$ Cho    dãy    số    u_{n}    được    xác    định    bởi : $ 

$u_{n}= \frac{n+1}{2^{n+1}}\times\left ( \frac{2}{1}+ \frac{2^{2}}{2}+ \cdots + \frac{2^{n}}{n} \right )$ $\forall x\in \mathbb{N^{\ast}}$

$\displaystyle Chứng    minh    dãy    có    giới    hạn$ 

Cho $x, y, z >0$ sao cho $xyz= 3$. Chứng minh $x^{\frac{1}{x}}y^{\frac{1}{y}}z^{\frac{1}{z}} \leq 3^{\frac{xy+yz+xz}{9}}$

Có 25 quả cầu gồm hai loại đen và trắng được đặt vào hai thùng. Thùng nào có số quả cầu đen nhiều hơn thì cũng có số quả cầu trắng nhiều hơn. Lấy ngẫu hiên từ mỗi thùng ra một quả cầu. Biết rằng xác suất để hai quả cầu cùng trắng là 0,48. Tìm xác suất để có một quả cầu đen và một quả cầu trắng. 

bài 1: giải phương trình sao: với x >0

        $2x(\sqrt{x^2+1}-1)=\sqrt{3x^2+3}$

 

Bài 2: giải hệ Phương trình sau:

a, $2x^2y + 3xy =4x^2 +9y$

và $7y+6 =2x^2 +9x$

 

b, $(x-y)^2 +x +y =y^2$

    và $x^4 -4x^2y +3x^2 =-y^2$

 

các bạn thông cảm chứ viết latex cái dấu : "và" khó quá

giải gium cái

Giải: 

$1/ 2x(\sqrt{x^2+1}-1)=\sqrt{3x^2+3}(x>0)$

$\Leftrightarrow 2x=(2x-\sqrt{3})\sqrt{x^2+1}$

$\Rightarrow 4x^2= (4x^2 -4\sqrt{3}x +3)(x^2 +1)\left(x\geq \frac{\sqrt{3}}{2}\right )$

$\Rightarrow 4x^4 -4\sqrt{3}x^3 +3x^2-4\sqrt{3}x+3 =0$

$\Rightarrow x= \sqrt{3}(n)\vee x=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt[3]{2-\sqrt{3} }}-\sqrt[3]{2-\sqrt{3}}\right)(l)$

Vậy $S= \left \{ \sqrt{3} \right \}$

$2/a/  \left\{\begin{matrix}2x^2y + 3xy =4x^2 +9y(1)\\7y+6 =2x^2 +9x(2)\end{matrix}\right.$

$(2)\Leftrightarrow y =\frac{2x^2 +9x-6}{7}(3)$

Thế $(3)$ vào $(1)$, ta có: 

$(1)\Leftrightarrow 4x^4 + 24x^3 -31x^2 -99x+54=0 $

$\Leftrightarrow x= \frac{1}{2}\vee x= -2\vee x= \frac{-9\pm 3\sqrt{33}}{4}$

Thế từng cặp $(x;y)$ vào hpt đầu ta thấy thỏa.

Vậy hpt đã cho có những nghiệm $(x;y)$ là $\left(\frac{1}{2};-\frac{1}{7}\right),\left(-2;-\frac{16}{7}\right),\left(\frac{-9\pm 3\sqrt{33}}{4};3\right)$

$b/$ ta nhân pt đầu cho $x(x-2)$ rồi cộng cho pt sau ta sẽ đc $(x-y)(2x^3 -x^2 +x-y)=0$

tìm m để phương trình: $\sqrt{2x^3-x^2+2x}=x^2+mx+1$ có nghiệm

Giải: 

$\sqrt{2x^3-x^2+2x}=x^2+mx+1 (x\geq 0 )(1)$

Nhận thấy $x=0 $ ko là nghiệm của pt, ta có :  $(1)\Leftrightarrow\sqrt{2x-1 +\frac{2}{x}}-\frac{1}{2}\left( 2x-1+ \frac{2}{x}\right )=m +\frac{1}{2}(2)$

Đặt $t=\sqrt{2x-1 +\frac{2}{x}}(t\geq 0)$ $\Leftrightarrow 0 = -\frac{t^2x -2x^2 +x-2 }{x}(3) $

