box đỡ chật. Nếu k khóa thì sửa chữa chứ. Toàn để thế thì sao đươc

Mình thấy các mem mới phải tự sửa tiêu đề lỗi mà mình gây ra chứ 

Đây

BQT lưu ý các ĐHV. Khi các mem nhờ các ĐHV mở hộ topic bị khóa, ĐHV cần sử dụng chức năng nhắc nhở để nhắc nhở mem đó, sau đó, ĐHV cần yêu cầu mem đó tự sửa tiêu đề.

 

Topic sai tiêu đề bị khóa quá 3 ngày mà không có ai xin mở thì có thể xóa

nhưng toàn mấy mem mắc lỗi lần đầu thì sửa chữa thôi. Khóa làm gì, gởi tin nhắc nhở 

Dạo này em thấy các mod THCS làm việc k hiệu quả cho lắm. Nhiều bài k đủ chất lượng chỉ đê câu số lượng bài, hay nhiều bạn nói chuyện trên các topic, hay cả đăng những bài báo toán tuổi trẻ và tuổi thơ nữa http://diendantoanho...-r/#entry452949

dù trong giờ đó có nhiu mod vẫn đang hoạt động và xử lý thực sự rất chậm. Em trân thành góp ý mong các mod đừng có để bụng. 

Gọi  $a,b,c$ là các số nguyên có giá trị tuyệt đối không vượt quá $10$. Xét hàm số $f(x)={{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+bx+c$ thỏa mãn $|f(2+\sqrt{3})|<0,0001$.Hỏi $2+\sqrt{3}$có thể là nghiệm của $f$ được không ?

Cho $c=0, a=-4,b=1$, vậy có tồn tại

Cho dãy $(x_{n})$ xác định với $x_{1}=x_{2}=1$ và $x_{n+2}=(4k-5)x_{n+1}-x_{n}+4-2k$.

Xác định $k\in Z$ để dãy là số chính phương.

Cho phương trình $x-4\sqrt{1-x}+m= 0$ (1) (x là ẩn số)

 

Tìm giá trị của m để (1) có nghiệm

Ta có:

$x-4\sqrt{1-x}+m=0$                         ĐK $x\leq 1$

$\Leftrightarrow 1-x+4\sqrt{1-x}+4-m-5=0$

$\Leftrightarrow (\sqrt{1-x}+2)^{2}=m+5$

mà $\sqrt{1-x}+2\geq 2$ và $\sqrt{1-x}+2\geq 2\Rightarrow m+5\geq 4\Rightarrow m\geq -1$

do đó $m\geq -1$

Nếu $m< -1\Rightarrow \sqrt{1-x}+2<2$ (vô lý)

Vậy $m\geq -1$

nếu m=0 thì phương trình có nghiệm $\sqrt{1-x}= \sqrt{5}-2\Rightarrow x=1-\left ( \sqrt{5}-2 \right )^{2}$

nếu $m\neq 0$ thì ....

bạn đã hiểu nhầm đề bài. Bài này hỏi khoảng giá trị của m để tìm đc x. Chứ ko phải tìm giá trị của m. Vì x luôn thay đổi và mỗi giá m sẽ có 1 giá trị x tương ứng

cho x;y;z >0 thoả mãn :

x+y+z$\geq$$\frac{3}{2}$

tìm giá trị nhỏ nhất của tổng:

x+y+z+$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$

thank nhiều              

Áp dụng BĐT AM-GM

Ta có : $x+y+z+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq (x+y+z)+\frac{9}{x+y+z}=(x+y+z)+\frac{9}{4(x+y+z)}+\frac{27}{4(x+y+z)}\geq 3+\frac{27}{4.\frac{3}{2}}=\frac{15}{2}$

Tìm nghiệm nguyên của pt:

x(x+2) + 4y(y-1) = 3

$\Leftrightarrow x^{2}+2x+1+4y^{2}-4y+1=5$$\Leftrightarrow (x+1)^{2}+(2y-1)^{2}=5$

Vì $(x+1)^{2}$ và $(2y-1)^{2}$ không âm nên xét 2 trường hợp $(x+1)^{2}=1;(2y-1)^{2}=4$ hoặc $(x+1)^{2}=4;(2y-1)^{2}=1$

Với mọi số nguyên dương $m,n$ thì $\frac{(2m)!(2n)!}{(m+n)!m!n!}\epsilon \mathbb{Z}$

