Cho (O;R), hai đường kính AB, MN. Đường thẳng BM, BN cắt tiếp tuyến tại A ở C, D. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của CA và AD.

a) CM: BM.BC = BN.BD

b) CM: tứ giác NMCD nội tiếp

c) Kẻ PI $\perp$ BQ, PI cắt BA tại H. Tính AH theo R

d) Xác định vị trí tương đối của đường kính MN và AB để diện tích tam giác QPB đạt giá trị nhỏ nhất.

 

 

Cho 3 điểm cố định A, B, C theo thứ tự nằm trên một đường thẳng. Vẽ đường tròn O đường kính BC. Cho M di chuyển trên cung BC. Qua A kẻ đường thẳng d vuông góc AC. Đường thẳng d cắt tia CM tại điểm D, tia DB cắt (O) tại E, AM cắt BD tại K.

a) Chứng minh: tứ giác ABMD và ADCE nội tiếp đường tròn

b) Chứng minh: MB là phân giác góc AME

c) Tiếp tuyến tại E của (O) cắt tia MB tại H. Chứng minh KH // AD

1. Cho A(4;-1) , B(0;-2) , C(3;-3). Cmr: AB vuông góc AC

2. Cho (d1) có phương trình y = (2k - 3)x - 3k ; (d2) có phương trình y = 2x + 5 ; (d3) có phương trình y = 5x - 3. Tìm k để d1, d2, d3 đồng qui

Cho hàm số y = $x^{2}$ có đồ thị là parabol (P) và hàm số y = x + 2 có đồ thị là đường thẳng d

a) Chứng minh rằng: (P) luôn cắt (d) tại hai điểm phân biệt A, B. Tìm toạ độ 2 giao điểm đó.

b) Xác định điểm M có hoành độ dương trên (P) sao cho M cách đều 2 điểm A và B

1.Cho hàm số y = (2m - 1)x + n - 2 (d)

a) Xác định m, n để (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ y = -$\sqrt{2}$ và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x = $\sqrt{3}$

b) Xác định m, n để (d) đi qua gốc toạ độ và vuông góc với đường thẳng 2x - 5y = 1

c) Giả sử m, n thay đổi sao cho m + n = 1. Chứng tỏ rằng (d) luôn đi qua 1 điểm cố định mà ta có thể xác định toạ độ của nó.

 

2.Cho hàm số y = (m - 2)x + n (d)

a) Tìm m và n để (d) đi qua 2 điểm A(1; -2) ; B(3; -4)

b) Tìm m và n để (d) cắt trục tung tại điểm M có tung độ y = 1 - $\sqrt{2}$ và N có hoành độ x = 2 + $\sqrt{2}$

c) Tìm m và n để (d):

1. Vuông góc với đường thẳng x -2y = 3

2. Song song vs đường thẳng có phương trình 3x + 2y = 1

3. Trùng vs đường thẳng có phương trình y - 2x + 3 = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Cho hàm số y = (m - 3)x + 1

a) Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến ? Nghịch biến ?

b) Xác định giá trị của m để đồ thị hàm số đi qua điểm A(1 ; 2)

c) Xác định giá trị của m để đồ thị hàm số đi qua điểm B(1 ; -2)

d) Vẽ đồ thị hàm số ứng với giá trị của m tìm được ở các câu b và c

 

2. Vẽ đồ thị hàm số y = x và y = 2x + 2 trên cùng một mặt phẳng toạ độ

a) Gọi A là giao điểm của hai đồ thị của hàm số nói trên, tìm toạ độ điểm A.

b) Vẽ qua điểm B(0 ; 2) một đường thẳng song song với Ox, cắt đường thằng y = x tại C. Tìm toạ độ của điểm C rồi tính diện tích tam giác ABC ( đơn vị các trục là xentimét)

 

Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB, điểm C chuyển động trên nửa đường tròn. Kẻ tia tiếp tuyến Ax vs nửa đường tròn. Đường phân giác của góc xAC cắt nửa đường tròn tại D. Nối AC cắt BD tại K, tia AD cắt BC tại E.

a) Chứng minh: tam giác BAE cân tại BA

b) Giả sử sin góc BAC =1/2 , chứng minh AK = 2CK

c) Cho AB = 10cm, góc xAC = 60 độ. Tính diện tích tam giác EDC

d) Tìm vị trí của C để diện tích tam giác EAB lớn nhất

 

 

Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB, điểm C chuyển động trên nửa đường tròn. Kẻ tia tiếp tuyến Ax vs nửa đường tròn. Đường phân giác của $\angle$xAC cắt nửa đường tròn tại D. Nối AC cắt BD tại K, tia AD cắt BC tại E.

