Mọi người giúp mình với 

Cho x,y,z là những số thực thoã mãn $0\leq x,y,z\leq 2$ và x+y+z=3. CMR: $3\leq$$x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 5$

Mình làm được ý >=3. ý còn lại xét đi xét lại mà không được! Giúp mình nha! 

Mình làm câu 2 các bạn duyệt dùm 

Áp dụng AM-GM ta có A= $3\sqrt{2x-1}+x\sqrt{5-4x^{2}}\leq 3*\frac{2x-1+1}{2}+\frac{5-3x^{2}}{2}$\     (**)

Từ điều kiện ta suy ra $x^{2}\leq \frac{5}{4}= > 5-3x^{2}\leq \frac{5}{4}$        (*)

=> $A\geq \frac{6\sqrt{5}+5}{4}$

Vậy MaxA= $\frac{6\sqrt{5}+5}{4}$ khi và chỉ khi x=1

Mình Sử lại từ chỗ (*) nha

Từ giả thiết suy ra $x^{2}\geq \frac{1}{4}\Rightarrow -3x^{2}\leq \frac{-3}{4}\Rightarrow 5-3x^{2}\leq \frac{17}{4}$

Tuy nhiên cáchminhf làm là sai do dấu = ở (*) và (**) là không giống nhau. Bạn nào có cách làm chỉ ra với nha!

Đề bài của bạn có đúng không vậy?

Hình như là $3 \leqslant x^2+y^2+z^2 \leqslant 6$ thì phải

Đề đúng mà bạn! Ở đây có lời giải rồi nè! http://diendantoanho...eq-x2y2z2leq-5/

áp dụng bđt CBS là được mà

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có

$VT\geq \frac{\left ( 3\sqrt{2} \right )^{2}}{2\left ( a+b+c \right )}= \frac{9}{a+b+c}$

Mik HD bạn 1 cách rất dễ :

Áp dụng BĐT Cô si- Schwars:

 

$\frac{x^2}{1-x}+\frac{y^2}{1-y} + \frac{1}{x+y} +x +y=\frac{x^2}{1-x}+\frac{y^2}{1-y} + \frac{1}{x+y}+\frac{x-x^{2}}{1-x}+\frac{y-y^{2}}{1-y}=\frac{1}{x+y}+\frac{x}{1-x}+\frac{y}{1-y}=\frac{1}{x+y}+\frac{1}{1-x}+\frac{1}{1-y}-2\geq \frac{(1+1+1)^{2}}{1-x+1-y+x+y}-2=2,5$

Dấu = xảy ra khi $x=y=\frac{1}{2}$

           

Dấu "=" xảy ra $\large x=y=\frac{1}{3}$

Bài 1:

$P\geq \frac{(x+y)^{2}}{x+y}=x+y$

Sau đó tìm min của x,y nhờ ĐK

$(\sqrt{x}+1)(\sqrt{y}+1)\leq \frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y}+2)^{2}}{4}\leq \frac{(\sqrt{2(x+y)}+2)^{2}}{4}$      (1)

anh giải giùm em bài 2 luôn đi ạ

Mình giải tiếp bài của bạn andymurray44

Do $\left ( \sqrt{x} +1\right )\left ( \sqrt{y} +1\right )\geq 4$ nên từ (1) suy ra    $\frac{\left ( \sqrt{2\left ( x+y \right )} +2\right )^{2}}{4} \geq 4 = > x+y\geq 2$  

Vậy MinP=2 <=> x=y=1 

XL. MÌNH lại nhầm. Mình nhầm bài này là bài 2! del hộ mình

Bài 1:cho x,y là các số thực dương thỏa mãn:

\[\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt y  + 1} \right) \ge 4\]

 

Tìm min P với P=\[\frac{{\chi 2}}{\gamma } + \frac{{\gamma 2}}{\chi }\]

 

 Bài 2:Tìm GTLN của y=\[3\sqrt {2x - 1}  + x\sqrt {5 - 4\chi 2} \]

với \[\frac{1}{2} \le x \le \frac{{\sqrt 5 }}{2}\]

mong các bác giúp em vs ạ.em cần gấp lắm

Mình làm câu 2 các bạn duyệt dùm 

Áp dụng AM-GM ta có A= $3\sqrt{2x-1}+x\sqrt{5-4x^{2}}\leq 3*\frac{2x-1+1}{2}+\frac{5-3x^{2}}{2}$\

Từ điều kiện ta suy ra $x^{2}\leq \frac{5}{4}= > 5-3x^{2}\leq \frac{5}{4}$

=> $A\geq \frac{6\sqrt{5}+5}{4}$

Vậy MaxA= $\frac{6\sqrt{5}+5}{4}$ khi và chỉ khi x=1

Trong toppic này có mấy kí hiệu em không hiểu. mọi người nói cho em biết khi nào thì dùng nó cái. kí hiệu $\sum$

Cho đường tròn (O; R). Từ điểm S nằm ngoài (O) vẽ hai tiếp tuyến SA; SB (A; B là hai tiếp điểm), SO cắt AB tại H. Kẻ đường kính AK.

a/ Chứng minh: OA là đường trung trực BC và KB // SO.

b/ Vẽ cát tuyến SMN (M ở giữa N và S ). Chứng minh:  và suy ra .

c/ Chứng minh: AB là phân giác .

d/ SO cắt KM, KN tại P và Q. Chứng minh: O là trung điểm của PQ.