Với a,b,c là số dương. Chứng minh $\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\geq a+b+c$

Ta cm BĐT : $a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\geq abc(a+b+c)$ luôn đúng

Theo BĐT AM-GM

$\Rightarrow a+b+c\leq \frac{a^2b^2+c^2b^2+c^2a^2}{abc}=\frac{ab}{c}+\frac{cb}{a}+\frac{ac}{b}$

Đây

USA USAMO 2014

Ngày 1 : 29/4/2014

$\boxed 1$ Cho $a,b,c,d$ là các số thực thỏa mãn $b-d\geq 5$ và tất cả các số $x_1,x_2,x_3,x_4$  thuộc đa thức$P(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d$ là số thực. Tìm giá trị nhỏ nhất có thể có của $(x_1^2+1)(x_2^2+1)(x_3^2+1)(x_4^2+1)$

$\boxed 2$ Gọi $\mathbb{Z}$ là tập hợp tất cả các số nguyên . Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$ thỏa mãn : $xf(2f(y)-x)+y^2f(2x-f(y))=\frac{f(x)^2}{x}+f(yf(y))$

với $x,y\in\mathbb{Z},x\neq 0$

$\boxed 3$ Chứng minh rằng : Có vô hạn tập hợp các điểm $\dots,\; P_{-3},\; P_{-2},\; P_{-1},\; P_0,\; P_1,\; P_2,\; P_3,\;\dots$ trên mặt phẳng thỏa mãn các điều kiện sau : Bất kỳ 3 số nguyên $a,b,c$ phân biệt và 3 điểm $P_a,P_b,P_c$ thẳng hàng khi và chỉ khi $a+b+c=2014$

Ngày 2 : 30/4/2014

$\boxed 4$ Gọi $k$ là số nguyên dương. Có 2 người chơi $A$ và $B$ chơi trên 1 hệ thống gồm vô số ô lưới hình lục giác đều. Ban đầu tất cả các ô lưới đều trống, sau đó các người chơi thay nhau di chuyển các ô. $A$ là người di chuyển đầu tiên. Trong lượt di chuyển của $A$, anh ấy chọn 2 ô hình lục giác đều trống gần kề nhau và  đưa đi một truy câp (counter) (*) trong cả hai . Trong lượt của $B$ anh ấy chọn bất kỳ 1 truy cập (counter) trong bảng và loại bỏ. Nếu bất cứ lúc nào có $k$ ô liên tiếp trong 1 đường chứa 1 truy câp, và $A$ thắng.Tìm giá trị nhỏ nhất của $k$ mà $A$ không thể giành chiến thắng trong một số hữu hạn di chuyển, hoặc chứng minh rằng không có giá trị tối thiểu như vậy tồn tại.

$\boxed 5$ Cho $\Delta ABC$ với trực tâm $H$ và $P$ là giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp $\Delta AHC$ với đường phân giác trong của $\widehat{BAC}$. Gọi $X$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta APB$ và $Y$ là trực tâm $\Delta APC$. Chứng minh rằng : độ dài đoạn $XY$ bằng độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$

$\boxed 6$ Chứng minh rằng tồn tại một hằng số $c>0$ thỏa mãn : Nếu $a,b,n$ là các số nguyên dương sao cho $\gcd(a+i, b+j)>1$  với mọi $i, j\in\{0, 1,\ldots n\}$ thì $\min\{a, b\}>c^n\cdot n^{\frac{n}{2}}.$

P/s: (*) counter : mk dịch chưa sát nghĩa lắm, m,n cố gắng diễn đạt theo ý riêng của mỗi người nhé