Để $(3)$ có nghiệm $\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}\Delta_{(3)}\geq 0 \\x_{1}, x_{2}>0 \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}t^4 +2t^2 -15 \geq 0 \\ \frac{1}{4}\left(t^2 -\sqrt{t^4 +2t^2 -15}+ 1 \right )>0\\ \frac{1}{4}\left(t^2 +\sqrt{t^4 +2t^2 -15}+ 1 \right )>0\end{matrix}\right. \Leftrightarrow t\geq \sqrt{3}(4)$ 

Ta có: 

$(2)\Leftrightarrow t- \frac{t^2}{2}= m +\frac{1}{2}$

Để thỏa $(4)$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\Delta_{t}= -2m\geq 0 \\1- \sqrt{-2m}\geq \sqrt{3}\vee 1+\sqrt{-2m}\geq \sqrt{3}\end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow m \leq \sqrt{3} -2 $ 

Vậy $m \leq \sqrt{3} -2 $ thỏa YCĐB

CMR: $\frac{C_{n}^{0}}{C_{n+2}^{1}}+\frac{C_{n}^{1}}{C_{n+3}^{2}}+...+\frac{C_{n}^{n}}{C_{2n+2}^{n+1}}=\frac{1}{2}$

xem tại đây

Cho hợp A gồm 6 nam và 5 nữ. Lấy ra 7 người từ tậ A và sắp xếp 7 người đó theo hàng ngang sao cho mỗi người nữ có đúng một người nữ đứng bên cạnh. Tính số cách sắp xếp thỏa mãn điều kiện đó.

Xem tại đây

giải pt : $\sqrt{4x+6}+2=x^{2}+\sqrt[3]{x^{3}+7x^{2}+12x+6}$

Giải: 

$D=\left[-\frac{3}{2};+\infty  \right ) $

$\Leftrightarrow\sqrt{4x+6}+2=x^{2}+\sqrt[3]{x^{3}+7x^{2}+12x+6}$

$\Leftrightarrow\sqrt{4x+6}-(x+2)=x^{2}-2 +\sqrt[3]{x^{3}+7x^{2}+12x+6}- (x+2)$

$\Leftrightarrow (x^2 -2)\left[\frac{1}{\sqrt{4x+6}+x+2}+1 + \frac{1}{ a^2+a(x+2) + (x+2)^2}\right]=0(a=\sqrt[3]{x^{3}+7x^{2}+12x+6})$

$\Leftrightarrow x= \pm\sqrt{2}\vee\frac{1}{\sqrt{4x+6}+x+2}+1 + \frac{1}{ a^2+a(x+2) + (x+2)^2}=0(!)  (a=\sqrt[3]{x^{3}+7x^{2}+12x+6})$

Vậy $S= \left \{ \pm\sqrt{2} \right \}$

Giải PT:$\frac{11}{x^{2}}-\frac{25}{\left ( x+5 \right )^{2}}= 1$

Giải : 

$\frac{11}{x^{2}}-\frac{25}{\left ( x+5 \right )^{2}}= 1$

$\Leftrightarrow x^4 +10x^3 +39x^2 -110x-275 =0 $

$\Leftrightarrow \left(x^2 -x-5  \right )\left(x^2 +11x+55 \right )=0 $

Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x^{2}-\frac{3y}{2}+\frac{y^{2}}{x^{2}} & =\frac{7x}{2y} & \\ y^{2}-\frac{3x}{2}+\frac{x^{2}}{y^{2}} & =\frac{7y}{2x} & \end{matrix}\right.$

Giải: 

$\left\{\begin{matrix} x^{2}-\frac{3y}{2}+\frac{y^{2}}{x^{2}} & =\frac{7x}{2y} (1) & \\ y^{2}-\frac{3x}{2}+\frac{x^{2}}{y^{2}} & =\frac{7y}{2x} (2) & \end{matrix}\right. (x, y \neq 0) $

$(1)- (2)\Leftrightarrow x=y \vee x+y +\frac{3}{2} - \frac{(x+y)(x^2 +y^2)}{x^2 y^2}= \frac{7(x+y)}{2xy}(3)$

$(1)+(2)\Leftrightarrow x^2 +y^2 -\frac{3}{2}(x+y) + \left(\frac{x^2}{y^2 }+ \frac{y^2 }{x^2} \right )= \frac{7}{2}\left(\frac{x^2 +y^2}{xy}\right)( 4) $

