Bài 2:

$\frac{S_{ADE}}{S_{ABC}}=\frac{AE.AD}{AB.AC}$

mà $cos^{2}\alpha =cos^{2}A=\frac{AE}{AC}.\frac{AD}{BD}$

=>đpcm

1. Chứng minh hệ thức:

a) 1+$tg^{2}\alpha = \frac{1}{cos^{2}\alpha }$

b) $cotg^{2}\alpha -cos^{2}\alpha =cotg^{2}\alpha . cos^{2}\alpha$

c) $\frac{1+cos\alpha }{sin\alpha }=\frac{sin\alpha }{1-cos\alpha }$

2. Cho tam giác nhọn ABC. 2 đường cao BD và CE. Chứng minh:

a) $S(ADE)=S(ABC).cos^{2}\alpha$

b)$S(BCDE)= S(ABC).sin^{2}\alpha$

a.$1+tg^{2}\alpha =1+\frac{c^{2}}{b^{2}}=\frac{b^{2}+c^{2}}{b^{2}}=\frac{a^{2}}{b^{2}}$

Mà $\frac{1}{cos^{2}\alpha }=1:\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{a^{2}}{b^{2}}$ ( theo pi-ta-go) => đpcm

b, c CMtt

Tính tổng các nghiệm của phương trình $(\sqrt{x+1}-1)(\sqrt{x+2}-2)(\sqrt{x+3}-3)...(\sqrt{x+100}-100)=0$

ta có:

$\sqrt{x+n}=n\Rightarrow x=n^{2}-n=(n-1).n$

Thay n lần lượt từ 1 đến 100

=> Tổng các nghiệm P = $0.1+1.2+2.3+...+99.100$

$\Leftrightarrow 3P=1.2.3+2.3.(4-1)+...+99.100.(101-98)=99.100.101=999900$

A =$1!(2-1)+2!(3-1)+3!(4-1)+...+n!(\left [n+1)-1 \right ]$

   =2!-1!+3!-2!+...+(n+1)!-n!

   =$(n+1)!-1$

a,Gọi M là trung điểm OB =>$EM=OM=MB=\frac{1}{2}OB$

Mà EF=$\frac{1}{4}AC=>EF=\frac{1}{2}BO$ => OM = ME = EF.

Tứ giác MOFE là hình thoi => tam giác OFE đều => OK = $\frac{1}{2}$ BO => góc OBC = $30^{\circ}$ 

=> góc ABC = $60^{\circ}$

b, tg tự

a.Gọi số cạnh đa giác là n. Theo công thức ta có:

$\frac{n(n-3)}{2}=2n$

$\Leftrightarrow n^{2}-7n=0\Leftrightarrow n=7$

Cho x, y thỏa mãn 2 điều kiện:

$x< y+2$ và $x^{4}+y^{4}-(x^{2}+y^{2})(xy+3x-3y)=2(x^{3}-y^{3}-3x^{2}-3y^{2})$

Tính P = $x^{2013}+y^{2014}$

cho x và y là hai số nguyên dương thoả mãn :

$56\leq x+y\leq 59 và 0,9< \frac{x}{y}< 0,91$

Tính giá trị của L = $y^{2}-x^{2}$

cam on pan da giai giup minh!! Đúng là bài toán này khá đơn giản đối với pan nhưng đối với mình nhất thời không suy nghĩ ra mong pan thong cảm với khả năng của mình -.-

nhưng mà tiêu đề ko đặt như vậy mà bạn

2 tam giác HBA và HAC đồng dạng

=>$\frac{BA}{CA}=\frac{HB}{HC}=\frac{5}{4}$

$\Leftrightarrow \frac{HB}{5}=\frac{HC}{4}=\frac{BC}{9}=\frac{82}{9}$

=>$HB=\frac{410}{9}$

A = $2(x+y+z)+\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}-\frac{x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2}}{xyz}$

   =$2(x+y+z)+\frac{x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2}}{xyz}-\frac{x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2}}{xyz}=2(x+y+z)=4026$

biến đổi ta đc:

$a+b+c=\frac{ab+bc}{2}=\frac{bc+ca}{3}=\frac{ca+cb}{4}=\frac{2(ab+bc+ca)}{9}=\frac{bc}{2,5}=\frac{ab}{0,5}=\frac{ac}{1,5}$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{b}{2,5}=\frac{a}{1,5}\Rightarrow a=\frac{3}{5}b\\ \frac{c}{1,5}=\frac{b}{0,5}\Rightarrow c=3b \end{matrix}\right.$

Ta có:

$\frac{2}{a}+\frac{2}{b+c}=1\Leftrightarrow \frac{2}{\frac{3}{5}b}+\frac{2}{4b}=1$

Đến đây giải tìm a, b, c => ...

Sao lại biến đổi được như vậy.

