Bài này trong TH-TT số 7-2013 hay sao ế? 

Nói chung là trong số từ 5-->7 THTT 2013

Chỉ sử dụng AM- Gm đánh giá mẫu của mỗi phân thức của P 

Điều kiệu cũng sử dụng AM- Gm đánh giá thôI! 

Nói chung là khó việc sử dụng AM-GM thôi!  ---> Kiến thức lớp 8

không hiểu

Ta có : $\sum \sqrt{\frac{a+b}{c}}\geq 3\sqrt[4]{\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}}\geq 3\sqrt[4]{\frac{8abc}{abc}}=3\sqrt{2}$

mà $\sum 2\sqrt{\frac{a}{c+b}}\leq 3\sqrt{2}$

Tại sao $(a+b)(b+c)(c+a)\geq 8abc$ hả bạn?

$a=b=c=0\Rightarrow VT=0$

$a+b+c\ne 0$: $(b-1)(c-1)\geqslant 0\Leftrightarrow bc+1\geqslant b+c\Rightarrow \dfrac{a}{bc+1}\leqslant$ $ \dfrac{2a}{a+b+c}\Rightarrrow VT\leqslant 2$

Từ đây khó có thể suy ra được ngay ĐPCM.

Bởi vì tới BĐT $\frac{c}{ab+1}\leq \frac{c}{a+b}$ chẳng hạn.

Ta khi đó sẽ phải chỉ ra $\frac{c}{a+b}\leq \frac{2c}{a+b+c}$

Nhưng điều này chỉ đúng khi $\frac{c}{a+b}\leq 1 \Leftrightarrow c\leq a+b$

Từ giả thiết không thể khẳng định được điều này.

$M=1^{1+...+9}.2^{2+...+9}...k^{k+...+9}...9^9$

$=2^{44}.3^{42}.4^{39}.5^{35}.6^{30}.7^{24}.8^{17}.9^{9}$

$=2^{44+39.2+30}.3^{42+30+9.2}.5^{35}.7^{24}$

$=2^{196}.3^{90}.5^{35}.7^{24}$

Một ước chính phương của $M$ luôn có dạng $2^{2a}.3^{2b}.5^{2c}.7^{2d}$

* $0\le 2a\le 196$ $\Rightarrow 0\le a\le 98$. Chọn $a$ có $99$ cách

* $0\le 2b\le 90$ $\Rightarrow 0\le b\le 45$. Chọn $b$ có $46$ cách

* $0\le 2c\le 35$ $\Rightarrow 0\le c\le 17$. Chọn $c$ có $18$ cách

* $0\le 2d\le 24$ $\Rightarrow 0\le d\le 12$. Chọn $d$ có $13$ cách

Vậy số các ước chính phương của $M$ là $99.46.18.13=1065636$ số.

Bạn có thể giải thích rõ hơn chỗ này không?

Đây gọi là BĐT Cauchy-Schwars hay gọi là BĐT Bunhiacopxiki đc mà bạn

Tại sao?

Áp dụng bđt bunhiacopki ta có :$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y} \geq \frac{9}{x+2y}, \frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{z}\geq \frac{9}{y+2z},\frac{1}{z}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x}\geq \frac{9}{2x+z}$. Cộng theo vế các bđt cùng chiều và rút gọn suy ra  $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+|\frac{1}{z}\geq 3.\left ( \frac{1}{x+2y}+\frac{1}{y+2z}+\frac{1}{z+2x} \right )$. Dấu = xảy ra khi $x=y=z$

Đây là BĐT AM-GM nhé bạn

Tại sao $(a+b)(b+c)(c+a)\geq 8abc$ hả bạn?

à thôi, mình hiểu rồi

Mình có bài này mong các bạn giải giùm:

Chứng minh với mọi a; b; c > 0 thì

$\sqrt{\frac{a+b}{c}}+\sqrt{\frac{b+c}{a}}+\sqrt{\frac{c+a}{b}}\geq 2(\sqrt{\frac{c}{a+b}}+\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}})$

Mình đang học lớp 8 nhé. 