Đặt $S= x+y, P= xy ( S^2 -4P \geq 0)  $, ta có: 

$(3)\wedge (4)\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}-S^3 -\frac{3}{2}PS + P^2S+ \frac{3}{2}P^2 =0 (5) \\ S^4 - \frac{15}{2}PS^2 +P^2S^2- \frac{3}{2}P^2S +9P^2 - 2P^3 =0  (6)\end{matrix}\right.$

$S(5)+ (6)\Leftrightarrow P= \frac{9}{2}\vee P=0(L) \vee S^2 = P(L)$

$\bullet x =y, (1)\Leftrightarrow x= \frac{5}{2 }\vee x= -1$

$\bullet P = \frac{9}{2}, (5) \Leftrightarrow x= 3 \vee x =\frac{3}{2}$

Thử lại thấy thỏa. 

Vậy $\left(x,y \right )= \left(\frac{5}{2}, \frac{5}{2}\right), (-1,-1), \left(\frac{3}{2},3\right ), \left(3 ,\frac{3}{2}\right )$

p/s : ko biết có cách nào ngắn hơn ko :v 

Giúp mình bài này với ạ, phương trình 1 nhóm lại được thành nhân tử dễ dàng, nhưng thay vào pt 2 thì mình nghĩ k ra cách giải

$\left\{\begin{matrix} (x+1)^2 +y^2=2(1+\frac{1-y^2}{x}) & \\4y^2=(y^2-x^3+3x-2)(\sqrt{2-x^2}+1) & \end{matrix}\right.$

Giải : 

$\left\{\begin{matrix} (x+1)^2 +y^2=2(1+\frac{1-y^2}{x}) (1) & \\4y^2=(y^2-x^3+3x-2)(\sqrt{2-x^2}+1) (2) & \end{matrix}\right. \mathbb{D}= \left[-\sqrt{2}, \sqrt{2} \right ]$

$(1)\Leftrightarrow x^2 +y^2 =1(3) \vee x= -2(L)$

Thế $(3)$ vào $(2)$, ta có: 

$(2)\Leftrightarrow 4(1-x^2)= (-1-x^2 +3x -x^2)(\sqrt{2-x^2}+1 )$

$\Leftrightarrow x= 1 \vee x= -1(L) \vee 4( \sqrt{2-x^2})= (x-1)(-x^2 -2x+1 )(4)$

Đặt: $f(x)= 4( \sqrt{2-x^2}+1), g(x)= (x-1)( -x^2 - 2x+1 )$

Ta nhận thấy $\forall x \in \mathbb{D}, f(x)\geq 4 \wedge g(x)\leq \frac{4}{27}(5\sqrt{10}-14 )$

Vậy $(x,y) = ( 1,0) $ 

Giải phương trình sau : 

$8x^{2}-13x+7=(1+\frac{1}{x})\sqrt[3]{(x+1)(2x-1)+x^{2}-x-1}$

 

@MOD : chú ý cách đặt tiêu đề 

Tham khảo tại đây

Ai có thể giải thích hộ mình vì sao $(1+\frac{1}{n})^{-\frac{3}{2}}=1-\frac{3}{2n}$ ?

Cho mình hỏi là làm sao bạn có được đẳng thức này nhỉ ? Trang nàycó vẻ ko dồng tình lắm thì phải?  

Cho tập A = { 0,1,2,3,4,5}. Hỏi :
f) Số có 5 chữ số khác nhau và luôn có mặt 1, 2 và hai chữ số đó đứng cạnh nhau.

Giải: 

Gọi $\alpha$ là tập hợp gồm 2 và 1. 

Chấp nhận chữ số 0 đứng đầu, ta có

4 cách xếp $\alpha$, $C^{3}_{4}$ cách chọn ra 3 số còn lại và $3!$ cách để tạo ra số có 4 chữ số 

trong $\alpha$ thì có $ 2$ cách để $1$ và $2 $ hoán vị với nhau. 

tóm lại có 192 cách xếp 5 chữ số mà nhất thiết sự có mặt của $1 $ và $2$ và sự kề nhau của chúng. 

