$\sqrt{2x^{2}+x+6}-2x=\frac{6}{x}-\sqrt{x^{2}+x+3}$

Bạn kiểm tra lại nhé, dấu bằng đó đúng rồi đây, nhớ là có 1 số bằng 0 còn 2 số còn lại bằng nhau và phải dương

ờ nếu mà hai số kia mà bằng nhau thì là đúng

cho $\left\{\begin{matrix} x,y,z>0 & & \\ x+y+z=1& & \end{matrix}\right.$

tìm min

$B=\frac{x^{3}(y+z)}{yz}+\frac{y^{3}(x+z)}{xz}+\frac{z^{3}(x+y)}{yx}$

 

Giả sử $ c$= Min{$a,b,c$} khi đó ta có:

$ b^2-bc+c^2=b^2-b(b-c)  \leq b^2$

$c^2-ca+a^2 \leq a^2$

Suy ra:

$\sqrt{\frac{a^{2}}{b^{2}-bc+c^{2}}}+\sqrt{\frac{b^{2}}{c^{2}-ca+a^{2}}}+\sqrt{\frac{c^{2}}{a^{2}-ab+b^{2}}}\geq \sqrt{ \frac{a^2}{b^2}} + \sqrt{ \frac{b^2}{a^2}} \geq 2$

dấu bằng xảy ra khi $(a,b,c)=(t,t,0), t>0$ và các hoán vị

 

hình như điều kiện dấu bằng của bạn xảy ra sai,với mọi t lớn hơn 0 hình như không bằng 2

có bạn nào lam dk bài 22 không,giúp vs

đề bài 26 hình như là cho x,y,z không âm và (z+x)(z+y)=1,chứng minh $\frac{1}{(x-y)^{2}}+\frac{1}{(y-z)^{2}}+\frac{1}{(z-x)^{2}}\geq 4$ phải ko?

mình vừa sửa lại đề,bạn xem lại nhé

Hizzz, e nói câu đó trước khi a sửa mẫu thành hiệu bình phương mà

cho a,b,c >0 chứng minh rằng

$1<\sqrt{\frac{a}{a+b}}+\sqrt{\frac{b}{b+c}}+\sqrt{\frac{c}{c+a}}\leq \frac{\sqrt{3}}{2}$

Hình như nó phải là $\frac{1}{(x-y)^2}$ chứ sao lại là \frac{1}{(x+y)^2}$ 

uk, lại nhầm

cho a,b$\epsilon \mathbb{N}+$sao cho $\frac{a+1}{b}+\frac{b+1}{a}\epsilon \mathbb{N}+$

gọi d=(a,b) chứng minh rằng $d\leq \sqrt{a+b}$

Bìa 2 sai để rồi a ạ

sai chỗ nào vậy bạn

Bài 26 bạn có chắc là đúng đề bài không

sorry nhe,minh nhầm đề

mà nhờ bạn giải giúp bài này với 

cho$\left\{\begin{matrix} a,b,c>0 & & \\ abc=1 & & \end{matrix}\right.$

chứng minh rằng :

$\frac{15}{a^{2}(a+b+c)+1}+\frac{20}{b^{2}(a+b+c)+1}+\frac{12}{c^{2}(a+b+c)+1}\geq 11$

sorry mấy mem,thiếu mũ 2 

1,cho x,y khác 0

cm:$\frac{4x^{2}y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}+\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}}\geq 3$

2,cho x,y,z một đôi khác nhau thỏa mãn$(x+z)(y+z)= 1$

CMR

             $\frac{1}{(x-y)^{2}}+\frac{1}{(x+z)^{2}}+\frac{1}{(y+z)^{2}}\geq 4$

1,cho $\left\{\begin{matrix} x,y>0 & & \\ x^{2}+y^{2}=1& & \end{matrix}\right.$

tìm min:

$A=(1+x)(1+\frac{1}{y})+(1+y)(1+\frac{1}{x})$

2,cho a,b>0/ab=1 

tìm min A=$(a+b+1)(a^{2}+b^{2})+\frac{4}{a+b}$

,cho x thuộc [0;1]

tìm max A=$13\sqrt{x^{2}-x^{4}}+9\sqrt{x^{2}+x^{4}}$

-cho x,y,$\epsilon \mathbb{R}$ thỏa mãn $x^{2}+y^{2}-2x+4y-1= 0$

tìm max min:

1,A=$x+2y+2$

2,B=$3x-4y-1$

3,C$\left | x+2y+1 \right |$

-cho x,y,z$\epsilon \mathbb{R}$ saocho $x^{2}+y^{2}+(z-2)^{2}= 9$

tìmmax

1,A=$2x+2y-3z+1$

2,B=$x-y+5z-2$

cho a,b,c>0 và a+b+c=3 .chứng minh rằng:

$\frac{a}{b^{2}+1}+\frac{b}{c^{2}+1}+\frac{c}{a^{2}+1}\geq \frac{3}{2}$

Bài 1: Ta có:

$$2^2+4x=19-3y^2$$

$$\Leftrightarrow x=\dfrac{15-3y^2}{4}=\dfrac{16-4y^2+y^2-1}{4}=4-y^2+\dfrac{y^2-1}{4}$$

Mà $x\in \mathbb{Z}$ nên $y^2-1\ \vdots\ 4$ hay $y^2=4k+1$ $(k\in \mathbb{Z})$

 

Do đó $y=2m+1$ $(m\in \mathbb{Z})$ $($Vì nếu $y\ \vdots\ 2$ thì $y^2\ \vdots\ 4,$ vô lý$)$

 

Từ đó ta có: 

 

$$x=\dfrac{15-3(2m+1)^2}{4}=-3m^2-3m+3$$

Kết luận: $$\boxed{(x\ ;\ y)=(-3m^2-3m+3\ ;\ 2m+1)}\ \ \ \ \ \ \ \ (m\in \mathbb{Z})$$

 

 

Bài 2: Xét 2 trường hợp:

 

Trường hợp 1: $-2\leq x\leq 1$

 

Xét từng giá trị của $x$ ta được $(x\ ;\ y)=(-2\ ;\ 3)\ ;\ (1\ ;\ 3)$

 

Trường hợp 2: $x\leq -3$ hoặc $x\geq 2$

 

Dễ dàng chứng minh được $$(x^2+x)^2<x^{4}+2x^{3}+2x^{2}+x+3=y^2<(x^2+x+1)^2$$

(Bằng biến đổi tương đương)

 

Mà $(x^2+x)^2$ và $(x^2+x+1)^2$ là hai số chính phương liên tiếp nên phương trình vô nghiệm.

 

Kết luận: $$\boxed{(x\ ;\ y)=(-2\ ;\ 3)\ ;\ (1\ ;\ 3)}$$

 

 

Bài 3: Ta có:

$$x+y+z+4= 2\sqrt{x-2}+4\sqrt{y-3}+6\sqrt{z-5}$$

$$\Leftrightarrow \left ( \sqrt{x-2}-1 \right )^2+\left ( \sqrt{y-3}-2 \right )^2+\left ( \sqrt{z-5}-3 \right )^2=0$$

$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \sqrt{x-2}=1\\ \\ \sqrt{y-3}=2\\ \\ \sqrt{z-5}=3 \end{matrix}\right.$$

$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=3\\ \\ y=7\\ \\ z=14 \end{matrix}\right.$$

Kết luận: $$\boxed{(x\ ;\ y\ ;\ z)=(3\ ;\ 7\ ;\ 14)}$$

 

 

Bài 4: (Không chắc lắm )

Ta có:

$$9x-12.\sqrt{x}-2\sqrt7y+y^2+11=0$$

$$\Leftrightarrow \left (9x+y^2+11 \right )^2=\left ( 12.\sqrt{x}+2\sqrt7y \right )^2$$

$$\Leftrightarrow \left (9x+y^2+11 \right )^2=144x+48y.\sqrt{7x}+28y^2$$

$$\Leftrightarrow \left (9x+y^2+11 \right )^2-144x+-28y^2=48y.\sqrt{7x}$$

Vì $\left (9x+y^2+11 \right )^2-144x+-28y^2\in \mathbb{Z}$ nên $48y.\sqrt{7x}\in \mathbb{Z}$ hay $\sqrt{7x}\in \mathbb{Z}$

 

Suy ra $7x$ là số chính phương $\Rightarrow x=7a^2$ $(a\in \mathbb{Z})$

 

Khi đó, phương trình đã cho trở thành

$$63a^2-12a.\sqrt7-2y.\sqrt7+y^2+11=0$$

$$\Leftrightarrow 63a^2+y^2+11=\sqrt7\left (12a+2y \right )$$

Vì $63a^2+y^2+11\in \mathbb{Z}$ nên $\sqrt7\left (12a+2y \right )\in \mathbb{Z}$

 

Mà $\sqrt7$ là số vô tỷ nên $12a+2y=0$ hay $63a^2+y^2+11=0$ $($Vô lý vì $63a^2+y^2+11\geq 11\ \forall\ a,\ y)$

 

Vậy phương trình vô nghiệm.

