Đến nội dung


Chú ý

Nếu không nhận được email từ diễn đàn, bạn hãy kiểm tra thùng rác hoặc thư mục spam của hộp thư, hoặc dùng chức năng tìm kiếm trong hộp thư với từ khoá "diendantoanhoc.org".


Hình ảnh

Cho một lưới ô vuông có kích thước m × n với m ≤ n . Có bao nhiêu hình chữ nhật (không tính hình vuông) được tạo bởi bốn điểm nút của lưới?

tổ hợp

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 11 trả lời

#1 ptrang

ptrang

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 5 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 29-09-2021 - 00:50

Cho một lưới ô vuông có kích thước m × n với m n . Có bao nhiêu hình chữ nhật (không
tính hình vuông) được tạo bởi bốn điểm nút của lưới?

 



#2 Nobodyv3

Nobodyv3

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 216 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Hốc bà Tó - phấn đấu làm ĐHV hậu học đại
  • Sở thích:Defective Version

Đã gửi 29-09-2021 - 14:26

Cho một lưới ô vuông có kích thước m × n với m ≤ n . Có bao nhiêu hình chữ nhật (không
tính hình vuông) được tạo bởi bốn điểm nút của lưới?

Ta thấy :
Số HV kích thước $1\times 1$ là $m.n$
Số HV kích thước $2\times 2$ là $(m-1).(n-1)$
.
.
.
Số HV kích thước $m\times m$ là $1.(n-m+1)$
Do đó, số hình vuông tạo được trong lưới $m\times n$ là :
$\sum_{k=1}^{m}k\left ( n-m+k \right )=\left ( n-m \right )\sum_{k=1}^{m}k+\sum_{k=1}^{m}k^{2}=\left ( n-m \right )\frac{m\left ( m+1 \right )}{2}+\frac{m\left ( m+1 \right )\left ( 2m+1 \right )}{6}=\frac{m\left ( m+1 \right )\left ( 3n-m+1 \right )}{6}$
Dễ thấy số hình chữ nhật ( kể cả hình vuông là hình chữ nhật đặc biệt ) trong lưới là :$C_{n+1}^{2}C_{m+1}^{2} $. Vậy số hình chữ nhật thỏa yêu cầu đề bài là :
$\frac{n\left ( n+1 \right )m\left ( m+1 \right )}{4}-\frac{m\left ( m+1 \right )\left ( 3n-m+1 \right )}{6}=\boxed { \frac{m\left ( m+1 \right )\left ( 3n^{2}-3n+2m-2 \right )}{12}}$
HOPE

Yesterday is history, tomorrow is a mystery, but today is a gift. That why it's called the present.

#3 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2093 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 29-09-2021 - 15:27

Ta thấy :
Số HV kích thước $1\times 1$ là $m.n$
Số HV kích thước $2\times 2$ là $(m-1).(n-1)$
.
.
.
Số HV kích thước $m\times m$ là $1.(n-m+1)$
Do đó, số hình vuông tạo được trong lưới $m\times n$ là :
$\sum_{k=1}^{m}k\left ( n-m+k \right )=\left ( n-m \right )\sum_{k=1}^{m}k+\sum_{k=1}^{m}k^{2}=\left ( n-m \right )\frac{m\left ( m+1 \right )}{2}+\frac{m\left ( m+1 \right )\left ( 2m+1 \right )}{6}=\frac{m\left ( m+1 \right )\left ( 3n-m+1 \right )}{6}$
Dễ thấy số hình chữ nhật ( kể cả hình vuông là hình chữ nhật đặc biệt ) trong lưới là :$C_{n+1}^{2}C_{m+1}^{2} $. Vậy số hình chữ nhật thỏa yêu cầu đề bài là :
$\frac{n\left ( n+1 \right )m\left ( m+1 \right )}{4}-\frac{m\left ( m+1 \right )\left ( 3n-m+1 \right )}{6}=\boxed { \frac{m\left ( m+1 \right )\left ( 3n^{2}-3n+2m-2 \right )}{12}}$

Bạn chưa đếm những hình chữ nhật $a\sqrt{2}\times b\sqrt{2}$ ; $a\sqrt{5}\times b\sqrt{5}$ ; $a\sqrt{10}\times b\sqrt{10}$ ; $a\sqrt{17}\times b\sqrt{17}$ ;...; $a\sqrt{13}\times b\sqrt{13}$ ; $a\sqrt{29}\times b\sqrt{29}$ ; $a\sqrt{53}\times b\sqrt{53}$ ; $a\sqrt{85}\times b\sqrt{85}$ ; $...$

(trong đó $a,b$ nguyên dương và $a\neq b$)


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#4 Nobodyv3

Nobodyv3

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 216 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Hốc bà Tó - phấn đấu làm ĐHV hậu học đại
  • Sở thích:Defective Version

Đã gửi 29-09-2021 - 21:41

Bạn chưa đếm những hình chữ nhật $a\sqrt{2}\times b\sqrt{2}$ ; $a\sqrt{5}\times b\sqrt{5}$ ; $a\sqrt{10}\times b\sqrt{10}$ ; $a\sqrt{17}\times b\sqrt{17}$ ;...; $a\sqrt{13}\times b\sqrt{13}$ ; $a\sqrt{29}\times b\sqrt{29}$ ; $a\sqrt{53}\times b\sqrt{53}$ ; $a\sqrt{85}\times b\sqrt{85}$ ; $...$
(trong đó $a,b$ nguyên dương và $a\neq b$)

Em chỉ nghĩ đơn giản là các hình này được lập từ các ô vuông đơn vị và có các cạnh song song với trục tung, trục hoành...và hiện đang nôn nao hóng bài giải của anh đây...
BTW, dịch Covid - 19 hiện đang hoành hành tại địa phương em ở, nên khi thấy chữ ký " Đêm nay tiễn đưa... " của anh, em cảm thấy ớn lạnh sao sao ấy...