Tuyển tập đề thi vào các trường THPT chuyên trên toàn quốc năm 2014 - 2015

• $\boxed1$ Trường THPT chuyên KHTN Hà Nội (Vòng 1)
• $\boxed2$ Trường THPT chuyên KHTN Hà Nội (Vòng 2)
• $\boxed3$ Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong Nam Định (Vòng 2)
• $\boxed4$ Trường THPT chuyên ĐH Vinh Nghệ An (Vòng 2)
• $\boxed5$ Trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội (Vòng 1)
• $\boxed6$ Trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội (Vòng 2) (Page 2)
• $\boxed7$ Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong (vòng 1) 
• $\boxed8$ Trường THPT chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai (vòng 2)
• $\boxed9$ Trường THPT chuyên Lương Văn Tụy Ninh Bình (vòng 2)
• $\boxed{10}$ Trường THPT chuyên Quảng Nam (Vòng 2)
• $\boxed{11}$ Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn Bà Rịa- Vũng Tàu (vòng 1+2)
• $\boxed{12}$ Trường THPT chuyên Phổ Thông Năng Khiếu TPHCM (vòng 1+2)
• $\boxed{13}$ Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm Quảng Nam (vòng 1)
• $\boxed{14}$ Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn, Bình Định (toán chuyên)
• $\boxed{15}$ Trường THPT chuyên Hà Tĩnh (vòng 1)
• $\boxed{16}$ Trường THPT chuyên Hà Tĩnh (vòng 2)
• $\boxed{17}$ Trường THPT chuyên Lam Sơn Thanh Hóa (vòng 1)
• $\boxed{18}$ Trường THPT chuyên Lam Sơn Thanh Hóa (Toán-Tin)
• $\boxed{19}$ Trường THPT chuyên Hùng Vương Phú Thọ (vòng 1)
• $\boxed{20}$ Trường THPT chuyên Long An (chuyên Toán)
• $\boxed{21}$ Trường THPT chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương (vòng 2)
• $\boxed{22}$ Trường THPT chuyên Quốc Học Huế (vòng 2)
• $\boxed{23}$ Trường THPT chuyên Hùng Vương Phú Thọ (vòng 2)
• $\boxed{24}$ Trường THPT chuyên Nguyễn Du Đăk Lăk (vòng 2)
• $\boxed{25}$ Trường THPT chuyên Biên Hòa Hà Nam (vòng 1)
• $\boxed{26}$ Trường THPT chuyên Bình Dương (vòng 2)
• $\boxed{27}$ Trường THPT chuyên Thực hành Sư Phạm TP Hồ Chí Minh (vòng 2)
• $\boxed{28}$ Trường THPT chuyên toán Thành phố Hà Nội (vòng 2)
• $\boxed{29}$ Trường THPT chuyên Lam Sơn Thanh Hóa (vòng 2)
• $\boxed{30}$ Trường THPT chuyên Thái Bình (vòng 1+2)
• $\boxed{31}$ Trường THPT chuyên tỉnh Bình Thuận (vòng 2)
• $\boxed{32}$ Trường THPT chuyên Tiền Giang ( Chuyên Toán )
• $\boxed{33}$ Trường THPT chuyên Tiền Giang ( Chuyên Tin )
• $\boxed{34}$ Trường THPT chuyên Lương Văn Chánh - Phú Yên (vòng 1+2)
• $\boxed{35}$ Trường THPT chuyên Bắc Giang (vòng 2)
• $\boxed{36}$ Trường THPT chuyên Trà Vinh (vòng 2)
• $\boxed{37}$ Trường THPT chuyên Gia Lai (vòng 1+2)
• $\boxed{38}$ Trường THPT chuyên Bình Dương (Toán Tin)
• $\boxed{39}$ Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn (Điện Biên) (vòng 2)
• $\boxed{40}$ Trường THPT chuyên Nguyễn Tất Thành - Yên Bái
• $\boxed{41}$ Trường THPT chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An
• $\boxed{42}$ Trường THPT chuyên Lào Cai (vòng 2)

P/s: Topic sẽ luôn được cập nhập mới. Mong các ĐHV THCS cập nhập thêm

Cho hình vuông $ABCD$. Tìm tập hợp các điểm $M$ nằm trong tam giác (không năm trên cạnh hình vuông) sao cho $\widehat{BAM}+\widehat{BMC}+\widehat{MCD}+\widehat{MDA}=180^{\circ}$

Nhiệm vụ của MSS Shorlist là gì vậy ạ

Cho $x, y, z$ là các số dương thỏa mãn điều kiện $xyz = 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  

$$E=\frac{1}{x^3(y+z)}+\frac{1}{y^3(z+x)}+\frac{1}{z^3(x+y)}.$$

Toán thủ ra đề: angleofdarkness

Đặt $x=\frac{1}{a},y=\frac{1}{b},z=\frac{1}{c}\Rightarrow abc=1$ vì $xyz=1$

Điều kiện : $a,b,c>0$

Ta có : $E=\frac{1}{x^3(y+z)}+\frac{1}{y^3(z+x)}+\frac{1}{z^3(x+y)}=\frac{1}{\frac{1}{a^3}\left ( \frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )}+\frac{1}{\frac{1}{c^3}\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right )}+\frac{1}{\frac{1}{b^3}\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{c} \right )}=\frac{a^{3}bc}{b+c}+\frac{b^{3}ac}{a+c}+\frac{c^{3}ab}{a+b}=\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{a+b+c}=a+b+c$

