Chuyên đề này bao gồm trong các chuyên đề mà mình đã biên soạn. Không có phần bài tập vì các bạn có thể tìm ở nhiều sách khác nhau. Nếu bạn nào muốn có thể liên hệ với mình theo địa chỉ [email protected]

Họ và tên : Nguyễn Văn Phẩm

Lớp: 8A7

Trường: THCS Ngô Mây, tỉnh Bình Định (2012-2013)

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn : $a^2+b^2=1$ Chứng minh:

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2 \right)\geq 2\sqrt{2}$

Xét 32 số:

32

3232

323232

............

32...32(32 bộ số 32)

Ta có 32 số mà chỉ có 31 số dư khi chia cho 31 (0 đến 30) nên tồn tại 2 số có cùng số dư khi chia cho 31.

Gọi 2 số đó là A=32..32(m chữ số) và B=32..32(n chữ số).(A>B). Suy ra $A - B= 32..32.{10}^{m-n}$ chia hết cho 31. Mà $({10}^{m-n},31)=1$ nên 32..32(m-n số) chia hết cho 31

Bài này dễ mà: $1^5+n^5$ chia hết cho $n+1$ suy ra $2T$ chia hết cho $n+1$

$1^5+(n-1)^5$ chia hết cho $n$ suy ra $2T$ chia hết cho $n$ vì $(n,n+1)=1$. Suy ra $2T$ chia hết cho $n(n+1)$. Suy ra $T$ chia hết cho $1+2+3+...+n$

Số 0 vì không biết có bao nhiêu số hạng cả

Bài này $n \vdots 4$ (n > 2)mới đúng $n \vdots 2$ vẫn sai. Thay n=6 hay 10 là sai ngay

Bạn nói gì kì vậy. Người ta bảo là chứng minh chia hết cho 2 chứ đâu có bảo chứng minh điều ngược lại đâu. 

Ta có: $12345679.9k = 111111111k$

Hãy tính: $\sqrt[3]{{182 + \sqrt {33125} }} + \sqrt[3]{{182 - \sqrt {33125} }}$

Mình mong topic này sẽ là nơi trao đổi kinh nghiệm giải toán bằng máy tính cầm tay trên violympic

Bài đầu tiên: Tìm Min hoặc Max của $ax^2  + bx + c$

Áp dụng công thức tổng quát

Tính $f(\frac{-b}{2a})$ thôi em.

Sai be bét rồi anh ạ. Đây là tìm min/max thì phải tính $f\left( {\frac{{ - \Delta }}{{4a}}} \right)$ chứ. Lần sau xưng hô cho lịch sự chút

Các bạn cũng áp dụng công thức tổng quát để tính bài này nữa nhé: Tìm Min hoặc Max của \[\frac{{a{x^2} + bx + c}}{{d{x^2} + {\rm{e}}x + f}}\]

Xét $2^{100}$ chia cho 1000 bằng cách phân tích 1000 thành $2^3.5^3$

Đây nhé bạn  http://diendantoanho...ất/#entry380789

Cái này chưa hay bằng cái của mình

Vào mode giải phương trình bậc 2. Lần lượt nhấn \[{e^2} - 4df;4af + 4cd - 2be;{b^2} - 4ac\]

Sau đó nhấn = để máy tính giải phương trình. Chú ý: Nghiệm lớn là max, nghiệm nhỏ là min. Nếu \[\frac{b}{e}\] bằng 1 trong 2 nghiệm thì loại bỏ giá trị min hoặc max đó . Phân thức chỉ có 1 giá trị min hoặc max còn lại

tìm a,b,c$\epsilon$ N* sao cho

    $\frac{4}{409}= \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

và a,b c khác nhau

Có đó bạn. Bạn xem sách giáo khoa toán 8 tập 1 chương phân thức phần có thể em chưa biết để tìm hiểu thêm nhé! Định lí này vẫn chưa ai chứng minh ra được

Tìm tổng 3 số nguyên dương khác nhau biết tổng nghịch đảo của chúng bằng 1

Ta có: \[\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1\]

Không mất tính tổng quát của bài toán. Giả sử \[a \ge b \ge c\] thì: \[1 = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \le \frac{3}{c} \Rightarrow c \le 3\]

Nếu $c=1$ thì \[\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 0\]

Vô lí!

Nếu $c=2$ thì\[\frac{1}{2} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \le \frac{2}{b} \Rightarrow b \le 4\]

Nếu $b=1$ thì $a<0$,nếu $b=2$ thì không có a, Nếu $b=3$ thì $a=6$, Nếu $b=4$ thì $a=4$

Nếu $c=3$ thì \[\frac{2}{3} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \le \frac{2}{b} \Rightarrow b \le 3\]

Nếu$b=1$ thì a<0, nếu b=2 thì a=6, nếu b=3 thì a=3.

