cho hàm số $y=\frac{1}{3}x^{3}-x^{2}-3x+\frac{8}{3}$

Lập phương trình đường thẳng d song song với trục hoành và cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho

tam giác OAB cân tại O (O là gốc toạ độ).

 

cho e hỏi sao không có kiến thức dạy cách giải là tìm A,B để tạo nên tam giác đều hay cân ạ

Giả sử đường thẳng $y=c$ cắt $(C)$ tại $A$ và $B$ sao cho tam giác $OAB$ cân tại $O$

$\Rightarrow$ phương trình $x^3-3x^2-9x+8-3c=0$ có $2$ nghiệm đối nhau và khác nhau.

Giả sử $2$ nghiệm đối nhau đó là $\pm\ a$ ($a> 0$), còn nghiệm thứ ba là $b$ (có thể trùng hoặc khác $2$ nghiệm kia)

Phương trình đó có thể viết dưới dạng $(x^2-a^2)(x-b)=0$ hay $x^3-bx^2-a^2x+a^2b=0$

$\left\{\begin{matrix}a^2=9\\b=3\\c=-\frac{19}{3} \end{matrix}\right.$

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là $y=-\frac{19}{3}$.

Chúng ta thử xét bài toán bao gồm cả 2 điều kiện ràng buộc trên như sau:
Cho $B=\left \{ 0,1,2,3,4,5,6 \right \}$, từ B lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 csố khác nhau và số đó chia hết cho 3.

Cách khác :

TH1 : Các chữ số không xuất hiện là $\left \{ 0,3 \right \}$ hoặc $\left \{ 0,6 \right \}$ :

        - Xếp $5$ chữ số còn lại theo cách tùy ý : Có $5!$ cách.

TH2 : Các chữ số không xuất hiện là $\left \{ 3,6 \right \}$ hoặc $\left \{ 1,2 \right \}$ hoặc $\left \{ 1,5 \right \}$ hoặc $\left \{ 4,2 \right \}$ hoặc $\left \{ 4,5 \right \}$ :

        - Xếp $5$ chữ số còn lại sao cho chữ số $0$ không đứng đầu : Có $4.4!$ cách.

$\Rightarrow$ Số số tự nhiên thỏa mãn là $2.5!+5.4.4!=2.5!+4.5!=6.5!=6!=720$.
 

dạ cho e hỏi, nếu mình biết được M,N là 2 biến cố không độc lập thì có thể suy ra M(phủ định) và N, M và N(phủ định), M (phủ định) và N(phủ định), đều không độc lập ko ạ?

Có thể.
 

E chưa hiểu sao ko độc lập ạ, tại e thấy công ty A thua lỗ hay không cũng ko ảnh hưởng đến xác suất thua lỗ của công ty B. Ko biết có chỗ nào e hiểu ko đúng ko ạ

Hai biến cố $M$ và $N$ độc lập khi và chỉ khi $P(MN)=P(M).P(N)$

Trong bài này : $P(M)=0,2$ ; $P(N)=0,4$ ; $P(\overline{M})=0,8$ ; $P(\overline{N})=0,6$

$P(M\overline{N})=0,1$ ; $P(\overline{M}N)=0,3$ ; $P(MN)=0,1$ ; $P(\overline{MN})=0,5$

Ta rút ra rằng :

Khi công ty $A$ lỗ $(M)$ thì xác suất $B$ cũng lỗ $(N)$ là $0,5$ (lớn hơn $0,4$)

Khi công ty $B$ lỗ $(N)$ thì xác suất $A$ cũng lỗ $(M)$ là $0,25$ (lớn hơn $0,2$)

Khi công ty $A$ không lỗ $(\overline{M})$ thì XS $B$ không lỗ $(\overline{N})$ là $\frac{5}{8}$ (lớn hơn $0,6$)

Khi công ty $B$ không lỗ $(\overline{N})$ thì XS $A$ không lỗ $(\overline{M})$ là $\frac{5}{6}$ (lớn hơn $0,8$)

Lấy ví dụ thực tế : ông $A$ và ông $B$ đều là người làm muối.

Năm nay nắng to, năng suất muối tăng $20$ % nhưng giá muối giảm một nửa so với bình thường.

Cả ông $A$ và ông $B$ đều cần cù, siêng năng, nhưng người tính không bằng trời tính. Nếu năm nay, một ông thua lỗ thì ông kia cũng nhiều khả năng thua lỗ theo. Còn nếu một ông không lỗ thì ông kia cũng nhiều khả năng không lỗ theo.

Đây là một ví dụ về hai biến cố không độc lập trong thực tế.

  Cho hàm số $y=f(x)$ có tập xác định là $D=\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ bên dưới, đạo hàm xác định trên $\mathbb{R}$. Hỏi hàm số $y=f(f(x^2-1))$ có bao nhiêu điểm cực trị ? 

A. 13 

B. 12

C. 15

D. 11

 

 Ngoài ra, mọi người có thể giúp mình tìm ra đa thức của đồ thị f(x) được không ạ ? Mình cảm ơn.