Theo BĐT Schwarz

mà $a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}=3$ (Theo BĐT AM-GM)

Vậy $min E=3\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=b=c\\ abc=1 \end{matrix}\right.\Rightarrow a=b=c=1\Rightarrow x=y=z=1$

d = 9.5

S = 45

Mở rộng 1: Cho $xyz=1;x,y,z>0$

Tìm giá trị nhỏ nhất của : $P=\frac{1}{x^{3k}\left ( y^k+z^k \right )}+\frac{1}{y^{3k}\left ( x^k+z^k \right )}+\frac{1}{z^{3k}\left ( y^k+x^k \right )}$ với $k$ là số tự nhiên lớn hơn hoặc bằng 1

Bài giải :

Vì $x,y,z>0$, đặt : $x^k=\frac{1}{a},y^k=\frac{1}{b},z^k=\frac{1}{c}\Rightarrow x^{3k}=\frac{1}{a^3},y^{3k}=\frac{1}{b^3},z^{3k}=\frac{1}{c^3}$ với $a,b,c>0$

mà $xyz=1\Rightarrow abc=1$

Thay vào BĐT ,ta có BĐT mới là

$P=\frac{a^3bc}{b+c}+\frac{b^3ac}{a+c}+\frac{c^3ab}{a+b}=\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\geq \frac{(a+b+c)^2}{a+b+c}=a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}=3$

Áp dụng BĐT Scharw và BĐT AM-GM

Vậy $minP=3$ khi $a=b=c=1\Leftrightarrow x=y=z=1$

Mở rộng 2:

Cho $m,n>0;p\geq q\geq 0$. Giải phương trình : 

$\left ( mn+1 \right )\sqrt{p^x-q^x}=n\left ( p-q \right )+m\left ( p^{x-1}+p^{x-2}q+p^{x-3}q^2+...+q^{x-2}p+q^{x-1} \right )$ Với $x\geq 1$

Bài giải : Ta thấy : $p^x-q^x=\left ( p-q \right )\left ( p^{x-1}+p^{x-2}q+p^{x-3}q^2+...+q^{x-2}p+q^{x-1} \right )$

Đặt $\left ( p-q \right )=u,\left ( p^{x-1}+p^{x-2}q+p^{x-3}q^2+...+q^{x-2}p+q^{x-1} \right )=v$

Thao vào PT ban đầu $\Rightarrow nu^2+mv^2-(mn+1)uv=0\Leftrightarrow \left ( nu-v \right )\left ( u-mv \right )=0\Rightarrow \begin{bmatrix} nu-v=0\\ u-mv=0 \end{bmatrix}$

Ta xét các trường hợp : 

Giải phương trình: $2x^{2}+5x-1=7\sqrt{x^{3}-1}$

Đề thi của l4lzTeoz

Điều kiện $\left\{\begin{matrix} 2x^2+5x-1\geq 0\\ x^3-1\geq 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \begin{bmatrix} x\geq \frac{-5+\sqrt{33}}{4}\\ x\leq \frac{-5-\sqrt{33}}{4} \end{bmatrix}\\ x\geq 1 \end{matrix}\right.\Rightarrow x\geq 1$

Ta có :

$2x^{2}+5x-1=7\sqrt{x^{3}-1}\Leftrightarrow 2x^2+5x-1=7\sqrt{(x-1)(x^2+x+1)} (*)$

Đặt $\sqrt{x-1}=a,\sqrt{x^2+x+1}=b$ $\Rightarrow 2x^2+5x-1=2x^2+2x+2+3x-3=2b^2+3a^2$

Thay vào phương trình (*) 

Ta có$2b^2+3a^2-7ab=0\Leftrightarrow \left ( 2b-a \right )\left ( b-3a \right )=0\Rightarrow \begin{bmatrix} 2b-a=0\\ b-3a=0 \end{bmatrix}$

Với $2b-a=0\Rightarrow 2b=a\Rightarrow 4b^2=a^2\Leftrightarrow 4\left ( x^2+x+1 \right )=x-1\Rightarrow 4x^2+3x+5=0(VN)$ vì $\Delta =3^2-4.5.4=-71< 0$

