Đặt $t=\sqrt{1+x^{2}}$

Khi đó ta được một phương trình bậc 2 ẩn $t$, tham số $x$: $2t^{2}-(4x-1)t+2x-1$

Phương trình có: $\Delta =(4x-1)^{2}-8(2x-1)=(4x-3)^{2}$

$\Rightarrow t=1$ hoặc $t=4x-2$

Đến đây coi như xong

Nghiệm sai rùi bạn $t=\frac{1}{2},t=2x-1$ và phải bổ sung thêm ĐK $t\geqslant 1$

+ Phương trình tương đương với

$${5(x-1)\over \sqrt{5x-1}+2}-{x-1\over\sqrt[3]{9-x}^2+2\sqrt[3]{9-x}+4}=(x-1)(2x+5)$$

suy ra $x=1$ hoặc

$${5\over \sqrt{5x-1}+2}-{1\over\sqrt[3]{9-x}^2+2\sqrt[3]{9-x}+4}=2x+5\quad (1),$$

nhưng (1) vô nghiệm do $VT<5<VP$ với mọi $x\ge\frac15$.

Tại sao VT<5 vậy bạn???

Bài 3

Giải

ĐK: $x \geq 0$

Phương trình tương đương:
$(\sqrt{x})^2 + (\sqrt{x})^3 = (\sqrt[6]{3x + 1})^2 + (\sqrt[6]{3x + 1})^3$

Đặt $a = \sqrt{x}; b = \sqrt[6]{3x +1} \, (a\geq 0, b > 0)$, ta được:
$a^2 + a^3 = b^2 + b^3 \Leftrightarrow (a - b)\left (a + b + a^2 + ab + b^2\right ) = 0 \Leftrightarrow a = b$
$\Rightarrow \sqrt{x} = \sqrt[6]{3x + 1} \Leftrightarrow x^3 = 3x + 1$

 

Đặt $x = 2\cos{\alpha}$. Phương trình nói trên có 3 nghiệm là: $x = 2\cos{\left (\dfrac{\pi}{9} \right )}$, $x = 2\cos{\left (\dfrac{5\pi}{9} \right )}$ và $x = 2\cos{\left (\dfrac{7\pi}{9} \right )}$

Do $x \geq 0$ nên $x = 2\cos{\left (\dfrac{\pi}{9} \right )}$ là nghiệm duy nhất của phương trình.

Bạn ơi Tập giá trị của x là $(0;+\infty )$, làm sao đặt $x=2cosa$ được?

1. $\sqrt[3]{x^{2}+ 4x + 3} + \sqrt[3]{4x^{2}-9x-3}=\sqrt[3]{3x^{2}-2x+2} + \sqrt[3]{2x^{2}-3x-2}$

2. $2x^{2}+3\sqrt[3]{x^{2}-9}=\frac{10}{x}$

3.$\left\{\begin{matrix} x^{2}y^{3}+y^{3}-x^{3}=x^{5}-9x^{2}-9\\ 2y^{2}+4y=x-x^{2} \end{matrix}\right.$

4.$3x^{4}-4x^{3}=1-\sqrt{(1+x^{2})^{3}}$

Giúp mình nhé

Bài 3:

Hệ pt tương đương với:

$\left\{\begin{matrix} (x^{2}+1)(y^{3}-x^{3}+9)=0(1)\\ 2y(y+2)=-x(x-1)(2) \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y^{3}+8=x^{3}-1\\ 6y(y+2)=-3x(x-1) \end{matrix}\right.$

Cộng vế với vế ta được $(y+2)^{3}=(x-1)^{3}\Leftrightarrow x=y+3$

Thay vào (2) ta được $3y^{2}+9y+6=0\Leftrightarrow [\begin{matrix} y=-1\\ y=-2 \end{matrix}$

Vậy hệ có 2 nghiệm (1;-2) và (2;-1)

pt $\Leftrightarrow \frac{9x-3}{\sqrt{4x^2+5x+1}+2\sqrt{x^2-x+1}}=9x-3$

 

    $\Leftrightarrow 9x-3=0$

   

  $\Leftrightarrow x=\frac{1}{3}$ (Thỏa diều kiện)

 

(Do $\frac{1}{\sqrt{4x^2+5x+1}+2\sqrt{x^2-x+1}}\leq \frac{1}{2.\sqrt{\frac{3}{4}}}<1$)

 

Vậy $x=\frac{1}{3}$ 

Bạn giải thích rõ hơn dùm mình với $\frac{1}{\sqrt{4x^2+5x+1}+2\sqrt{x^2-x+1}}\leq \frac{1}{2.\sqrt{\frac{3}{4}}}$

Bình phương 2 vế phương trình thứ nhất được: $((a^2-b^2)^2+4a^2b^2)a^2b^2=100$

Tìm $u=a^2-b^2,v=a^2b^2$,suy ra $a,b$,suy ra $x$ 

Vậy thì ngay lúc đầu ta bình phương hai vế luôn đi!!!