Quy đồng rồi rút a + b + c ra thôi bạn

Cho 3 số x, y, z thỏa mãn $x+y+z=3$ và $x^{4}+y^{4}+z^{4}=3xyz$. Tính giá trị biểu thức:

$K=x^{2014}+y^{2014}+z^{2014}$

các số thực a,b,c,d thỏa mãn

$\frac{a}{b+c+d}+\frac{b}{c+d+a}+\frac{c}{a+b+d}+\frac{d}{a+b+c}=1$ (*)

tính $\frac{a^2}{b+c+d}+\frac{b^2}{c+d+a}+\frac{c^2}{a+b+d}+\frac{d^2}{a+b+c}$

thank nhé       

Nhân 2 vế của (*) với $a+b+c+d$ ta có:

$(a+b+c+d).(\sum \frac{a}{b+c+d})=a+b+c+d$

$\Leftrightarrow \sum \frac{a^{2}}{b+c+d}+a+b+c+d=a+b+c+d$ $\Leftrightarrow \sum \frac{a^{2}}{b+c+d}=0$

Tìm $x,y,z\epsilon \mathbb{Z}^{+}$ thỏa mãn $x^3-y^3=z^2$ trong đó $\left ( y,z \right )=1,\left ( z,3 \right )=1$ và $y$ là số nguyên tố

gt =>$(x-y)(x^{2}+xy+y^{2})=z^{2}$

Đặt $(x-y,x^{2}+xy+y^{2})=1$ =>$\left\{\begin{matrix} x^{2}+xy+y^{2}\vdots d\\ x^{2}-2xy+y^{2}\vdots d \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow 3xy \vdots  d$. Mà ( y, z ) = 1 => $x \vdots  d$, mà $x-y \vdots  d$ => y $\vdots$ d => d = 1 ( vì y nguyên tố )

2 số nguyên tố cùng nhau có tích à SCP khi mỗi số là SCP. Đặt $x^{2}+xy+y^{2}=t^{2}\Leftrightarrow (2x+y)^{2}+3y^{2}=(2t)^{2}\Leftrightarrow (2x+y+2t)(2t-2x-y)=3y^{2}$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2t+2x+y=3y^{2}\\ 2t-2x-y=1 \end{matrix}\right.$ hoặc $ \left\{\begin{matrix} 2t+2x+y=3y\\ 2t-2x-y=y \end{matrix}\right.$ hoặc $ \left\{\begin{matrix} 2t+2x+y=y^{2}\\ 2t-2x-y=3 \end{matrix}\right.$

Giải các hệ tìm nghiệm

Chỗ này chưa hợp lý. vì có thể 2 trường hợp cơ mà 

để ý là $(x-y)(x^{2}+xy+y^{2})=z^{2}$ nên $z^{2}$$\vdots$d. Mà ( z ; 3 ) = 1 và ( y; z ) = 1 => x chia hết cho d

Tìm $x,y$ thoả mãn: 

$$x^3+y^3=x^4+y^4=1$$

$x^{3}(x-1)+y^{3}(y-1)=0$

Vì  x^4+y^4=1 =>$-1\leq x,y\leq 1$

=>$x-1\leq 0;y-1\leq 0 =>$x^{3}(x-1)\leq 0;y^{3}(y-1)\leq 0$

=>$x^{3}(x-1)+y^{3}(y-1)\leq 0$

Dấu "=' xảy ra khi  x = 0; y = 1 hoặc x = 1; y = 0

Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ sao cho tồn tại các số nguyên dương $n,x,y$ thỏa mãn:

         $p^{n}=x^{3}+y^{3}$

https://www.google.c....65788261,d.dGc

Cho $x,y>0,x+y=(x-y)\sqrt{xy}$. Tìm $min:Q=x+y$

nếu x < y thì Q có thể âm à ?

Cho 3 số thực dương x, y, z thỏa mãn $x+y+z=2014$

Chứng minh rằng T = $\frac{x^{4}+y^{4}}{x^{3}+y^{3}}+\frac{y^{4}+z^{4}}{y^{3}+z^{3}}+\frac{z^{4}+x^{4}}{z^{3}+x^{3}}\geq 2014$

Cho a, b, c là các số tự nhiên đôi một phân biệt thỏa mãn :

$a^{2} + d^{2} = b^{2} + c^{2} = P$

chứng minh rằng : 

1. P là hợp số

2. ab + cd và ac + bd không thể đồng thời là số nguyên tố

$Tìm  số  tự  nhiên  n  để  số  sau  là  số  chính  phương :                                                                   A = 13n + 3$

Một số gồm 4 chữ số , viết theo thứ tự ngược lại không đổi và chia hết cho 5. Hỏi số đó có thể là một số chính phương hay không ?

Cho x, y, z là các số không âm thỏa mãn $x+y+z=\frac{3}{2}$. Tìm Min

S = $x^{3}+y^{3}+z^{3}+x^{2}y^{2}z^{2}$