Xét chữ số $0$ đứng đầu, ta có: 

Có $3\times 2$ cách xếp $\alpha$ vào các vị trí còn lại và $C^{2}_{3}\times 2$ cách xếp các chữ số còn lại và các vị trí khác.

Có 36 cách xếp thỏa TH này. 

Vậy: có $156$ cách thỏa YCĐB.

giải phương trình:

$log_{3}\frac{2x^2+1}{x^6+x^2+1}=x^6-3x^2-log_{3}6$

Giải: 

$\log_{3}\frac{2x^2+1}{x^6+x^2+1}=x^6-3x^2-\log_{3}6$

$\Leftrightarrow \log_{3}(2x^2 + 1)- \log_{3}(x^6 +x^2 +1)=x^6+x^2+1 -2(2x^2 +1)+ \log_{3}{\frac{1}{2}}$

$\Leftrightarrow \log_{3}2(2x^2+1 )+ 2(2x^2 +1)= \log_{3}(x^6+ x^2 +1 )+ x^6 +x^2 +1$

Xét hàm số: $f(t)= \log_{3} t + t (t\geq 0)$ $\Rightarrow f'(t)= \frac{1}{t\log3}+1$ Suy ra hàm đồng biến với $t\geq 0$

$\Rightarrow x^6 + x^2 +1 = 4x^2 +2$

tới đây thì mình hết biết giải sao rồi

Cho $a, b, c \in \mathbb{R}$ sao cho $a^{2}+ b^{2} + c^{2}=65$. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn lớn nhất của hàm số $y= a + b\sqrt{2}\sin x+ c\sin{2x}$ trên $\left(0;\frac{\pi}{2} \right )$

Định $m$ sao cho $f(x)=\cos^22x+2\left(\sin x+\cos x\right)^3-3\sin2x+m\leq 36\,\,,\,\,\,\forall m\in\mathbb{R}$

Đặt: $t= \sin x + \cos x$$-\sqrt{2}\leq t \leq \sqrt{2}$

Ta có : 

$f(x)=\cos^22x+2\left(\sin x+\cos x\right)^3-3\sin2x+m\leq 36\,\,,\,\,\,\forall m\in\mathbb{R}$

$\Leftrightarrow 1- \left(t^{2}-1 \right )^2-3\left(t^{2}-1 \right )+2t^3+m-36\leq 0$

$\Leftrightarrow f\left ( t \right )=t^{4}-2t^{3}+t^2 +33-m\geq 0$

$f'\left ( t \right )= 4t^{3}-6t^{2}+2t$

$f'\left ( t \right )= 0 \Leftrightarrow t=0 \vee t= 1 \vee t= \frac{1}{2}$

$f''\left ( t \right )= 12t^2-12t +2$

$f''\left ( 0 \right )= 2 \wedge f''\left ( 1 \right )= 2$ Suy ra ĐTHS $ f\left ( t \right )$ đạt cực tiểu tại  $t= 0, t=1$ 

đề  $f\left ( t \right )$ luôn dương thì $CT \geq 0$

Thế ngược lên ta có $m \leq 33$ thì thỏa YCĐB 

p\s: phải là với mọi x đúng ko bạn

Cho hàm số $y = \frac{x^{2}+x-5}{x-2}$ có đồ thị là $\left(C \right )$. Tìm trên mỗi nhánh của $\left(C \right )$ một điểm sao cho khoảng cách giữa chúng là nhỏ nhất .

$\left ( \sqrt{x+3}-\sqrt{x-1} \right )\left ( x-3+\sqrt{x^{2}+2x-3} \right )\geq 4$

ĐK:    $x\geqslant 1$

$\left ( \sqrt{x+3}-\sqrt{x-1} \right )\left ( x-3+\sqrt{x^{2}+2x-3} \right )\geq 4$

$\Leftrightarrow x-3 +\sqrt{x^{2}+2x -3} \geq \sqrt{x+3}+\sqrt{x-1}$

Đặt $t = \sqrt{x-1}+\sqrt{x+3}$ $\Rightarrow \frac {t^{2}}{2}-x-1= \sqrt{x^{2}+2x-3}$