 

Ngày 1:

 

Bài 1. (4 điểm ) Giải phương trình $\tan^23x+2\tan3x.\tan4x-1=0\\$ 

 

Bài 2. (4 điểm) Cho dãy số $(u_n)$ thỏa mãn $u_1=\frac{1}{2}$, $u_{n+1}=u^2_n-u_n$ với mọi $n \in \mathbb{N^*}$. Chứng minh dãy có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó. 

 

Bài 3. (4 điểm) Tìm tất cả các số tự nhiên $n$ sao cho $3^n+5$ là số chính phương.

 

Bài 4. (4 điểm) Cho tam giác nhọn $ABC$ có trực tâm $H$. Trên các đoạn $HB,HC$ lần lượt lấy 2 điểm $B_1, C_1$ sao cho $\widehat{AB_1C}=\widehat{AC_1B}=90$ độ. Chứng minh $AB_1=AC_1$. 

 

Bài 5. (4 điểm) Cho số nguyên $n>1$. Có tất cả bao nhiêu dãy số $(x_1,x_2,...,x_n)$ với $x_i \in \{a,b,c\}, i=1,2,...,n$ thỏa $x_1=x_n=a$ và $x_i$ khác $x_{i+1}$ khi $i=1,2,...,n-1$.   

 

Bài 2. (4 điểm) Cho dãy số $(u_n)$ thỏa mãn $u_1=\frac{1}{2}$, $u_{n+1}=u^2_n-u_n$ với mọi $n \in \mathbb{N^*}$. Chứng minh dãy có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

Giải

Ta có: $u_{1}=\frac{1}{2};u_{2}=-\frac{1}{4};u_{3}=\frac{5}{16};...$

Đặt hàm số $f(x)=x^{2}-x\Rightarrow f'(x)=2x-1\leqslant 0\Leftrightarrow x\leqslant \frac{1}{2}$

Ta có $u_{1}>u_{3}\Rightarrow f(u_{1})f(u_{4})\Rightarrow u_{3}>u_{5}\Rightarrow ...$(u_{3})\rightarrow>

Từ đây suy ra:

$\left\{\begin{matrix} u_{1}>u_{3}>u_{5}>...>u_{2k+1}\\ u_{2}<u_{4}<u_{6}<...<u_{2k}

\end{matrix}\right.$

Nhẩm thấy $x=\frac{-1}{2}$ là nghiệm

Nhân liên hợp: $PT\Leftrightarrow 2x+1+x(\sqrt{x^{2}+2}-\sqrt{x^{2}+2x+3})+(2x+1)\sqrt{x^{2}+2x+3}=0\Leftrightarrow 2x+1-\frac{x(2x+1)}{\sqrt{x^{2}+2}+\sqrt{x^{2}+2x+3}}+(2x+1)\sqrt{x^{2}+2x+3}=0\Leftrightarrow (2x+1)(1-\frac{x}{\sqrt{x^{2}+2}+\sqrt{x^{2}+2x+3}}+\sqrt{x^{2}+2x+3})=0$
Đến đây là ok

Còn phần sau làm sao hả bạn??? $(1-\frac{x}{\sqrt{x^{2}+2}+\sqrt{x^{2}+2x+3}}+\sqrt{x^{2}+2x+3})=0$

Bạn có thể hiểu như thế này:

$y_1=x+2\sqrt{3x}=x+2\sqrt{y_n}=x+2\sqrt{x+2\sqrt{y_{n-1}}}=...=x+2\sqrt{x+2\sqrt{x+....2\sqrt{3x}}}=x+2x=3x$

Mình vẫn chưa hiểu $y_{n}=3x$ bạn oi!!!