$f'(x)=0\Leftrightarrow x=-1$ hoặc $x=1$ hoặc $x=2$.

$y=f(f(x^2-1))\Rightarrow y'=2xf'(x^2-1)f'(f(x^2-1))$

Đặt $u(x)=f'(x^2-1)$ ; $v(x)=f'(f(x^2-1))$ $\Rightarrow y'=2x.u(x).v(x)$

$u(x)=0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x^2-1=-1\\x^2-1=1\\x^2-1=2 \end{array}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=0\\x=\pm \sqrt2\\x=\pm \sqrt3 \end{array}\right.$

Gọi giao điểm của đường thẳng $y=-1$ với đồ thị hàm $f(x)$ là $A,B,C$ ($x_A< -1< x_B< x_C=2$)

       giao điểm của đường thẳng $y=1$ với đồ thị hàm $f(x)$ là $D,E,F,G$ ($x_D< -1< x_E< x_F<x_G$)

       giao điểm của đường thẳng $y=2$ với đồ thị hàm $f(x)$ là $H,I,K$ ($x_H< -1< x_I=1< x_K$)

Đặt $x_A+1=a$ ; $x_B+1=b$ ; $x_C+1=c$ ; ...

Ta có $y'=2x.u(x).v(x)=0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=0\\x=\pm \sqrt b\\x=\pm \sqrt{e}\\x=\pm \sqrt2\\x=\pm \sqrt f\\x=\pm \sqrt 3\\x=\pm \sqrt g\\x=\pm \sqrt k \end{array}\right.$ (tất cả là $15$ giá trị của $x$)

Chú ý rằng mỗi khi $x$ đi qua bất kỳ giá trị nào trong $15$ giá trị kể trên thì chỉ có $x$ hoặc $u(x)$ hoặc $v(x)$ (một trong ba) đổi dấu mà thôi. Suy ra hàm số $y=f(f(x^2-1))$ có đúng $15$ điểm cực trị.

-----------------------------------------------------------------------------

Tìm đa thức $f(x)$ ?  (Theo đồ thị, đa thức $f(x)$ là bậc chẵn)

Giả sử đa thức là bậc $6$, tức là $f(x)=ax^6+bx^5+cx^4+dx^3+ex^2+fx$ (vì $f(0)=0$)

và $f'(x)=6ax^5+5bx^4+4cx^3+3dx^2+2ex+f$

Ta có $\left\{\begin{matrix}f(1)=2\\f(2)=-1\\f'(1)=0\\f'(-1)=0\\f'(2)=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a+b+c+d+e+f=2\\64a+32b+16c+8d+4e+2f=-1\\6a+5b+4c+3d+2e+f=0\\-6a+5b-4c+3d-2e+f=0\\192a+80b+32c+12d+4e+f=0 \end{matrix}\right.$

Hệ này có vô số nghiệm. Nếu chọn $b=0$, ta có $f(x)=\frac{29}{148}\ x^6-\frac{93}{74}\ x^4-\frac{21}{37}\ x^3+\frac{285}{148}\ x^2+\frac{63}{37}\ x$.

(Nếu ban đầu giả sử đa thức bậc $4$ thì vô nghiệm, còn giả sử nó là bậc chẵn lớn hơn $6$ thì cũng vô số đa thức thỏa mãn)
 

Giải quyết sử dụng biến cố đối

 

--------------------------------------

 

Gọi $A$ : ...

 

$\to \overline{A}$ : Không có cửa hàng nào có nhiều hơn $2$ khách

 

TH1 : Tất cả các cửa hàng đều có $1$ khách

 

Xếp $5$ khách vào $5$ quán có $5!$ cách

 

TH2 : Một cửa hàng có $2$ khách các quán còn lại chỉ có $1$ khách.

 

Chọn $2$ khách :$C_5^2$(cách)

 

Chọn $1$ cửa hàng để xếp $2$ người khách đó $C_5^1$(cách)

 

Còn $3$ khách xếp vào $3$ quán có $3!$ cách

 

TH này có $C_5^1 . C_5^2 . 3!$(cách)

 

TH3 : Hai cửa hàng có $2$ khách, một cửa hàng có $1$ khách, hai quán còn lại "vô người"

 

Chọn $2$ khách :$C_5^2$(cách)

 

Chọn $1$ cửa hàng để xếp $2$ người khách đó $C_5^1$(cách)

 

Chọn $2$ khách tiếp theo :$C_3^2$(cách)

 

Chọn $1$ cửa hàng để xếp $2$ người khách đó $C_4^1$(cách)

 

Chọn $1$ cửa hàng để xếp $1$ người khách còn lại $C_3^1$(cách)

 

TH này có $C_5^1 . C_5^2 . C_3^2 . C_4^1 . C_3^1$(cách)

 

XS cần tìm : $P = \dfrac{5! + C_5^1 . C_5^2 . 3! + C_5^1 . C_5^2 . C_3^2 . C_4^1 . C_3^1 }{5^5}$

Xác suất cần tìm phải là $P =1- \dfrac{5! + C_5^1 . C_5^2 . 3! + C_5^1 . C_5^2 . C_3^2 . C_4^1 . C_3^1 }{5^5}$

-----------------------------------------------------

Nên giải theo cách của @Kofee ở trên sẽ đơn giản hơn !
 