a) Chứng minh: tam giác BAE cân tại BA

b) Giả sử sin góc BAC = $\frac{1}{2}$, chứng minh AK = 2CK

c) Cho AB = 10cm, góc xAC = 60 độ. Tính diện tích tam giác EDC

d) Tìm vị trí của C để diện tích tam giác EAB lớn nhất

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB. Gọi I là điểm cố định trên đoạn OB. Điểm C thuộc đường tròn (O;R), CA > CB. Dựng đường thẳng d vuông góc với AB tại I, d cắt BC tại E, cắt AC tại F.

a) Chứng minh các điểm A,I,C,E cùng thuộc 1 đường tròn.

b) Giả sử AC = $R\sqrt{3}$ . Tính diện tích hình quạt tròn OAC (giới hạn bởi OA, OB và cung nhỏ AC) theo R.

c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF cắt AE tại D. CHứng minh D thuộc đường tròn (O)

d) Gọi O' là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF. Chứng minh khi C chuyển động trên đường tròn (O;R) thì O' luôn thuộc một đường thẳng cố định

1. Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB. Bán kính OC vuông góc với AB. Điểm E thuộc đoạn OC. Nối AE cắt nửa đường tròn tại M. Tiếp tuyến của nửa đường tròn tại M cắt OC tại D.

a) CM: tam giác DME là tam giác cân

b) BM cắt OC tại K. CM: BM.BK ko đổi khi E chuyển động trên OC

c) Tìm vị trí của E để MA = 2MB

d) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME. CMR: khi E chuyển động trên OC thì I luôn thuộc một đường thẳng cố định.

 

2. Cho nửa đường tròn (O;R), đường kính BC và điểm A thuộc nửa đường tròn đó. Dựng về phía ngoài tam giác ABC hai nửa đường tròn: nửa đường tròn tâm I, đường kính AB; nửa đường tròn tâm K đường kính AC. Một đường thẳng d thay đổi qua A cắt nửa đường tròn (I) và (K) tương ứng tại M và N.

a) Tứ giác MNCB là hình gì ?

b) CM: AM.AN = MB.NC

c) CM: tam giác OMN là tam giác cân

d) Xác định vị trí của đường thẳng d để diện tích tứ giác BMNC lớn nhất.

1. Cho phương trình $x^{2} - mx + 2m - 3 = 0$

a) Tìm m để phương trình có nghiệm kép

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu

c) Tìm hệ thức giữa hai nghiệm của phương trình ko phụ thuộc vào m

 

2. Cho phương trình bậc hai $(m-2)x^{2}-2(m+2)x+2(m-1)=0$

a) Tìm m để phương trình có một nghiệm x = -2

b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm ko phụ thuộc vào m

c) Khi phương trình có một nghiệm x = -1 tìm giá trị của m và tìm nghiệm còn lại

1. Cho phương trình : $x^{2}$ - 2(m - 2)x + $2m^{2}$ + 3m = 0

a) Giải pt với m = -2

b) Tìm các giá trị của m để phương trình có một nghiệm x = -3

c) Tìm các giá trị của m để phương trình trên có nghiệm kép.

2. Cho phương trình $x^{2}$ - 2(m + 3)x + $m^{2}$ + 3 = 0

a) Giải pt vs m = -1 và m = 3

b) Tìm m để pt có nột nghiệm x = 4

c) Tìm m để pt có 2 nghiệm phân biệt

d) Tìm m để pt có 2 nghiệm thoả mãn điều kiện $x_{1} = x_{2}$

Cho phương trình : $3x\sqrt{x} + 2x + m\sqrt{x} + m + 1 = 0$

a) Giải phương trình khi m = - 1

b) Xác định m để pt có nghiệm

c) Gọi $x_{1}, x_{2}$ là 2 nghiệm của phương trình, tìm m để pt có 2 nghiệm cùng dương

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O. AD, BE và CF là các đường cao của tam giác cắt nhau tại H.

a) Chứng minh các tứ giác EHDC, BCEF là tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh EH là tia phân giác của góc DEF. Từ đó hãy chứng minh H cách đều các cạnh của tam giác DEF

c) Lấy I là trung điểm của BC, AA' là đường kính của đường tròn (O). Chứng minh các điểm  H,I,A' thẳng hàng

d) Giả sử dây BC cố định. Hãy xác định vị trí của điểm A trên cung lớn BC để (AH + BH + CH) lớn nhất.

 

Cho tam giác ABC nhọn, đường tròn tâm O, đường kính BC cắt AB, AC lần lượt tại M và N. Gọi giao điểm của BN và CM là H ; giao điểm của AH và BC là I. Qua A vẽ 2 tiếp tuyến AP và AQ của đường tròn (O) với P và Q là 2 tiếp điểm.

a) Cm: tứ giác AMHN và tứ giác BIHM nội tiếp

b) CM: AM.AB = AH.AI và $AP^{2}$ = AM.AB

c) CM: 3 điểm P, H, Q thẳng hàng.