Nhẩm thấy $x=\frac{-1}{2}$ là nghiệm

Nhân liên hợp: $PT\Leftrightarrow 2x+1+x(\sqrt{x^{2}+2}-\sqrt{x^{2}+2x+3})+(2x+1)\sqrt{x^{2}+2x+3}=0\Leftrightarrow 2x+1-\frac{x(2x+1)}{\sqrt{x^{2}+2}+\sqrt{x^{2}+2x+3}}+(2x+1)\sqrt{x^{2}+2x+3}=0\Leftrightarrow (2x+1)(1-\frac{x}{\sqrt{x^{2}+2}+\sqrt{x^{2}+2x+3}}+\sqrt{x^{2}+2x+3})=0$
Đến đây là ok

Phương trình đã cho tương đương với:

$x+x\sqrt{x^{2}+2}=-(x+1)-(x+1)\sqrt{[-(x+1)^{2}]+2}$

Xét hàm số $f(t)=t+t\sqrt{t^{2}+2}\Rightarrow f'(t)=1+\sqrt{t^{2}+2}+\frac{t^{2}}{\sqrt{t^{2}+2}}>0,\forall t\epsilon R$

$\Rightarrow x=-(x+1)\Leftrightarrow x=-\frac{1}{2}$

Khảo sát sự biến thiên của các hàm số sau:

        a,$y=\frac{2x+1}{3x-1}$

        b,$y=x^{3}+3x^{2}+7x+1$

        c,căn bậc hai của -5x²+2x+3

 

 

sr cả nhà nha. tớ hk tìm thấy dấu căn thức ở đâu cả

Bạn phải ghi rõ đề bài là được sử dụng đạo hàm hay không chứ!!!

Bạn ơi giải thích giúp mình với $y_{1}=y_{2}=...=y_{n}$

 

Đặt $y_1=x+2\sqrt{3x}$

$\sqrt{x+2\sqrt{x+2\sqrt{x+...+2\sqrt{x+2\sqrt{3x}}}}}=x\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}y_1=x+2\sqrt{3x}\\y_2=x+2\sqrt{y_1}\\...\\y_{n-1}=x+2\sqrt{y_{n-2}}\\y_n=x+2\sqrt{y_{n-1}}=3x \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left \{\begin{matrix}y_1=y_2=...=y_{n-1}=y_n=3x \\3x=x+2\sqrt{3x}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{matrix}x=0\\ x=3\end{matrix}\right.$

Theo mình nghĩ, bạn phải thêm điều này cho dễ hiểu

$\sqrt{y_{n}}=x$

sao lại ko ổn bạn bạn có thể nói kĩ hơn đc ko ?

Đề bài cho pt đầu của hệ là $2x^{2}+x-\frac{1}{y}=2$

sau đó bạn biến đổi tương đương thành $x(x+2)-\frac{1}{y}=2$

Có phải không ổn không bạn???

còn $x^{2}-xy+2y^{2}=0$ thì sao bạn?

Đặt $y_1=x+2\sqrt{3x}$

$\sqrt{x+2\sqrt{x+2\sqrt{x+...+2\sqrt{x+2\sqrt{3x}}}}}=x\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}y_1=x+2\sqrt{3x}\\y_2=x+2\sqrt{y_1}\\...\\y_{n-1}=x+2\sqrt{y_{n-2}}\\y_n=x+2\sqrt{y_{n-1}}=3x \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left \{\begin{matrix}y_1=y_2=...=y_{n-1}=y_n=3x \\3x=x+2\sqrt{3x}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{matrix}x=0\\ x=3\end{matrix}\right.$

Bạn ơi giải thích giúp mình với $y_{1}=y_{2}=...=y_{n}$

$ \left\{\begin{matrix} x(x+2) - \frac{1}{y} = 2 & \\ -y^2(x+2) + y = -2& \end{matrix}\right.$
Xét thấy x=0 và y= 0 không là nghiệm của hệ nên ta nhân pt (1) cho $y^2$ và pt(2) cho x, ta được:

Hệ $ \left\{\begin{matrix} xy^2(x+2) - y = 2y^2 & \\ -y^2x(x+2) + xy = -2x& \end{matrix}\right.$

Cộng 2 pt cho nhau ta được:

$ xy-y = 2y^2-2x$

$ (x-y)(y+2)=0$
.....
$ S = {(1;1) ; (-1;-1)} $

Hình như có chỗ này không ổn $ \left\{\begin{matrix} x(x+2) - \frac{1}{y} = 2 & \\ -y^2(x+2) + y = -2& \end{matrix}\right.$

Mình vẫn chưa hiểu $y_{n}=3x$

Đặt $a=\sqrt{x-1},b=\sqrt{x-4}$

Suy ra hệ $\left\{\begin{matrix} (a^2+b^2)ab=10\\a^2-b^2=3 \end{matrix}\right.$

Rồi làm sao nữa hả bạn???