 

Một đoàn tàu có $5$ toa đánh số từ $1$ đến $5$. Có một nhóm $5$ người bốc thăm có hoàn lại. Tất cả có $6$ lá thăm đánh số từ $0$ đến $5$. Nếu bốc lá thăm mang số nào thì được lên toa mang số ấy, riêng trường hợp bốc thăm số $0$ thì không được lên tàu. Tính xác suất để có ít nhất một toa có nhiều hơn $2$ khách lên ?

$\mathbf{TH1}$ : Có $1$ toa có $3$ khách.

+ Chọn $1$ trong $5$ toa : $C_5^1=5$ cách.

+ Chọn $3$ khách cho toa đó : $C_5^3=10$ cách.

+ $2$ người còn lại bốc thăm : $5^2=25$ cách.

$\mathbf{TH2}$ : Có $1$ toa có $4$ khách.

+ Chọn $1$ trong $5$ toa : $C_5^1=5$ cách.

+ Chọn $4$ khách cho toa đó : $C_5^4=5$ cách.

+ Người còn lại bốc thăm : $5$ cách.

$\mathbf{TH3}$ : Có $1$ toa có $5$ khách $\rightarrow 5$ cách.

$\left | \Omega \right |=6^5$ (mỗi người có $6$ khả năng)

$\Rightarrow$ Xác suất cần tính là $\frac{5.10.25+5.5.5+5}{6^5}=\frac{115}{648}$.
 

Nâng cao một chút nhé !

---------------------------------------------------------------------------

Một đoàn tàu có $5$ toa đánh số từ $1$ đến $5$. Có một nhóm $5$ người bốc thăm có hoàn lại. Tất cả có $6$ lá thăm đánh số từ $0$ đến $5$. Nếu bốc lá thăm mang số nào thì được lên toa mang số ấy, riêng trường hợp bốc thăm số $0$ thì không được lên tàu. Tính xác suất để có ít nhất một toa có nhiều hơn $2$ khách lên ?

Cho e hỏi bài này:
Cho A={1,2,..,18}
Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5 số từ tập A sao cho hiệu của hai số bất kì trong 5 số đó không nhỏ hơn 2.
Mong mọi ng` giúp e bài này 

Cho em hỏi sao lại đặt vậy ạ

Bạn chú ý là $1\leqslant x_1< x_2< x_3< x_4< x_5\leqslant 18$

Và $x_2-x_1\geqslant 2$, $x_3-x_2\geqslant 2$, $x_4-x_3\geqslant 2$,...

Do đó nếu đặt $a_i=x_i-(i-1)$ thì ta có :

$a_1=x_1\geqslant 1$

$a_2=x_2-1\Rightarrow a_2-a_1=(x_2-1)-x_1=x_2-x_1-1\geqslant 1$

Tương tự $a_3-a_2\geqslant 1$, $a_4-a_3\geqslant 1$, $a_5-a_4\geqslant 1$

$a_5=x_5-4\Rightarrow a_5\leqslant 14$.

Từ đó suy ra $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$ là $5$ số khác nhau từng đôi một, chọn tùy ý từ $1$ đến $14$, nên số cách chọn là $C_{14}^5$
 

Bài toán: Tập $S$ gồm các số tự nhiên có $6$ chữ số khác nhau được thành lập từ các chữ số $0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8$. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập $S$. Tính xác suất để số được chọn không có hai chữ số chẵn đứng cạnh nhau.

Nhờ mọi người giải chi tiết bài trên giúp mình.

Xét $2$ trường hợp :

1) Số được chọn có $4$ chữ số lẻ, $2$ chữ số chẵn :

   - Xếp $4$ chữ số lẻ thành một hàng ngang sao cho giữa chúng và 2 đầu có $5$ chỗ trống ($4!$ cách)

     a) Có chữ số $0$ :

       - Chọn $2$ chữ số chẵn trong đó có chữ số $0$ ($4$ cách)

       - Chọn chỗ trống và điền chữ số $0$ vào ($4$ cách)

       - Điền chữ số chẵn còn lại ($4$ cách)

     b) Không có chữ số $0$ :

       - Chọn $2$ chữ số chẵn khác $0$ trong $4$ chữ số ($6$ cách)

       - Điền $2$ chữ số đó vào ($20$ cách)

2) Số được chọn có $3$ chữ số lẻ, $3$ chữ số chẵn :

   - Chọn $3$ chữ số lẻ ($4$ cách)

   - Xếp $3$ chữ số lẻ đó thành một hàng ngang sao cho giữa chúng và 2 đầu có $4$ chỗ trống ($3!$ cách)

     a) Có chữ số $0$ :

       - Chọn $3$ chữ số chẵn trong đó có chữ số $0$ ($6$ cách)

       - Chọn chỗ trống và điền chữ số $0$ vào ($3$ cách)

       - Điền $2$ chữ số chẵn còn lại ($6$ cách)

     b) Không có chữ số $0$ :

       - Chọn $3$ chữ số chẵn khác $0$ trong $4$ chữ số ($4$ cách)

       - Điền $3$ chữ số đó vào ($24$ cách)

Xác suất cần tính : $\frac{4!(4^3+120)+4.3!(6.3.6+4.24)}{8.P_8^5}=\frac{97}{560}$.