Từ đây ta thế t vào và thu được BPT bậc 2

tìm Min P=$\frac{(x^3+y^3)-(x^2+y^2)}{(x-1)(y-1)}$

với x,y>1

làm bài này thử  

$P= \frac{x^{2}}{y-1}+ \frac{y^{2}}{x-1}\geq \frac{\left(x+y \right )^{2}}{x+y-2}\geq 8$

cái vế sau là một HĐT, bạn nhân lên  

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow x=y=2$

Giải pt

$$2\sin 2x+(2\sqrt3-3)\sin x+(2-3\sqrt3)\cos x=6-\sqrt3.$$

Giải: 

$2\sin 2x+(2\sqrt3-3)\sin x+(2-3\sqrt3)\cos x=6-\sqrt3$

$\Rightarrow$ $(2\sqrt3-3)\sin x+(2-3\sqrt3)\cos x=6-\sqrt{3}- 2\sin 2x$

$\Rightarrow \left[\left(2\sqrt3 -3 \right )\sin{x}+(2-3\sqrt3)\cos x \right ]^{2}= \left[(6-\sqrt3)-2\sin{2x} \right ]^{2}$

Sau một hồi rút gọn, ta thu đc: 

$\Rightarrow 10\cos^{2}{x}+ 9\sqrt3\sin{2x}-4\sin^{2}{2x}= 18$ $\left(1\right)$

Nhận thấy $\cos x= 0 $ ko là nghiệm của pt trên, chia hai vế cho  $\cos^{2} x $

$\left(1 \right )\Rightarrow -24 +18\sqrt3\tan{x}+\frac{16}{\tan^{2}+1}=18\tan^{2}{x}$

Đặt $t= \tan{x}$ rồi giải pt bậc 4 theo t ta thu đc nghiệm duy nhất là $t = \frac{1}{\sqrt{3}}$ $\Rightarrow x= \frac{-5\pi}{6}+ k\pi\left(k \in \mathbb{Z} \right )$

Thế vào pt ban đầu ta thu đc nghiệm duy nhất của pt đã cho là $x= \frac{-5\pi}{6}+ k2\pi\left(k \in \mathbb{Z} \right )$

Cho dãy số $u_{n}$ biết $u_{1}=u_{2}= 1, u_{3}=2, u_{n}=\frac{u_{n-1}\times u_{n-2}+ k }{u_{n-3}}$ 

Định k để mọi số hạng của dãy số $u_{n}$ đều là số nguyên. 

giải phương trình:

$tan2x-tanx=\frac{1}{6}(sin4x+sinx)$

Ta có : 

$\tan 2x -\tan x = \frac{\sin x}{\cos 2x \times \cos x} = \frac{\sin x }{6}\times \left (4\times  \cos 2x \times \cos x + 1 \right )$

$\Rightarrow \sin x =0 \vee 6= 4\times t^{2}+ t \left(với    t    =   \cos 2x \times \cos x \right )$ 

Tới đây bạn giải pt ra ta có đáp án của bài toán

$ 2sin^{2}x + \sqrt{3}sin2x + 1 = 3(cosx + \sqrt{3}sinx)$

Giải: 

$2sin^{2}x + \sqrt{3}sin2x + 1 = 3(cosx + \sqrt{3}sinx)$

$-\cos\left(2x+\frac{\pi}{3} \right )+2 = 6\sin\left(x+\frac{\pi}{6} \right )$ $\left(1\right)$

Đặt $t = x+ \frac{\pi}{6}$

$\left(1\right) \Leftrightarrow -cos{2t}+2= 6\sin{t}$ $  \Leftrightarrow ...$

Giải phương trình:

 

$tan(x-\frac{\pi}{6}).tan(x+\frac{\pi}{3}).sin3x=sinx+sin2x$

ĐK:  $x\neq \frac{2\pi}{3}+ k\pi\wedge x\neq \frac{\pi}{6}+ k\pi$

$tan(x-\frac{\pi}{6}).tan(x+\frac{\pi}{3}).sin3x=sinx+sin2x$

$\Leftrightarrow tan(x-\frac{\pi}{6}).tan(\frac{\pi}{2}+\left( x-\frac{\pi}{6}\right ))\times 2\sin(\frac{3x}{2})\cos(\frac{3x}{2})=2\times\sin(\frac{3x}{2})\times\cos(\frac{x}{2})$

Từ đây giải ra rồi so nghiệm với đk đề bài