Cái này dùng mẹo thôi bài thi làm vậy là được.

Bạn dùng chế độ SHIFT+SOLVE bấm thử pt xem nó có nghiệm ko?

Kết quả ra vô nghiệm ,sau đó bạn bấm thử tất cả các giá trị $x\geq \frac{-3}{2}$ thì thấy đều <0

Vậy là đủ để cm nó vô nghiệm.

ĐK:$x\geq \frac{-3}{2}$

Bấm máy tính nhẩm ra nghiệm $x=3$

Ta biến đổi như sau

$<=>\frac{1}{4}x\sqrt{2x+3}+\frac{5}{4}\sqrt{2x+3}=x^{2}+x-6$

$<=>\frac{1}{4}x(\sqrt{2x+3}-3)+\frac{3}{4}x+\frac{5}{4}(\sqrt{2x+3}-3)+\frac{15}{4}=x^{2}+x-6$

$<=>\frac{1}{4}x\left ( \frac{2x-6}{\sqrt{2x+3}+3} \right )+\frac{5}{4}\left ( \frac{2x-6}{\sqrt{2x+3}+3} \right )-x^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{39}{4}=0$

$<=>\left ( 2x-6 \right )\left ( \frac{1}{4}.\frac{x}{\sqrt{2x+3}+3}+\frac{5}{4}.\frac{1}{\sqrt{2x+3}+3} \right )-(x-3)(x+\frac{13}{4})=0$

$<=>\left ( x-3 \right )\left ( \frac{x}{2\sqrt{2x+3}+6}+\frac{5}{2\sqrt{2x+3}+6}-x-\frac{13}{4} \right )=0$

$<=>x=3 vs g(x)=0$

Với $x\geq \frac{-3}{2} thì g(x) luôn < 0$ 

Kết luận.pt có nghiệm duy nhất $x=3$

Giải thích một chút ở chỗ g(x)=$\left ( \frac{x}{2\sqrt{2x+3}+6}+\frac{5}{2\sqrt{2x+3}+6}-x-\frac{13}{4} \right )$<0 đi bạn!!!

mình thử làm câu 2, nhờ mọi người xét giùm

$\left\{\begin{matrix} x^{2} -2xy-6y=4& & \\ 5y^{2}-2xy=5=0& & \end{matrix}\right.$

 

 lấy (1) trừ (2) ta có:

$x^{2}=5y^{2}+6y+1$

 

thay vào (1) có:      5y^{2}-2xy=3

=> Hệ vô nghiệm

Bạn xem lại đề bài đi, hình như bị nhầm ở chỗ hệ số tự do rùi đó!

Bạn giải thích lại dùm mình: 

*) $u_{n+2}=u_{n+1}-\frac{u_{n}}{4}+\frac{7}{4}$

*) $x_{n}=-\frac{4n+7}{2^{n}}$

Xin lỗi đề ra sai $2^{2}C_{n}^{n}-2+1^{2}C_{n}^{n}-1$ xin sửa lại là $2^{2}C_{n}^{n-2}+1^{2}C_{n}^{n-1}$

Đặt $a=\sqrt{10-3x}=> a^{2}=10x-3$

pt thành:  $3\sqrt{4-3a}=-(a^{2}-4)(-2\leq a\leq 2)$

Bình phương 2 vế rồi thu gọn:

$(a-1)(a+4)(a^{2}+3a+5)=0$

$<=> a=1<=>x=3$

Bạn làm bài nào vậy???

Cho n là số tự nhiên, $n\geq 2$. Chứng minh đẳng thức sau:

$n^{2}C_{n}^{0}+(n-1)^{2}C_{n}^{1}+(n-2)^{2}C_{n}^{2}+...+2^{2}C_{n}^{n}-2+1^{2}C_{n}^{n}-1=n(n+1)2^{n-2}$