 

1.60. Có 2 hộp bi. Hộp 1 có 10 bi, trong đó có 3 bi đỏ, hộp 2 có 12 bi trong đó có 4 bi đỏ.

a) Lấy ngẫu nhiên 1 bi của hộp 1 bỏ sang hộp 2, sau đó lấy tiếp 2 bi của hộp 1. Tính xác suất trong 2 bi lấy ra có 1 bi đỏ.
b) Lấy ngẫu nhiên 1 bi của hộp 1 bỏ sang hộp 2, sau đó lấy 1 bi của hộp 2. Giả sử bi lấy ra này là bi đỏ, tính xác suất bi bỏ từ hộp 1 sang hộp 2 là bi đỏ.

a) $M$ : biến cố bi hộp 1 bỏ sang hộp 2 là bi đỏ ---> $P(M)=\frac{3}{10}$.

    $N$ : biến cố bi hộp 1 bỏ sang hộp 2 không đỏ ---> $P(N)=\frac{7}{10}$.

    $Q$ : biến cố trong $2$ bi lấy tiếp từ hộp 1, có đúng $1$ bi đỏ.

    Ta có $P(Q/M)=\frac{C_2^1C_7^1}{C_9^2}=\frac{7}{18}$ ; $P(Q/N)=\frac{C_3^1C_6^1}{C_9^2}=\frac{1}{2}$

    $\Rightarrow P(Q)=P(M).P(Q/M)+P(N).P(Q/N)=\frac{7}{15}$

b) $M$ : biến cố bi hộp 1 bỏ sang hộp 2 là bi đỏ ---> $P(M)=\frac{3}{10}$.
    $N$ : biến cố bi hộp 1 bỏ sang hộp 2 không đỏ ---> $P(N)=\frac{7}{10}$.

    $R$ : biến cố bi lấy từ hộp 2 là bi đỏ.
    Ta có $P(R)=P(M).P(R/M)+P(N).P(R/N)=\frac{3}{10}.\frac{5}{13}+\frac{7}{10}.\frac{4}{13}=\frac{43}{130}$

    Và xác suất cần tính là $P(M/R)=\frac{P(M).P(R/M)}{P(R)}=\frac{15}{43}$.

Có 10 hành khách bước ngẫu nhiên vào 4 toa tàu khác nhau. Tính xác suất để có đúng hai toa tàu mà mỗi toa có đúng 3 hành khách.

Mỗi người có 4 cách lên tàu, nên số phần tử không gian mẫu là : $4^{10}$
Chọn 3 người lên toa thứ nhất :$C_{10}^{3}\cdot C_{4}^{1}$
Tiếp đến,chọn 3 người lên toa thứ hai: $C_{7}^{3}\cdot C_{3}^{1}$
Số cách lên tàu của 4 người cuối :$2^4$
Trong số đó, có trường hợp có 3 toa mà mỗi toa có đúng 3 người :$C_{10}^{1}\cdot C_{4}^{1}\cdot C_{9}^{3}\cdot C_{6}^{3}\cdot C_{3}^{3}$
Vậy XS cần tìm là :$\frac{C_{10}^{3}\cdot C_{4}^{1}\cdot C_{7}^{3}\cdot C_{3}^{1}\cdot2^4-C_{10}^{1}\cdot C_{4}^{1}\cdot C_{9}^{3}\cdot C_{6}^{3}\cdot C_{3}^{3} }{4^{10}}$

Xác suất không lớn như thế đâu !

-------------------------------

Mình làm thế này :

+ TH1 :

   - Chọn $1$ toa (toa này không có khách) : $4$ cách.

   - Chọn $1$ toa khác và xếp vào đó $4$ người : $C_3^1.C_{10}^4$ cách.

   - Chia đều $6$ người còn lại vào $2$ toa còn lại : $C_6^3$ cách.

+ TH2 :

   - Chọn $2$ toa và $4$ người : $C_4^2.C_{10}^4$ cách.

   - Chia đều $4$ người đó vào $2$ toa đó : $C_4^2$ cách.

   - Chia đều $6$ người còn lại vào $2$ toa còn lại : $C_6^3$ cách.

$\Rightarrow$ xác suất cần tìm là $\frac{4.3.C_{10}^4.C_6^3+(C_4^2)^2.C_{10}^4.C_6^3}{4^{10}}\approx 0,192261$.

Hình như em gần hiểu vấn đề rồi ạ. 

Ta cần chia $n$ viên bi vào $2$ hộp $A$ và $B$ với $n_1$ là số bi cần có ở hộp $A$ và $n_2$ là số bi cần có ở hộp $B$

Khi đó : $n=n_1+n_2$ suy ra $n_1=n-n_2$ .