Sửa lại đề đi bạn ơi! 

Bài 104: Tìm các cặp số nguyên x,y thỏa mãn điều kiện: $\large \left ( x-2006 \right )^{2}=y\left ( y+1 \right )\left ( y+2 \right )\left ( y+3 \right )$

Sau bao cảm xúc dồn nén bấy lâu ,tối nay em up ngay hình "Gấu" của em

11219711_1492816341010230_8829147245020173718_n.jpg
 

Mình thấy thích điều này (y)   

Cảm giác có người yêu thế nào mọi người? 

Mình cũng đóng góp bộ sưu tập, G mình nhá! 

Ta có: VT=$\sqrt{3\left ( x^{2}+4x+4 \right )+4}+\sqrt{y^{2}-4y+4+9}$=$\sqrt{3\left ( x+2 \right )^{2}+4}+\sqrt{\left ( y-2 \right )^{2}+9}\geq 2+3= 5$

Dấu "=" xảy ra $\ll = \gg$ x=-2 và y=2

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x=-2 và y=2

Mình xl. Bài này giải rồi. ai đó xóa đi giúp mình. Mình không có ý spam hay gì cả đâu nha.

Tớ xin mở đầu...
BÀI 2:
Giải phương trình: $\sqrt{3x^{2}+12x+16}+\sqrt{y^{2}-4y+13}=5$
___

P/S: Phiền các bạn khi post bài nhớ đánh số thứ tự và in đậm như thế này nhé, thân!
___

Ta có: VT=$\sqrt{3\left ( x^{2}+4x+4 \right )+4}+\sqrt{y^{2}-4y+4+9}$=$\sqrt{3\left ( x+2 \right )^{2}+4}+\sqrt{\left ( y-2 \right )^{2}+9}\geq 2+3= 5$

Dấu "=" xảy ra $\ll = \gg$ x=-2 và y=2

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x=-2 và y=2

OTHER SOLUTION:

ĐK:$x \ge - 3$

Nhận thấy $x=-3$ không là nghiệm của phương trình nên ta suy ra $x+3 \ge 0$

Từ giả thiết suy ra:$\sqrt {2{x^2} + 1} = \frac{{{x^2} + x + 3}}{{x + 3}}$

$ \Leftrightarrow \sqrt {2{x^2} + 1} - 1 = \frac{{{x^2}}}{{x + 3}}$

$\left( {\sqrt {2{x^2} + 1} - 1} \right)\left( {\sqrt {2{x^2} + 1} + 1} \right) = \frac{{{x^2}}}{{x + 3}}.\left( {\sqrt {2{x^2} + 1} + 1} \right)$

$2{x^2} = \frac{{{x^2}}}{{x + 3}}.\left( {\sqrt {2{x^2} + 1} + 1} \right)$

Nhận thấy $x=0$ là 1 nghiệm của phương trình.

Với x khác 0, ta suy ra:

$2 = \frac{1}{{x + 3}}.\left( {\sqrt {2{x^2} + 1} + 1} \right) \Leftrightarrow 2x + 5 = \sqrt {2{x^2} + 1} $

Dễ dàng giải được pt trên ra nghiệm là: $\left[ \begin{array}{l}
x = - 5 + \sqrt {13} \left( {True} \right) \\
x = - 5 - \sqrt {13} \left( {False} \right) \\
\end{array} \right.$

Vậy tập nghiệm của phương trình là : $\boxed{S = 0; - 5 + \sqrt {13}}$

Bài toán kết thúc ....
___

Bạn ơi. Chỗ $x+3\geq 0$ ý phải là x+3>0 chứ

Giờ mới biết trang này:
____________________________________________________

Cách giải thứ 3:
Ta có: ĐKXĐ: $x \in R$
$\left( {x + 3} \right)\sqrt {2{x^2} + 1} = {x^2} + x + 3$
Vì ${x^2} + x + 3>0$ và $\sqrt {2{x^2} + 1}>0$ suy ra $x+3>0$
Vậy: $\left( {x + 3} \right)\sqrt {2{x^2} + 1} = {x^2} + x + 3$
$\Leftrightarrow (x+3)^2(x^2+1)=(x^2+x+3)^2$
$\Leftrightarrow 2x^4+19x^2+12x^3+6x+9 = x^4+2x^3+7x^2+6x+9$
$\Leftrightarrow x^2(x^2+12+10x)=0$
$\Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=-5+\sqrt{13}$ hoặc $x=-5-\sqrt{13}$
Kết hợp với ĐK: $x>-3$ ta có $x=0$ hoặc $x=-5+\sqrt{13}$
Thử lại thấy thỏa mãn
Vậy ta có nghiệm của PT là $x \in ${$0,-5+ \sqrt{13}$}
__________________________________________________
Nói thêm về bài của Thịnh:
ĐKXĐ của cậu là sai. ĐKXĐ chỉ là cái điều kiện của $x$ để biểu thức có nghĩa
Muốn nói $x \geq -3$ thì cậu nên chứng minh lại nó, hoặc là ghi nó là: "$ĐK: x \geq -3$"