Cho đường thằng (d): y = 2x+m+1 và pa-ra-bol (P) : y=$x^{2}$

a) Tìm m để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.

b) Khi (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt hãy tìm m để $\left | x_{1}-x_{2} \right |=3$

 

Cho đường thẳng (d): y=2x+m+1 và pa-ra-bol (P): y=$x^{2}$

a) Tìm m để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt

b) Khi (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt hãy tìm m để $\left | x_{1} -x_{2}\right |=3$

 

Cho đường tròn tâm O bán kính R và đường thẳng (d) ko có điểm chung với đường tròn. M là một điểm thuộc (d). Qua điểm M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB. Hạ OH $\perp$ (d) tại H. Nối AB cắt OH tại K, cắt OM tại I. Tia OM cắt đường tròn tại E.

a) CM: 4 điểm A, O, B, M thuộc một đường tròn

b) CM: OK.OH = OI.OM

c) CM: E là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB ( gợi ý: cm AE là phân giác góc MAB bằng cách sử dụng hai góc cùng phụ với hai góc bằng nhau)

d) Tìm vị trí của điểm M trên đường thẳng (d) để diện tích tam giác OIK có GTLN.

 

 

Cho đường tròn tâm O bán kính R và đường thẳng (d) ko có điểm chung với đường tròn. M là một điểm thuộc (d). Qua điểm M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB. Hạ OH   $\perp$ (d) tại H. Nối AB cắt OH tại K, cắt OM tại I. Tia OM cắt đường tròn tại E.

a) CM: 4 điểm A, O, B, M thuộc một đường tròn

b) CM: OK.OH = OI.OM

c) CM: E là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB ( gợi ý: cm AE là phân giác góc MAB bằng cách sử dụng hai góc cùng phụ với hai góc bằng nhau)

d) Tìm vị trí của điểm M trên đường thẳng (d) để diện tích tam giác OIK có GTLN.

 

 

 

1. Cho đường tròn tâm O bán kính 5cm, dây AB bằng 8cm.
a) Tính khoảng cách từ tâm O đến dây AB.
b) Gọi I là điểm thuộc dây AB sao cho AI = 1cm. Kẻ dây CD đi qua I và vuông góc vs AB. Chứng minh rằng CD = AB.
2. Cho đường tròn (O) có các dây AB và CD bằng nhau, các tia AB và CD cắt nhau tại điểm E nằm bên ngoài đường tròn. Gọi H và K theo thứ tự là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng:
a) EH = EK
b) EA = EC

Cho đường tròn tâm O và một điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến AMN với đường tròn (BCMN thuộc đường tròn và AM < AN). Gọi E là trung điểm dây MN và I là giao điểm của CE với đường tròn.

a) CM: AOEC cùng thuộc một đường tròn.

b) CM: góc AOC = góc BIC

 

1. Cho đường tròn tâm O đường kính AB và một điểm C trên đường tròn. Từ O kẻ một đường thẳng song song với dây AC, đường thẳng này cắt tiếp tuyến tại B của đường tròn ở điểm D.

a) Chứng minh OD là phân giác góc BOC.

b) Chứng minh CD là tiếp tuyến của đường tròn

 

2. Cho đường tròn (O) đường kính AB. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax và By. Qua 1 điểm E thuộc nửa đường tròn vẽ tiếp tuyến thứ 3 cắt Ax và By lần lượt ở C và D. Chứng minh rằng:
a) CD = AC + BD
b) Tam giác COD là tam giác vuông.

 

a) $sin^{4}x + cos^{4}x = 1 - 2sin^{2}xcos^{2}x$

b) $sin^{4}x - cos^{4}x = 1 - 2cos^{2}x$

1.Cho hàm số y = (2m - 1)x + n - 2 (d)

a) Xác định m, n để (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ y = $-\sqrt{2}$ và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x = $\sqrt{3}$

b) Xác định m, n để (d) đi qua gốc toạ độ và vuông góc với đường thẳng 2x - 5y = 1

c) Giả sử m, n thay đổi sao cho m + n = 1. Chứng tỏ rằng (d) luôn đi qua 1 điểm cố định mà ta có thể xác định toạ độ của nó.

 

2.Cho hàm số y = (m - 2)x + n (d)

a) Tìm m và n để (d) đi qua 2 điểm A(1; -2) ; B(3; -4)

b) Tìm m và n để (d) cắt trục tung tại điểm M có tung độ y = 1 - $\sqrt{2}$ và N có hoành độ x = 2 + $\sqrt{2}$

c) Tìm m và n để (d):

1. Vuông góc với đường thẳng x -2y = 3

2. Song song vs đường thẳng có phương trình 3x + 2y = 1

3. Trùng vs đường thẳng có phương trình y - 2x + 3 = 0