Nhận thấy việc chọn $n_2$ cũng chính là chọn $n_1$

Với $n=6$ và $n_1=n_2=3$ đồng thời 6 viên bi là khác nhau nên số cách chia chính là số cách chọn 3 viên bi

Anh xem em giải thích đúng không ạ

Tiện đây anh xem thử em lời giải bài này có đúng không:

Từ tập hợp tất cả các số tự nhiên có 5 chữ số mà các chữ số đều khác 0, lấy ngẫu nhiên một số. Tính xác suất để trong số tự nhiên được lấy ra chỉ có mặt đúng ba chữ số khác nhau.

 

Đúng rồi.
 

dạ tại sao khi chia đều 6 người còn lại vào 2 toa còn lại là 6C3 thế ạ. Em nghĩ phải là 6C3. 2C1 mới đúng chứ ạ

Giả sử trên bàn có $6$ viên bi khác nhau. Bạn cần chia đều số bi đó vào $2$ hộp $A$ và $B$.

Bạn thử nghĩ kỹ xem : Số cách chia có phải chính là số cách chọn $3$ viên bi trên bàn để bỏ vào hộp $A$ không ?
 

Dạ sao ở TH2 giai đoạn 3 tại sao lại không chọn 1 trong hai số lặp 2 lần rồi sau đó ta mới chọn vị trí của số đó ạ

Ở trường hợp 2 này em giải như sau anh xem thử em sai ở chỗ nào ạ

- Chọn số thứ nhất lặp 2 lần ta có 9C1 cách chọn. Sau đó chọn 2 vị trí trong 5 có 5C2 cách

- Chọn số thứ hai lặp 2 lần ta có 8C1 cách chọn rồi chọn 2 vị trí có 3C2

- Số còn lại có 7C1 cách chọn

Vậy có  9C1. 5C2. 8C1. 3C2. 7C1 =15120 

Đáp án này x2 đáp án trên kia

Không biết trong cách làm này nó bị lặp ở đâu không mong anh chỉ với ạ

Lấy ví dụ cho dễ hiểu nhé :

Tính số cách xếp $3$ chữ số khác nhau vào $3$ vị trí ?

- Dễ thấy là có $3!=3.2.1$ cách, đúng không ?

- Nếu lập luận như bạn nói thì sẽ như sau :

  + Chọn chữ số thứ nhất ($3$ cách)

  + Chọn vị trí cho cs thứ nhất ($3$ cách)

  + Chọn chữ số thứ hai ($2$ cách)
  + Chọn vị trí cho cs thứ hai ($2$ cách)

  + Chọn chữ số thứ ba ($1$ cách)
  + Chọn vị trí cho cs thứ ba ($1$ cách)

Kết quả tính theo cách lập luận đó là $3^2.2^2.1^2$ (sai)

Bài học rút ra : Chọn vị trí thì không chọn chữ số (nói nguyên văn là : nếu tính số cách chọn vị trí thì không tính số cách chọn chữ số)
 

Số phần tử không gian mẫu ( chọn n bạn ngồi vào 1 dãy ghế, hoán vị n bạn này và hoán vị n bạn còn lại) :
$\left | \Omega \right |=C_{2n}^{n}\left ( n! \right )^2$
Chọn $m$ bạn nam ngồi vào 1 dãy ghế rồi hoán vị $n$ bạn nam, $n$ bạn nữ: $\sum_{k=m}^{n}C_{n}^{k}\left ( n! \right )^{2}$
Vậy XS là: $\frac{\sum_{k=m}^{n}C_{n}^{k}\left [\text{(n-m) chẵn} \right] }{C_{2n}^{n}}.$
trong đó :
$\left [P\right ]=1 $ nếu $P$ đúng, ngược lại thì bằng $0.$

Nếu vậy thì khi $n=5$, $m=1$, xác suất để có ít nhất $1$ cặp nam nữ ngồi đối diện sẽ là $\frac{C_5^1+C_5^3+C_5^5}{C_{10}^5}=\frac{16}{252}\approx 0,0635$ (lẽ ra xác suất này phải là $1$ chứ ?)

--------------------------------------------------------------------

Mình làm như sau :

Xem như các ghế xếp thành $n$ cột (mỗi cột gồm $2$ ghế đối diện)

Dễ thấy rằng khi n-p lẻ thì xác suất có ĐÚNG $p$ cặp nam nữ ngồi đối diện là bằng $0$. Vậy chỉ cần tính xác suất có ĐÚNG $p$ cặp nam nữ ngồi đối diện (với $p=n-2k$ và $m\leqslant p\leqslant n$) rồi "xichma" chúng lại.

$\left | \Omega \right |=\left ( 2n \right )!=\frac{P_{2n}^n}{n!}.(n!)^2=C_{2n}^n.(n!)^2$

Chọn $p$ cột (có nam nữ ngồi đối diện) : $C_n^{n-2k}=C_n^{2k}$ cách.

Xác định ghế dành cho nam và ghế dành cho nữ trong $p$ cột đó : $2^p=2^{n-2k}$ cách.