Vậy ta có các bộ số trên và hoán vị của chúng

Đây là 1 bài toán cực kì cơ bản của dạng toán sắp xếp thứ tự các biến

\[{\left( {\frac{a}{x} + \frac{b}{y} + \frac{c}{z}} \right)^2} = 4\]

\[ \Leftrightarrow {\left( {\frac{a}{x}} \right)^2} + {\left( {\frac{b}{y}} \right)^2} + {\left( {\frac{c}{z}} \right)^2} + 2\left( {\frac{{ab}}{{xy}} + \frac{{bc}}{{yz}} + \frac{{ca}}{{zx}}} \right) = 4\]

\[ \Leftrightarrow D + 2\left( {\frac{{abz + bcx + cay}}{{xyz}}} \right) = 4\]

MÀ:\[\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 2 \Rightarrow \frac{{abz + bcx + cay}}{{abc}} = 2 \Rightarrow abz + bcx + cay = 2abc\]

\[ \Rightarrow D + 2\left( {\frac{{2abc}}{{xyz}}} \right) = 4 \Rightarrow D = 4 - \frac{{4abc}}{{xyz}} = \frac{{4\left( {xyz - abc} \right)}}{{xyz}}\]

Mình nghĩ có lẽ bạn cho sai nếu x/a+y/b+z/c=0 thì D=4

Mình cũng xin góp thêm 1 cách giải:

\[\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \ge 3\sqrt[3]{1} = 3\]

Lại có: \[\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\left( {{1^2} + {1^2} + {1^2}} \right) \ge {\left( {a + b + c} \right)^2}\]

Hay:\[\frac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{3} \le {a^2} + {b^2} + {c^2}\]

Suy ra:\[\frac{{a + b + c}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} \ge \frac{{a + b + c}}{{\sqrt {\frac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{3}} }} = \frac{{a + b + c}}{{\frac{{a + b + c}}{{\sqrt 3 }}}} = \sqrt 3 \]

Vậy:\[\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} + \frac{{a + b + c}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} \ge 3 + \sqrt 3 \]

Tìm BCNN,ƯCLN của 2 cặp  số rồi tìm BCNN,ƯCLN của BCNN,ƯCLN của 2 cặp số đấy

$\sqrt{3x+7}=2+\sqrt{x+1}\Rightarrow 3x+7=4+4\sqrt{x+1}+x+1$$\Rightarrow 2\left ( x+1 \right )=4\sqrt{x+1}$

Đặt $\sqrt{x+1}=y$ ta được: $2y^{2}=4y\Leftrightarrow y^{2}=2y\Leftrightarrow y=0;y=2$

Nếu $y=0$ thì $x=-1$

Nếu $y=2$ thì $x=3$

Nếu mà x,y,z nguyên thì mình làm được. $x^{2}+y^{2}+z^{2}< xy+6x+2z-12$

$\Rightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}+1\leq xy+6x+2z-12$

$x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-6x-2z+13\leq 0$

$\frac{1}{4}x^{2}-xy+y^{2}+\frac{3}{4}x^{2}-6x+12+z^{2}-2z+1\leq 0$

$\left ( \frac{1}{2}x-y \right )^{2}+3\left ( \frac{1}{2}x-2 \right )^{2}+\left ( z-1 \right )^{2}\leq 0$

$\left\{\begin{matrix} \frac{1}{2}x-y=0\\\frac{1}{2}x-2=0 \\ z-1=0 \end{matrix}\right.$

$x=4;y=2;z=1$

Bài này sao không thấy ai trả lời. 

BCNN(a,b)=4400 và $4400=2^5.5^2.11$ suy ra $a=2^x.5^y.11^z;b=2^m.5^n.11^n$, a có 9 ước, b có 10 ước nên:

$(x+1)(y+1)(z+1)=9;(m+1)(n+1)(p+1)=10$ . Theo quy tắc tìm BCNN thì: $x=5$ hoặc $m=5$ Do đó $y,z,n,p\notin Z$ Vậy không có a,b

Cho $x>2$, chứng minh $\frac{x}{2}+\frac{8x^3}{(x-2)(x+2)^2}>9$

Cho $a>0,b>0$ và $a+b=2$. CM $ab(a^2+b^2)\leq 2$

Mình làm như vậy không biết có đúng không nữa

Ta có :

$ab(a^2+b^2) \le 2$

$\Longleftrightarrow 2ab(a^2+b^2) \le 4$

Theo bất đẳng thức $\text{AM-GM}$,ta co:

$2ab(a^2+b^2) \le \dfrac{(a^2+b^2+2ab)^2}{4}=\dfrac{(a+b)^4}{4}=4$

$\Longrightarrow 2ab(a^2+b^2) \le 4$

$\Longrightarrow ab(a^2+b^2) \le 2$

Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=1$

Cảm ơn bạn mình cũng có nghĩ ra một cách nhưng nó hơi dở nên mình thử đăng lên xem sao