Bạn ơi. Về bài của Thịnh thì là x>3. Do VP>0 với mọi x nên VT lớn hơn 0

nhận thấy trong căn có $x^2+1$, ở ngoài có $x^2+1$ tính delta theo $\sqrt{x^{2}+1}$ là được

Cách cổ điển là bình phương cuối được phương trình $x^{2}= 8$. Giải ra

Cách 2 là đổi vế chuyển dâu phân tích thành nhân tử

Cách 3 là đặt $x^{2}+1= a$ sau đó rút x theo a thay vào phương trình đầu phân tích ra thành phương trình tích là giải được 

Trong đó cách 2 là nhanh nhất

Thử chém một cách xem sao:
DKXD :$x\geq 2,x^2+6x-11 \neq 0$
Pt $\sqrt{x-2}=\frac{5x^2-10x+1}{x^2+6x-11}\Leftrightarrow \frac{x-2-1}{\sqrt{x+2}+1}=\frac{4x^2-16x+12}{x^2+6x-11}\Leftrightarrow \frac{x-3}{\sqrt{x+2}+1}=\frac{4(x-3)(x-1)}{x^2+6x-11}\Leftrightarrow \begin{bmatrix}x=3 \\\sqrt{x-2}+1=\frac{x^2+6x-11}{4(x-1)} \end{bmatrix}$.Nhận x=3
Giải PT (2).Đặt $a=\sqrt{x-2}(t \neq 0)$ Ta có :
$a+1=\frac{a^4+10a^2+5}{4(a^2+1)}\Leftrightarrow a^4-4a^3+6a^2-4a+1=0$
$\Leftrightarrow (a-1)^4=0\Leftrightarrow a=1\Rightarrow x=3$
PT có nghiệm $x=3$

Em không hiểu chỗ pt tương đương với pt đã cho ấy ạ

Bài 101: Giải phương trình sau:

$\sqrt{4-3\sqrt{10-3x}}=x-2$   (1)

ĐKXĐ: $\frac{10}{3}\geq x\geq \frac{74}{21}$

Với mọi x thõa mãn đk thì khi bình phương hai vế của (1) hai lần ta được:

   $x^{4}-8x^{3}+16x^{2}+27x-90=0 < = > \left ( x-3 \right )\left ( x-2 \right )\left ( x^{2}-7x+15 \right )=0$

Ta thấy $x^{2}-7x+15 > 0  \forall x$ nên 

x=3 hoặc x=2(không TM đk)

Vậy pt đã cho có 1 nghiệm x=3

$x^{4}(2014+\sqrt{2014+x^{2}})=(2014-\sqrt{x^{2}+2014})(2014+\sqrt{2014+x^{2}})\Leftrightarrow x^{4}=2014-\sqrt{2014+x^{2}}$

tới đây tương tự như trên

Chứ cái 2013.2014 đâu rồi bạn?

Bài 26. Cho $x,\,y\neq0$ thỏa $\left(x+y\right)xy=x^2+y^2-xy.$ Tìm giá trị lớn nhất của: $$P=\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{y^3}$$

Do $\large xy\left ( x+y \right )=x^{2}+y^{2}-xy\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}-\frac{1}{xy}$ (Chia hai vế cho $\large x^{2}y^{2}$) 

Từ đó: $\large \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right )^{2}-\frac{3}{xy}\geq \left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y} \right )^{2}-3\left ( \frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}{2} \right )^{2}=\frac{1}{4}\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y} \right )^{2}$

Do vậy: $\large \left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y} \right )^{2}-4\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y} \right )\leq 0\Leftrightarrow 0\leq a+b\leq 4$

Ta có: $\large P=\frac{1}{x^{3}}+\frac{1}{y^{3}}=\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y} \right )\left ( \frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}-\frac{1}{xy} \right )=\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y} \right )^{2}\leq 4^{2}$

Vậy $\large P_{max}=16\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}$

Ko sai đề đâu bạn, bạn cứ làm đi, rồi thấy đề đúng

Nhưng cái phân thức cuối tử hình như thiếu mất b

em xem lại đề bài 1 xem hình như thừa thì phải
đề đúng là $\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ca}+\frac{1}{c^2+2ab}\geq 9$ phải không em?

Theo đề đúng thì ta làm như sau:

Đặt $a^{2}+2bc=x$; $b^{2}+2ac=y$ và $c^{2}+2ab=z$ ta được điều phải cm tương đương với:

Bằng phương pháp biến đổi tuơng đương ta có $\left ( x+y+z \right )\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right )\geq 9$ $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{9}{x+y+z}$   (1)

Ta có: x+y+z=$\left ( a+b+c \right )^{2}$ $\geq$ 1    (2)

Từ (1) và (2) suy ra đpcm

Cho $abc=1$. Cmr: $P=\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}\leq 1$

Bài này có cho đk a,b,c k bạn?