Chọn $k$ cột (mỗi cột gồm $2$ ghế nam ngồi đối diện) trong số $2k$ cột còn lại : $C_{2k}^k$ cách.

(Như vậy đã xác định được $n$ ghế dành cho nam và $n$ ghế dành cho nữ)

Xếp $n$ bạn nam vào $n$ ghế dành cho nam, $n$ bạn nữ vào $n$ ghế còn lại : $(n!)^2$ cách.

Vậy số cách xếp để có ĐÚNG n-2k cặp nam nữ ngồi đối diện là $C_n^{2k}.2^{n-2k}.C_{2k}^k.(n!)^2$

Và xác suất để có ít nhất $m$ cặp nam nữ ngồi đối diện là $\frac{\sum_{k=0}^{\left \lfloor \frac{n-m}{2} \right \rfloor}C_n^{2k}.2^{n-2k}.C_{2k}^k}{C_{2n}^n}$

Với $n=5$ :

Xác suất có ít nhất $1$ cặp nam nữ đối diện là $\frac{C_5^0.2^5.C_0^0+C_5^2.2^3.C_2^1+C_5^4.2^1.C_4^2}{C_{10}^5}=1$

Xác suất có ít nhất $3$ cặp nam nữ đối diện là $\frac{C_5^0.2^5.C_0^0+C_5^2.2^3.C_2^1}{C_{10}^5}=\frac{192}{252}\approx 0,7619$

Xác suất có ít nhất $4$ cặp nam nữ đối diện là $\frac{C_5^0.2^5.C_0^0}{C_{10}^5}=\frac{32}{252}\approx 0,1270$.

Bây giờ hãy thử một phiên bản "khó" hơn chút: xác suất để có ít nhất 4 bạn nam ngồi đối diện nữ ? Có ít nhất 3 bạn nam ngồi đối diện nữ ?

Tổng quát hơn: với $2n$ bạn xếp vào bạn ($n$ nam và $n$ nữ), thì xác suất để có ít nhất $m$ bạn nam ($m \le n$) ngồi đối diện bạn nữ ?

"Rắc rối" hơn chút nữa nha ...

----------------------------------------------------

Một nhóm $12$ người gồm $4$ cặp vợ chồng, $2$ đàn ông độc thân và $2$ phụ nữ độc thân được xếp ngẫu nhiên vào $2$ hàng ghế đối diện, mỗi hàng có $6$ ghế. Tính xác suất có ĐÚNG $2$ cặp vợ chồng ngồi đối diện ?
 

"Rắc rối" hơn chút nữa nha ...

----------------------------------------------------

Một nhóm $12$ người gồm $4$ cặp vợ chồng, $2$ đàn ông độc thân và $2$ phụ nữ độc thân được xếp ngẫu nhiên vào $2$ hàng ghế đối diện, mỗi hàng có $6$ ghế. Tính xác suất có ĐÚNG $2$ cặp vợ chồng ngồi đối diện ?
 

Xem như các ghế xếp thành $6$ cột, mỗi cột gồm $2$ ghế đối diện.

- Chọn $2$ cột (dành cho $2$ cặp vợ chồng ngồi đối diện) : $C_6^2=15$ cách.

- Chọn $2$ cặp vợ chồng may mắn và xếp đứng vào trước $2$ cột đó : $4.3=12$ cách.

- Xếp $2$ cặp vợ chồng vào các ghế của $2$ cột đó : $2^2=4$ cách.

Xếp chỗ cho $8$ người còn lại :

TH1 : Có $2$ cặp "ông nọ, bà kia" (tức là có $2$ phụ nữ đã kết hôn ngồi đối diện với $2$ đàn ông đã kết hôn nhưng không phải chồng của mình)

- Chọn $2$ cột (dành cho $2$ cặp này) : $C_4^2=6$ cách.

- Xếp $2$ phụ nữ đã kết hôn đứng trước $2$ cột này : $2$ cách.

- Chọn ghế cho $2$ phụ nữ này : $2^2=4$ cách (khi đó ghế của $2$ đàn ông đã kết hôn cũng được xác định)

- Chọn ghế cho $4$ người độc thân còn lại : $4!=24$ cách.

TH2 : Có đúng $1$ cặp "ông nọ, bà kia" (có đúng $1$ cặp nam nữ đã kết hôn ngồi đối diện với nhau nhưng không phải vợ chồng)

- Chọn $2$ cột (dành cho $2$ phụ nữ đã kết hôn) : $6$ cách.

- Xếp $2$ phụ nữ đã kết hôn vào đứng trước $2$ cột đó : $2$ cách.

- Chọn ghế cho $2$ quý bà này : $4$ cách.

- Chọn $1$ quý ông đã kết hôn : $2$ cách (người này sẽ được ngồi đối diện với quý bà đã kết hôn nhưng không phải vợ mình)

- Chọn ghế cho quý ông đã có vợ còn lại : $4$ cách (vì ghế của người này phải thuộc $1$ trong $2$ cột chưa có ai ngồi)

- Xếp chỗ cho $4$ người độc thân : $24$ cách.

