Đến chỗ màu đỏ này làm như này cho nhanh

$\sum \frac{2x^2}{(y+z)^2+2x^2}\geq \sum \frac{2x^2}{2(y^2+z^2)+2x^2}=\sum \frac{x^2}{x^2+y^2+z^2}=1$

Thực sự thì e không rõ lắm bđt đầu sang bđt màu đỏ ,a có thể chứng minh cụ thể dùm e không

MAX ngu bđt  

Chỗ đó chỉ là BĐT thường dùng thôi em!

$(a+b)^2 \leq 2(a^2+b^2)$

Giải Phương trình:

$ cos 2x +cos 3x- sin x-cos 4x -sin 6x=0$

Giải hệ phương trình;

$\left\{\begin{matrix} x^4+y^2+xy(1+2x)=\frac{-5}{4} & \\ x^2+y+x^3y+xy^2+xy=\frac{-5}{4} & \end{matrix}\right.$

Giờ sẽ là BĐT và Cực Trị nhé.

5) Cho $a;b;c>0$. Cmr: $\sum \sqrt{\frac{a}{b+c}}\geq 2$

Ta có:

$\sum \sqrt{\frac{a}{b+c}}=\sum \frac{a}{\sqrt{a(b+c)}}\geq \sum\frac{2a}{a+b+c}=2$

Dấu "=" xảy ra <=> $a=b=c=0$ => vô lí

Vậy

$\sum \sqrt{\frac{a}{b+c}}>2$

Bài 165:

Cho các số thực $a,b,c$ thuộc khoảng $(0;1)$ thoả mãn $abc=(1-a)(1-b)(1-c)$.

Chứng minh rằng: $a^2+b^2+c^2\geq \frac{3}{4}$

P/s: Mình thấy bài này cũng khá hay, hình như giống đề thi thử đại học năm nay của tỉnh Vĩnh Phúc thì phải. Mọi người làm thử xem sao nhé!

TT bài 13:

$\sum \frac{1}{a(a+b)}\geq \frac{9}{ a^2+b^2+c^2+ ab+bc+ca}\geq \frac{9}{2}$

Dấu"=" xảy ra<=> $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$

Mi=ọi người xem bài này có chỗ không hợp lí mà không ai phản biện à?

 

Bài 189/ cho a,b,c$\geq$ 0 và a+b+c=1.CMR $0\leq ab+cb+ca+2abc\leq \frac{7}{27}$

 

MÌnh nghĩ phải là $\frac{11}{27}$

 

Cm:áp dụng cosi

$VT\leq \frac{(a+b+c)^{2}}{3}+2\frac{(a+b+c)^{3}}{27}=\frac{11}{27}$

Dấu = là x=y=z=$\frac{1}{3}$

Nếu là $\frac{7}{27}$ thì đề bài phải là:

 Cho a,b,c$\geq$ 0 và a+b+c=1.CMR $0\leq ab+cb+ca-2abc\leq \frac{7}{27}$

Bài 168: Cho $a,b,c$ thỏa mãn:$a^2+b^2+c^2=1$.

Tìm GTLN của biểu thức: $A=(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$

Bài 169: Cho các số thực $a,b,c$. Chứng minh rằng:

$\sum \sqrt{\frac{a(b+c)}{a^2+bc}}\leq \sqrt{\sum \sqrt{a}.\sum \frac{1}{\sqrt{a}}}$

Bài 136:

Cho $a,b,c>0$ . Chứng minh rằng:

$\sum \frac{a}{\sqrt{b^2+\frac{1}{2}bc+c^2}}\geq 2$

P/s: Lâu rồi mới được post bài lên diễn đàn,mọi người cùng thảo luận nhé! Nhưng mình thấy spam hơi nhiều. Các mem chú ý nhé!       Xây dựng topic ngày càng phát triển nha!

Viet Hoang 99: Chú ý STT bài toán

 

Bài tập: Phương pháp dùng bất đẳng thức cổ điển:

2) Bất đẳng thức Cô-si đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng:

Bài tập:

<tiếp theo>
5) Cho $a\geq 2;b\geq 6;c\geq 12$. Tìm $Max S=\frac{bc\sqrt{a-2}+ca\sqrt[3]{b-6}+ab\sqrt[4]{c-12}}{abc}$

 

Ta có :

$S=\frac{\sqrt{a-2}}{a}+\frac{\sqrt[3]{b-6}}{b}+\frac{\sqrt[4]{c-12}}{c}$

Áp dụng BDT AM-GM ta có:

$\frac{\sqrt{a-2}}{a}\leq \frac{a-2+2}{2\sqrt{2}a}=\frac{1}{2\sqrt{2}}$

$\frac{\sqrt[3]{b-6}}{b}\leq \frac{b-6+3+3}{3\sqrt[3]{9}b}=\frac{1}{3\sqrt[3]{9}}$

$\frac{\sqrt[4]{c-12}}{2}\leq \frac{c-12+4+4+4}{8\sqrt{2}c}= \frac{1}{8\sqrt{2}}$

Do đó:

$S\leq \frac{1}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{3\sqrt[3]{9}}+\frac{1}{8\sqrt{2}}$

Dấu "=" xảy ra <=> $a=4, b= 9, c=16$

p/s: Các bạn thảo luận có thể sử dụng tin nhắn nhé! Để tránh spam, mình thấy topic không nhiều bài làm lắm,chỉ là thảo luận của các mem thôi.