Thanks

Bài này có thể giải như sau
$\frac{x^{3}}{y^{3}} + \frac{x^{3}}{y^{3}} + 1 \geq 3.\frac{x^{2}}{y^{2}}$$\frac{y^{3}}{z^{3}} + \frac{y^{3}}{z^{3}} + 1 \geq 3. \frac{y^{2}}{z^{2}}$$\frac{z^{3}}{x^{3}} + \frac{z^{3}}{x^{3}} + 1 \geq 3.\frac{z^{2}}{x^{2}}$
Nên có $2. \left ( \frac{x^{^{3}}}{y^{3}} + \frac{y^{3}}{z^{3}} + \frac{z^{3}}{x^{3}}\right ) \geq 3.\left ( \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{y^{2}}{z^{2}} + \frac{z^{2}}{x^{2}}\right ) - 3$
có $3\leq \frac{x^{3}}{y^{3}} + \frac{y^{3}}{z^{3}} + \frac{z^{3}}{x^{3}}$
nên sẽ có $3. \left ( \frac{x^{3}}{y^{3}} + \frac{y^{3}}{z^{3}} + \frac{z^{3}}{x^{3}} \right ) \geq 3.\left ( \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{y^{2}}{z^{2}} + \frac{z^{2}}{x^{2}}\right )$, từ đó suy ra đpcm

Có vẻ bạn làm hơi dài thì phải

Mình có bài này mong các bạn giải giùm:

Cho x; y; z>0. Chứng minh rằng:

$\frac{x^{3}}{y^{3}}+\frac{y^{3}}{z^{3}}+\frac{z^{3}}{x^{3}}\geq \frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{z^{2}}+\frac{z^{2}}{x^{2}}$

Mình đang học lớp 8.

Thanks.

Sao không để phân số giải cho nhanh

==

lớp 8 muốn giải cái này ngồi bó tay à

cái này áp dụng cauchy hay sao ý nhỉ, để mình coi lại

Bó tay sao được. Kiến thức từ lớp 1 đến lớp 10 bạn cứ dùng tự nhiên, mình sẽ hiểu.

Hình như đề sai đó bạn, phải là "t" chứ? Sao lại là số 1 trong khi đk thì không nói gì về số 1 hết

MÌnh sửa lại đề thì làm như sau

Từ bất đẳng thức ta sẽ biến đổi tương đương:

$A+4=\frac{x+y}{t+y}+\frac{t+z}{y+z}+\frac{y+x}{z+x}+\frac{z+t}{x+t}$

Đặt B và C sao cho $B+C=?,A+B\geq ?,A+C\geq ?$

tự tìm B và C sao cho thoả mãn như vầy, giống như cách chứng minh nesbitt cho 4 số đó bạn:D

http://vn.answers.ya...28081701AARwSTz

tham khảo hướng chứng minh nesbitt rồi làm tương tự thôi

Nếu đề là t thì mình làm xong rồi.

Số 1 thì phải có đk gì nữa. Nó là số 1 rồi còn gì     

$Mình có bài này mong các bạn giải giùm:$

$Cho x;y>0.$ $Tìm max \frac{\sqrt{x-1}}{x}+\frac{\sqrt{y-2}}{y}$

Mình đang học lớp 8.

Ta có:

$\sqrt{\frac{x-1}{x}}=\sqrt{\frac{1.(x-1)}{x}}\leq \frac{\frac{1+x-1}{2}}{x}=\frac{1}2{}$

Dấu "=" xảy ra <=>$1=x-1<=> x=2$

$\frac{\sqrt{2}.\sqrt{y-2}}{y} \leq \frac{\frac{2+y-2}{2}}{y}=\frac{1}2{}$

=>$\frac{\sqrt{y-2}}{y}\leq \frac{1}{2\sqrt{2}}$

Dấu "=" xảy ra <=> $2=y-2<=> y = 4$

=>$\frac{\sqrt{x-1}}{x}+\frac{\sqrt{y-2}}{y} \leq \frac{1}2{}+\frac{1}{2\sqrt{2}}$

=> Max của $\sqrt{\frac{x-1}{x}}+ \frac{\sqrt{y-2}}{y}=\frac{1}2{}+\frac{1}{2\sqrt{2}}$

Tại $x=2,y=4$

Bạn chép sai đề mấy dòng đầu rồi nhé

Lần lượt áp dụng bất đẳng thức AM - GM cho xy + yz + xz và x + y + z dương rồi nhân lại thì ta được

$(xy + yz + xz)(x + y + z) \geq 9xyz \Leftrightarrow  xyz \leq \frac{(xy + yz + xz)(x + y + z)}{9}$

Do đó:  $S\leq \frac{x + y + z + \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}}{9(x^{2} + y^{2} + z^{2})}$ 

$\Leftrightarrow S \leq \frac{1}{9}[ \frac{(x+y+z)^{2}}{x^{2} + y^{2} + z^{2}} + \frac{x+y+z}{ \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}}]$

Mà $3(x^{2} + y^{2} + z^{2})  \geq (x+y+z)^{2} \Leftrightarrow \frac{(x+y+z)^{2}}{x^{2} + y^{2} + z^{2}} \leq 3 và \frac{x+y+z}{ \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}} \leq \sqrt{3}$

=> $S \leq \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{3}}{9}$

Dấu "=" xảy ra khi x = y = z

Bài này sáng nay thi chuyên chung lsơn.