TH3 : Không có cặp "ông nọ, bà kia" nào ($4$ người đã kết hôn đều ngồi đối diện với người độc thân)

- Xếp $4$ người đã kết hôn đứng trước $4$ cột : $24$ cách.

- Chọn ghế cho $4$ người này : $2^4=16$ cách.

- Xếp $4$ người độc thân vào $4$ ghế còn lại : $24$ cách.

Xác suất cần tính là $P=\frac{15.12.4.(6.2.4.24+6.2.4.2.4.24+24.16.24)}{12!}=\frac{720.19584}{12!}\approx 0,029437$

1, một kho hàng chứa sản phẩm của 2 xí nghiệp với tỉ lệ 70% sản phẩm của xí nghiệp 1 và 30% sản phẩm của xí nghiệp 2. Sản phẩm của xí nghiep 1 sản xuất được 80% là loại tốt, xí nghiệp 2 đạt 90% là loại tốt 

a) Người ta lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm thì được sản phẩm xấu . Tính xác suất để sản phẩm đó  do xí nghiẹp 1 sản xuất

b) Người ta lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm từ kho hàng . Tính xs để được 1 sản phẩm tốt, 1 sản phẩm xấu.

2. ba người mỗi người bắn 1 viên đạn vào cùng 1 mục tiêu . xác suất trúng đích mỗi lần bắn của người thư nhất là 0,9, người thứ 2 là 0,8, người thứ 3 là 0.7 và độc lập với nhau

a) tính xác suất để có ít nhất 1 viên đạn trúng đích

b) biết rằng có ít nhất 1 viên đạn trúng đích , tính xác suất để người thứ nhất bắn trúng

Bài 1 :

b) Xác suất lấy được $1$ sp tốt và $1$ sp xấu là $C_2^1.0,17.(1-0,17)=0,2822$

Bài 2 :

b) Gọi $D$ là biến cố có ít nhất $1$ viên trúng đích $\Rightarrow P(D)=0,994$

    Xác suất cần tính là $P(A/D)=\frac{P(A).P(D/A)}{P(D)}=\frac{0,9.1}{0,994}\approx 0,9054$
 

Thank you anh chanhquocnghiem . Cho em hỏi :
Bài 1, câu b:
Em nghĩ đơn giản như sau : em nhập vai là 1 khách hàng đến công ty để lấy ở kho 1 sp tốt và 1 sp xấu mà, tất nhiên, không hề quan tâm sp đó do XN nào sản xuất (chỉ biết là trong kho của công ty có 2 loại là sp tốt hoặc xấu mà thôi và biết XS để lấy sp xấu là $0,17$) nên em mới tính XS để lấy 1 sp tốt và 1sp xấu là $0,17\times(1-0,17)$
Bài 2, câu b:
Em nghĩ : A chắc chắn bắn trúng, nên em tính XS cho 4 khả năng của B và C:
$0,9\left ( 0,8\cdot0,7+0,8\cdot0,3+0,2\cdot0,3+0,2\cdot0,7 \right )=0,9\cdot1=0,9$
Như vậy suy nghĩ có logic không vậy anh?

Câu 1b)

Nếu bạn lấy $2$ sản phẩm :

- Xác suất được $2$ sản phẩm tốt là $0,83^2$

- Xác suất được $2$ sản phẩm xấu là $0,17^2$

Vậy xác suất được $1$ tốt, $1$ xấu có phải là $1-0,83^2-0,17^2=(0,83+0,17)^2-0,83^2-0,17^2=2.0,83.0,17$.

Câu 2b) Bạn nghĩ $A$ chắc chắn bắn trúng là sai (xác suất $A$ bắn trúng là $0,9$, tức là $A$ cũng có thể bắn không trúng)
 

Cám ơn anh.
Câu 1b):Em sai rồi!
Câu 2b):Trong quá trình tính toán, em vẫn lấy XS chắc chắn bắn trúng của A là $0,9$ đấy chứ!

Câu 2b)

Đề bài hỏi xác suất $A$ bắn trúng nếu có ít nhất $1$ viên trúng đích, tức là yêu cầu tính $P(A/D)$.

Công thức mà bạn dùng, thực chất là tính $P(A)$ (vì cái trong ngoặc bằng $1$), mà $P(A)$ biết rồi, tính chi nữa

Còn tính $P(A/D)$ thì phải dùng công thức xác suất có điều kiện (như câu 1a bạn đã làm)
 

 

Cho lưới ô vuông $7\times 9$ (gồm tất cả $80$ điểm nút). Hãy tính xem có bao nhiêu hình tam giác được tạo bởi các điểm nút của lưới ?
 