      Chúc topic ngày càng phát triển nhé!

15) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ ab+bc+ca=1 & & \end{matrix}\right.$. Cmr:$\sum \frac{1}{a(a+b)}\geq \frac{9}{2}$

TT bài 13:

$\sum \frac{1}{a(a+b)}\geq \frac{9}{ a^2+b^2+c^2+ ab+bc+ca}\geq \frac{9}{2}$

Dấu"=" xảy ra<=> $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$

13) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ a^2+b^2+c^2=1 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\sum \frac{a^3}{b+2c}\geq \frac{1}{3}$

$\sum \frac{a^3}{(b+2c)}=\sum \frac{a^4}{ab+2ac}\geq \sum \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{3(ab+bc+ca)}\geq \frac{1}{3}$

Dấu "=" xảy ra <=> $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$

Bài 82:

$2012x^2-4x+3=2011x\sqrt{4x-3}$

Bài 83:

$3x^2+3x-3=2x\sqrt{x+4}$

Bài 84:

$2x^2+2x+1=\sqrt{4x+1}$

Bài 85:

$2x^2+4x=\sqrt{\frac{x+3}{2}}$

Một số bài tập tự luyện cho dạng bài trên:

 

Bài 80:

$3x^2+x-\frac{29}{6}=\sqrt{\frac{12x+61}{36}}$

 

Lời giải:

ĐK:$x\geq \frac{-61}{12}$

Đặt: $\sqrt{\frac{12x+61}{36}}=y+\frac{1}{6}$  $(y\geq \frac{-1}{6})$

PT trở thành:

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{\frac{12x+61}{36}}=y+\frac{1}{6} & \\ 3x^2+x-\frac{29}{6}=y+\frac{1}{6} & \end{matrix}\right.$$<=> \left\{\begin{matrix} \frac{12x+61}{36}=y^2+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}\\ 12(3x^2+x-\frac{29}{6})=12(y+\frac{1}{6}) \end{matrix}\right.$$<=> \left\{\begin{matrix} 12x+61=36y^2+12y+1\\ 36x^2+12x-58=12y+2 \end{matrix}\right.$$<=> \left\{\begin{matrix} 36y^2+12y-60=12x\\ 36x^2+12x-60=12y \end{matrix}\right.$

Đến đây thì ra rồi...

Kết hợp với ĐKXĐ ta được nghiệm $x$ thỏa mãn.

Đặt $\sqrt{16032x+1}=4y+1$

Cậu đặt như vậy rồi phải làm tiếp chứ nhỉ?

Vì tớ không đặt giống cậu.

Tớ đặt là :

$\sqrt{1+16032x}=2y-1$

Rồi đưa PT về:

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{1+16032x}=2y-1\\ x^2-x-2004=2004(2y-1) \end{matrix}\right.$

Từ đó biến đổi tương tự như các bài trên đưa HPT về dạng đối xứng

xin lỗi bạn nhé mình post nhầm mình làm được rồi.bạn chỉ mình bài còn lại được ko?

khoggiadinh trả lời rồi vậy thì mình thôi nhé!!!

chỉnh sửa lại đi bạn

Bài 2: Cho a+b+c=0;x+y+z=0;$\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=0$. CMR $ax^2+by^2+cz^2=0$

Bài này không nhầm thì ở trong cuốn Nâng cao & Phát triển toán 8 tập 1 thì phải...

Cho $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh của một tam giác.

CMR phương trình sau có nghiệm:

$(a^2+b^2-c^2)x^2-4abx+(a^2+b^2-c^2)=0$

Fix xong cũng vẫn sai bạn ah, chỗ màu đỏ làm gì có !!!

Cậu đọc kĩ đi nhé!

giải hệ phương trình

$(x+\sqrt{x^{2}+x+1})(y+\sqrt{y^2+y+1})=1$ (*)

và

 

$x^{2}+y^{2}=3$

Ta có:

$(x+\sqrt{x^2+x+1})(x-\sqrt{x^2+x+1})=x-\sqrt{x^2+x+1}$

$=> 2x+1=\sqrt{x^2+x+1}$

CMTT:

$2y+1=\sqrt{y^2+y+1}$

Thay vào PT (*) ta được:

$(3x+1)(3y+1)=1$

$=> 9xy+3(x+y)=0$

Kết hợp với giả thiết tìm được $x, y$

Chỗ đó kì vậy bạn !!?

Ôi...sorry...mình fix đã

Giải hệ phương trình:

. $\left\{\begin{matrix} x^3-y^3=35 & \\ 2x^2+3y^2=4x-9y & \end{matrix}\right.$

giải hệ phương trình:

a.$\left\{\begin{matrix} x^3+y^3=1 & \\ x^5+y^5=x^2=y^2 & \end{matrix}\right.$

b.$\left\{\begin{matrix} x(x+2)(2x=y)=9 & \\ x^2+4x+y=6 & \end{matrix}\right.$