(bài 4)bài này nếu x,y $\epsilon \mathbb{R}$ thì x=1/9 và y=$-\sqrt{7}$ pải k bạn

nhờ mọi người giải giúp mấy bài pt nghiệm nguyên này:

1,$2^{2}+4x= 19-3y^{2}$

2,$x^{4}+2x^{3}+2x^{2}+x+3=y^{2}$

3,$x+y+z+4= 2\sqrt{x-2}+4\sqrt{y-3}+6\sqrt{z-5}$

4,$9x-12\sqrt{x}-2\sqrt{7}y+y^{2}+11= 0$

 

• Với $xy<0$ ta thấy $A<0$
• Với $xy>0$ ta thấy $A>0$ nên ta chỉ xét $xy>0$

Do $x\geq xy+1\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x>0\\ y>0 \end{matrix}\right.$

Ta có $x\geq xy+1\Leftrightarrow y+\frac{1}{x}\leq 1$

Theo bất đẳng thức AM-GM thì $1\geq y+\frac{1}{x}\geq 2\sqrt{\frac{y}{x}}\Rightarrow \frac{x}{y}\geq 4$

Mặt khác $\frac{3}{A}=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{x}{16y}+\frac{y}{x}+\frac{15x}{16y}\geq \frac{1}{4}+\frac{15}{4}=4$

Vậy $A\leq \frac{4}{3}$

 

 

• Với $xy<0$ ta thấy $A<0$
• Với $xy>0$ ta thấy $A>0$ nên ta chỉ xét $xy>0$

Do $x\geq xy+1\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x>0\\ y>0 \end{matrix}\right.$

Ta có $x\geq xy+1\Leftrightarrow y+\frac{1}{x}\leq 1$

Theo bất đẳng thức AM-GM thì $1\geq y+\frac{1}{x}\geq 2\sqrt{\frac{y}{x}}\Rightarrow \frac{x}{y}\geq 4$

Mặt khác $\frac{3}{A}=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{x}{16y}+\frac{y}{x}+\frac{15x}{16y}\geq \frac{1}{4}+\frac{15}{4}=4$

Vậy $A\leq \frac{4}{3}$

 

$A\leq \frac{3}{4}$ chứ nhỉ? mà $\frac{y}{x}$ bỏ đi luôn sao bạn,như vậy đã chặt chẽ chưa???

còn bài 22 với 26 các bạn có ý tưởng j k.Mà sao các bạn giỏi bđt nhỉ,mình thì mù mờ về vấn đề này lắm

các bạn giải giúp mấy bài bất đẳng thức này,giúp hết sức nhé:

19,cho a,b,c>0/a+b+c=6

chứng minh$\frac{b+c+5}{1+a}+\frac{a+c+4}{2+b}+\frac{a+b+c+3}{3+c}\geq 6$

20,Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác,chứng minh:

$\frac{4a}{b+c-a}+\frac{9b}{a+c-b}+\frac{16c}{a+b-c}\geq 26$

21,cho x,y,z>0/x+y+z=1

chứng minh

$\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+xz}+\sqrt{z+xy}\geq 1+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}$

22,cho a,b,c$\geq 0$và không có hai số nào cùng bằng 0

chứng minh:

$\sqrt{\frac{a^{2}}{b^{2}-bc+c^{2}}}+\sqrt{\frac{b^{2}}{c^{2}-ca+b^{2}}}+\sqrt{\frac{c^{2}}{a^{2}-ab+b^{2}}}\geq 2$

23,cho a,b,c$\geq 0$và không có hai số nào cùng bằng 0

CMR:

$\frac{1}{a^{2}+b^{2}}+\frac{1}{b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{c^{2}+a^{2}}\geq \frac{10}{(a+b+c)^{2}}$

24,cho a,b,c$\epsilon$[1;2]

CMR:$(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\leq 10$

25,cho x,y,z$> 0$$/x+y+z+xy+yz+xz=6$

CMR$x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq 3$

26,cho x,y,z$\geq 0$ đôi một khác nhau thỏa mãn:$\left ( x+z \right )\left ( y+z \right )= 1$

CMR :$\frac{1}{(x-y)^{2}}+\frac{1}{(x+z)^{2}}+\frac{1}{(y+z)^{2}}\geq 4$

27,cho $a\geq b\geq c ; x\geq y\geq z$

cmr:

1,$ax+by\geq ay+bx$

2,$ax+by+cz\geq ay+bz+cx$

28,cho a,b,c thuộc [0;1]

chứng minh rằng:$a+b^{2}+c^{3}-ab-bc-ca\leq 1$

29,cho a,b,c>0 và a+b+c=3 

CMR:$\frac{a}{b^{2}+1}+\frac{b}{c^{2}+1}+\frac{c}{a^{2}+1}\geq \frac{3}{2}$

                                                         THANKS GUYS!!!

ai làm giúp bài này với

cho m,n,p $\epsilon \mathbb{Z}$ sao cho $n^{2}+np+p^{2}=1-\frac{3m^{2}}{2}$

tìm min B=m+n+p