Đáp án lại ra $\frac{\sqrt{3}+1}{3\sqrt{3}}$. Không hiểu tại sao.

Vào tối hôm qua khi mình truy cập vào diễn dàn thì bị lỗi này:

Mình đã thử dùng cả Chrome và IE nhưng đều bị lỗi tương tự. Lỗi xảy ra ở cả chế độ Windows 8 và destop.

$b+c\geq \frac{1}{2}\left ( \sqrt{b}+\sqrt{c} \right )^2\Rightarrow \sqrt{b+c}\geq \frac{\sqrt{2}}{2}\left ( \sqrt{b}+\sqrt{c} \right )\Rightarrow \sqrt{\frac{a}{b+c}}\leq \frac{\sqrt{2}}{4}\left ( \sqrt{\frac{a}{b}}+\sqrt{\frac{a}{c}} \right )$

$\Rightarrow 2\sum \sqrt{\frac{a}{b+c}}\leq \frac{\sqrt{2}}{2}\left ( \sum \frac{\sqrt{b}+\sqrt{c}}{\sqrt{a}} \right )\leq \sum \frac{\sqrt{b+c}}{\sqrt{a}}$

Nếu mình không nhầm thì $a+b\geq \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^{2}}{4}$ chứ nhỉ.

Mình có bài này mong các bạn giải giùm:

Chứng minh với mọi a;b;c>0 thì:

$\sqrt{\frac{a+b}{c}}+\sqrt{\frac{b+c}{a}}+\sqrt{\frac{c+a}{b}}\geq 2(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}})$

Mình đang học lớp 8 nhé.

Thanks

Áp dụng  BĐT Cauchuy ngược dấu :

$\frac{a^{3}}{ab+b^{2}+a^{2}}=a-\frac{a^{2}b+b^2a}{ab+b^2+a^2}\geq a-\frac{ab(a+b)}{3ab}=a-\frac{a+b}{3}$

Cm tương tự :

....

Cách anoymouse98 gần giống như thê này thôi. Nhưng cách này ngắn gọn hơn nhiu 

Về cơ bản là giống nhau bạn ạ. Mình đang học lớp 8 nên cái Cauchy phải nói dài lắm.

Mà bạn bảo Cauchy ngược dấu nào nhỉ ?

Bạn có thể tham khảo 1 chút về đây. Nếu bạn hok lên lp 9 như mjk thì Cauchy ngược dấu là 1 phương pháp thôi   

Đâu bạn?

Mình có bài này mong các bạn giải giùm:

Bài 1: Tìm max: $\frac{3x^{2}+6x+10}{x^{2}+2x+6}$

Bài 2:Tìm min:a, $\frac{x^{2}-3x+3}{x^{2}-2x+1}$

                      b,$\frac{2x+1}{x^{2}}$

                      c,$\frac{4x^{2}-2x+1}{x^{2}}$

Thanks a lot. Mình đang học lớp 8.

@@:Chú ý cách đặt tiêu đề

$b+c\geq \frac{1}{2}\left ( \sqrt{b}+\sqrt{c} \right )^2\Rightarrow \sqrt{b+c}\geq \frac{\sqrt{2}}{2}\left ( \sqrt{b}+\sqrt{c} \right )\Rightarrow \sqrt{\frac{a}{b+c}}\leq \frac{\sqrt{2}}{4}\left ( \sqrt{\frac{a}{b}}+\sqrt{\frac{a}{c}} \right )$

$\Rightarrow 2\sum \sqrt{\frac{a}{b+c}}\leq \frac{\sqrt{2}}{2}\left ( \sum \frac{\sqrt{b}+\sqrt{c}}{\sqrt{a}} \right )\leq \sum \frac{\sqrt{b+c}}{\sqrt{a}}$

Mình không hiểu dòng cuối bạn ạ.

Hình như k đúng.$\sqrt{b}+\sqrt{c} \geq \sqrt{b+c}$

Còn $\frac{\sqrt{2}}{2}$ bạn để đâu rồi??

Mình có bài này mong các bạn giải giùm

Cho x;y;z;t >0. Tìm min của:

A = $\frac{x-1}{t+y}+\frac{1-y}{y+z}+\frac{y-z}{z+x}+\frac{z-x}{x+t}$

Mình đang học lớp 8 nhé

Thanks