Với $b-3a=0\Rightarrow b=3a\Rightarrow b^2=9a^2\Leftrightarrow x^2+x+1=9(x-1)\Rightarrow x^2-8x+10=0\Leftrightarrow \left ( x-4-\sqrt{6} \right )\left ( x-4+\sqrt{6} \right )=0\Rightarrow \begin{bmatrix} x=4+\sqrt{6}\\ x=4-\sqrt{6} \end{bmatrix}$ thỏa mãn điều kiện

Vậy $S=\left ( 4-\sqrt{6};4+\sqrt{6} \right )$

   d =10

  $d_{mr}=10$

  S =17+10.3+10=57

Giải phương trình: $2x^{2}+5x-1=7\sqrt{x^{3}-1}$

Đề thi của l4lzTeoz

Mở rộng 1:

Giải hệ phương trình : $nx^2+(m+n)x+(n-m)=\left ( mn+1 \right )\sqrt{x^3-1}$ với $m,n> 0$

Điều kiện $x\geq 1$

Ta có :$nx^2+(m+n)x+(n-m)=\left ( mn+1 \right )\sqrt{x^3-1}\Leftrightarrow n\left ( x^2+x+1 \right )+m\left ( x-1 \right )=\left ( mn+1 \right )\sqrt{\left ( x-1 \right )\left ( x^2+x+1 \right )} (*)$

Đặt $\sqrt{x-1}=a,\sqrt{x^2+x+1}=b\left ( a\geq 0,b> 0 \right )$

Thay vào PT  $(*)\Rightarrow ma^2+nb^2-(mn+1)ab=0\Leftrightarrow (ma-b)(a-nb)=0\Rightarrow \begin{bmatrix} ma-b=0\\ a-nb=0 \end{bmatrix}$

• Với $ma-b=0$
• Với $a-nb=0$

Tùy thuộc vào giá trị của $m,n$ thì ta tìm được nghiệm của $x$ 

  Mở rộng đúng

Cho $x,y\in \mathbb{R}$ thỏa mãn $(x+y)^{3}+4xy\geq 2$(*) . Tìm giá trị nhỏ nhất của:

 

$$ P=3(x^{4}+y^{4}+x^{2}y^{2})-2(x^{2}+y^{2})+1$$

Đề của 

nk0kckungtjnh

Bài làm:

P=3x⁴+3y⁴+3x²y²-2x²-2y²+$\frac{1}{3}$.3

P=3(x⁴-$\frac{2}{3}$x²+$\frac{1}{9}$)+3(y⁴-$\frac{2}{3}$y²+$\frac{1}{9}$)+3x²y²+$\frac{1}{3}$

P=3(x²-$\frac{1}{3}$)²+3(y²-$\frac{1}{3}$))²+3x²y²+$\frac{1}{3}$

Nhận thấy:3(x²-$\frac{1}{3}$)²+3(y²-$\frac{1}{3}$))²$\geq 0$

                 3x²y²$\geq 0$

Vậy nên để P có min thì cặp số x,y phải thoả mãn 1 trong hai điều kiện sau:3(x²-$\frac{1}{3}$)²+3(y²-$\frac{1}{3}$))²=0

                                                                                                                       3x²y²=0

 

*Trường hợp 1:3x²y²=0

Theo bài toán đầu đề thì ta nhận thấy x,y không thể cùng bằng 0

Mà theo trường hợp thì x=0 hoặc y=0

Giả sử x=0 và y=m,thay x=0 vào bài toán đầu bài(*) ta có được y$\geq$$\sqrt[3]{2}$

Thay x=0,y$\geq$$\sqrt[3]{2}$ vào P ta có=3(0-$\frac{1}{3}$)²+3(y²-$\frac{1}{3}$)²+0+$\frac{1}{3}$$\geq$5,4(1)

*Trường hợp 2 :3(x²-$\frac{1}{3}$)²+3(y²-$\frac{1}{3}$))²=0

=>x=$\sqrt{\frac{1}{3}}$ hoặc x=$-\sqrt{\frac{1}{3}}$và y=$-\sqrt{\frac{1}{3}}$ hoặc y=$\sqrt{\frac{1}{3}}$

vậy nên ta sẽ có được 4 cặp số thoả mãn trường hợp

Thay lần lượt 4 cặp số vừa tìm được vào bài toán đầu bài(*) thì ta chỉ nhận được 1 cặp số x,y thoả mãn là:

(x,y)=($\sqrt{\frac{1}{3}}$;$\sqrt{\frac{1}{3}}$)

Thay cặp x,y ở trên vào P ta có P$\geq \frac{2}{3}$(2)

Từ (1),(2) suy ra P$\geq \frac{2}{3}$ cho nên Min của P là $\frac{2}{3}$. dấu bằng xảy ra khi x=y=$\sqrt{\frac{1}{3}}$

Phần này sai. Vì bạn chọn nhầm điểm rơi.  $\left ( x-\frac{1}{3} \right )^{2}+\left ( y-\frac{1}{3} \right )^2+x^2y^2$ nhỏ nhất khj ba số bằng nhau theo cách của bạn

MSS-01: Nguyễn Đức Thuận

Giải:

Từ BĐT AM-GM, ta có: $xy\leq \frac{(x+y)^2}{4}$ đặt $m=x+y$

$\Rightarrow m^3+\frac{km^2}{4}\geq 1+\frac{k}{4}$$\Leftrightarrow (m-1)\left [ m^2-\left ( 1+\frac{k}{4}\right ) m+1+\frac{k}{4} \right ]$

Mà $m^2-\left ( 1+\frac{k}{4}\right ) m+1+\frac{k}{4} =\left [ m-\frac{1}{2}\left ( 1+\frac{k}{4} \right ) \right ]^2+1+\frac{k}{4}-\frac{1}{4}\left ( 1+\frac{k}{4} \right )^2>0$  

(Do $-4<k<12\Rightarrow 1+\frac{k}{4}<4\Rightarrow \frac{1}{4}\left ( 1+\frac{k}{4} \right )^2<1+\frac{k}{4}$)

Suy ra $m\geq 1$ $\Rightarrow t=x^2+y^2\geq \frac{m^2}{2}\geq \frac{1}{2}\Rightarrow t^2\geq \frac{1}{4}$

Áp dụng BĐT $x^2y^2\leq \frac{t^2}{4}$, biến đổi:

$P=a(t^2-x^2y^2)-bt+c\geq \frac{3a}{4}t^2-bt+c=b\left ( t-\frac{1}{2} \right )^2+\left ( \frac{3a}{4}-b \right )t^2+c-\frac{1}{4}$

$\geq \frac{1}{4}\left ( \frac{3a}{4}-b \right )+c-\frac{b}{4}$

 

Vậy $MinP= \frac{1}{4}\left ( \frac{3a}{4}-b \right )+c-\frac{b}{4}$   khi $x=y=1/2$

Nếu k<0 thì $(x+y)^{3}+kxy\geq (x+y)^{3}+k(x+y)^{2}$ trái dấu.

Theo giả thiết ta có : $(x+y)^3+4xy\geq 2\Rightarrow 2\leq (x+y)^3+(x+y)^2\Leftrightarrow (x+y)^3+(x+y)^2-2\geq 0\Leftrightarrow \left ( x+y-1 \right )\left [ \left ( x+y \right )^2+x+y+2 \right ]\geq 0\Rightarrow x+y\geq 1$

Ta có : $P=3\left ( x^4+y^4+x^2y^2 \right )-2\left ( x^2+y^2 \right )+1$

Áp dụng BĐT $AM-GM$ với các số thực $a,b$ ta có : $4ab\leq \left ( a+b \right )^2,a^2+b^2\geq 2\left | ab \right |\geq 2ab$

$\Rightarrow 2P=6\left ( x^4+y^4+x^2y^2 \right )-4\left ( x^2+y^2 \right )+2=2\left ( x^4+y^4-x^2y^2 \right )+4\left ( x^4+y^4+2x^2y^2 \right )-4\left ( x^2+y^2 \right )+2=2\left ( x^4+y^4-x^2y^2 \right )+\left [ 2\left ( x^2+y^2 \right )-1 \right ]+1$

$\geq \left ( x^4+y^4 \right )+\left ( x^4+y^4-2x^2y^2 \right )+\left [ \left ( x+y \right )^2 \right ]+1\geq x^4+y^4+1\geq 2.\left ( \frac{x+y}{4} \right )^4+1\geq \frac{9}{8}\Rightarrow P\geq \frac{9}{16}$

Dấu = xảy ra khi $x=y=\frac{1}{2}$

AM-GM chỉ xài khi có điều kiện không âm.

Điểm 9.