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, lấy các điểm $A(0;7)$ ; $B(9;7)$ ; $C(9;0)$

Xét lưới ô vuông 7x9 gồm $80$ điểm nút là các ĐIỂM NGUYÊN nằm tại đỉnh, trên cạnh và bên trong hình chữ nhật $OABC$

Gọi các điểm nguyên trên cạnh OA, giữa O và A (từ O đến A) là $O_1,O_2,...,O_6$

      các điểm nguyên trên cạnh AB, giữa A và B (từ A đến B) là $A_1,A_2,...,A_8$

      các điểm nguyên trên cạnh BC, giữa B và C (từ B đến C) là $B_1,B_2,...,B_6$

      các điểm nguyên trên cạnh CO, giữa C và O (từ C đến O) là $C_1,C_2,...,C_8$

+ Gọi $D$ là tập các đường thẳng theo phương Ox và Oy :

   Có $8$ đường thẳng thuộc $D$ đi qua $10$ điểm nút và $10$ đường thẳng thuộc $D$ qua $8$ điểm nút.

+ Gọi $E$ là tập các đường thẳng có hệ số góc là $\pm 1$ : 

  - Số đường thẳng thuộc $E$ đi qua $8$ điểm nút là $6$ đường ($OA_7,C_8A_8,C_7B,AC_2,A_1C_1,A_2C$)

  - Số đường thẳng thuộc $E$ đi qua đúng $7$ điểm nút là $4$ đường

  - Số đường thẳng thuộc $E$ đi qua đúng $6$ điểm nút là $4$ đường

  - Số đường thẳng thuộc $E$ đi qua đúng $5$ điểm nút là $4$ đường

  - .........................................

  - .........................................

  - Số đường thẳng thuộc $E$ đi qua đúng $3$ điểm nút là $4$ đường

+ Gọi $F$ là tập các đường thẳng có hệ số góc là $\pm 1/2$ và $\pm 2$ :

  - Số đường thẳng thuộc $F$ đi qua đúng $5$ điểm nút là $16$ ($8$ đường có hệ số góc là $1/2$ qua $O,O_1,O_2,O_3,B,B_1,B_2,B_3$ và $8$ đường tương ứng có hệ số góc $-1/2$)

  - Số đường thẳng thuộc $F$ đi qua đúng $4$ điểm nút là $36$ (4 đường có hệ số góc $1/2$ qua $C_6,C_7,A_6,A_7$, 14 đường có hệ số góc $2$ qua $O,C_8,C_7,...,C_3,B,A_8,A_7,...,A_3$ và 18 đường có hệ số góc âm tương ứng)

  - Số đường thẳng thuộc $F$ đi qua đúng $3$ điểm nút là $16$ (4 đường có hệ số góc $1/2$ qua $C_4,C_5,A_4,A_5$, 4 đường có hệ số góc $2$ qua $O_2,O_3,B_2,B_3$ và 8 đường có hệ số góc âm tương ứng)

+ Gọi $G$ là tập các đường thẳng có hệ số góc là $\pm 1/3$ và $\pm 3$ :

  - Số đường thẳng thuộc $G$ đi qua $4$ điểm nút là $10$ (5 đường có hệ số góc $1/3$ qua $O,O_1,O_2,O_3,O_4$ và 5 đường có hệ số góc âm tương ứng)

  - Số đường thẳng thuộc $G$ đi qua đúng $3$ điểm nút là $56$ (tự tìm xem)

+ Gọi $H$ là tập các đường thẳng có hệ số góc là $\pm 1/4$ và $\pm 4$ :

  - Số đường thẳng thuộc $H$ đi qua $3$ điểm nút là $24$

+ Gọi $J$ là tập các đường thẳng có hệ số góc là $\pm 2/3$ và $\pm 3/2$ :

  - Số đường thẳng thuộc $J$ đi qua $4$ điểm nút là $4$

  - Số đường thẳng thuộc $J$ đi qua $3$ điểm nút là $48$

+ Gọi $K$ là tập các đường thẳng có hệ số góc là $\pm 3/4$ và $\pm 4/3$ :

  - Số đường thẳng thuộc $K$ đi qua $3$ điểm nút là $8$

Vậy có tất cả $8$ đường đi qua $10$ điểm nút ; $16$ đường qua đúng $8$ điểm nút ; $4$ đường qua đúng $7$ điểm nút ; $4$ đường qua đúng $6$ điểm nút ; $20$ đường qua đúng $5$ điểm nút ; $54$ đường qua đúng $4$ điểm nút ; $156$ đường qua đúng $3$ điểm nút.

$\Rightarrow$ số tam giác lập thành từ các điểm nút là :

$C_{80}^{3}-8C_{10}^{3}-16C_{8}^{3}-4C_{7}^{3}-4C_{6}^{3}-20C_{5}^{3}-54C_{4}^{3}-156C_{3}^{3}=79512$ (tam giác)

Wow...mới là bài warm up mà đọc muốn tai biến mạch máu não, mấy bài kế chắc... nhồi máu cơ tim luôn!

Bài tiếp theo nhé. Bài này có vẻ "dễ hơn hẳn" bài trên (nhưng cũng nên "dễ vừa vừa" thôi, dễ quá giải mất hứng, đúng không bạn )

Hãy đếm số hình chữ nhật $a\sqrt{2}\times b\sqrt{2}$ (với $a,b$ nguyên dương và $a< b$) có các đỉnh thuộc các điểm nút của lưới ô vuông $7\times 9$ ?