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 30-09-2021 - 07:17

HOPE

Yesterday is history, tomorrow is a mystery, but today is a gift. That why it's called the present.

#5 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2093 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 03-10-2021 - 07:28

Em chỉ nghĩ đơn giản là các hình này được lập từ các ô vuông đơn vị và có các cạnh song song với trục tung, trục hoành...và hiện đang nôn nao hóng bài giải của anh đây...

Có lẽ bài này "không phải dạng vừa đâu" !

Để đi tìm hướng giải, hãy thử sức với vài bài toán "nhẹ nhàng" hơn ! Đầu tiên là bài này :

Cho lưới ô vuông $7\times 9$ (gồm tất cả $80$ điểm nút). Hãy tính xem có bao nhiêu hình tam giác được tạo bởi các điểm nút của lưới ?
 


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#6 Nobodyv3

Nobodyv3

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 216 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Hốc bà Tó - phấn đấu làm ĐHV hậu học đại
  • Sở thích:Defective Version

Đã gửi 03-10-2021 - 14:26

Có lẽ bài này "không phải dạng vừa đâu" !
Để đi tìm hướng giải, hãy thử sức với vài bài toán "nhẹ nhàng" hơn ! Đầu tiên là bài này :
Cho lưới ô vuông $7\times 9$ (gồm tất cả $80$ điểm nút). Hãy tính xem có bao nhiêu hình tam giác được tạo bởi các điểm nút của lưới ?

Hy vọng em làm đúng. (theo Supermember's style).
Số tam giác tạo thành từ 80 nút lưới là :
$C_{80}^{3}=82160$
Trong đó, số tam giác suy biến trên đường ngang và dọc là :
$8C_{10}^{3}+10C_{8}^{3}=1520$
Số tam giác suy biến trên đường xiên là :
$2\left ( 2\sum_{k=3}^{8}C_{k}^{3}+C_{8}^{3} \right )=2\left ( 252+56 \right )=616$
Vậy số tam giác tạo thành trên lưới 7x9 là :
$82160-1520-616=80024$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 03-10-2021 - 14:29

HOPE

Yesterday is history, tomorrow is a mystery, but today is a gift. That why it's called the present.

#7 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2093 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 03-10-2021 - 16:08

Hy vọng em làm đúng. (theo Supermember's style).
Số tam giác tạo thành từ 80 nút lưới là :
$C_{80}^{3}=82160$
Trong đó, số tam giác suy biến trên đường ngang và dọc là :
$8C_{10}^{3}+10C_{8}^{3}=1520$
Số tam giác suy biến trên đường xiên là :
$2\left ( 2\sum_{k=3}^{8}C_{k}^{3}+C_{8}^{3} \right )=2\left ( 252+56 \right )=616$
Vậy số tam giác tạo thành trên lưới 7x9 là :
$82160-1520-616=80024$

Không "đơn giản" như vậy đâu !
 


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#8 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2093 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 04-10-2021 - 10:13

 

Cho lưới ô vuông $7\times 9$ (gồm tất cả $80$ điểm nút). Hãy tính xem có bao nhiêu hình tam giác được tạo bởi các điểm nút của lưới ?
 

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, lấy các điểm $A(0;7)$ ; $B(9;7)$ ; $C(9;0)$

Xét lưới ô vuông 7x9 gồm $80$ điểm nút là các ĐIỂM NGUYÊN nằm tại đỉnh, trên cạnh và bên trong hình chữ nhật $OABC$

Gọi các điểm nguyên trên cạnh OA, giữa O và A (từ O đến A) là $O_1,O_2,...,O_6$

      các điểm nguyên trên cạnh AB, giữa A và B (từ A đến B) là $A_1,A_2,...,A_8$

      các điểm nguyên trên cạnh BC, giữa B và C (từ B đến C) là $B_1,B_2,...,B_6$

      các điểm nguyên trên cạnh CO, giữa C và O (từ C đến O) là $C_1,C_2,...,C_8$

+ Gọi $D$ là tập các đường thẳng theo phương Ox và Oy :

   Có $8$ đường thẳng thuộc $D$ đi qua $10$ điểm nút và $10$ đường thẳng thuộc $D$ qua $8$ điểm nút.

+ Gọi $E$ là tập các đường thẳng có hệ số góc là $\pm 1$ : 

  - Số đường thẳng thuộc $E$ đi qua $8$ điểm nút là $6$ đường ($OA_7,C_8A_8,C_7B,AC_2,A_1C_1,A_2C$)

  - Số đường thẳng thuộc $E$ đi qua đúng $7$ điểm nút là $4$ đường

  - Số đường thẳng thuộc $E$ đi qua đúng $6$ điểm nút là $4$ đường

  - Số đường thẳng thuộc $E$ đi qua đúng $5$ điểm nút là $4$ đường

  - .........................................

  - .........................................

  - Số đường thẳng thuộc $E$ đi qua đúng $3$ điểm nút là $4$ đường

+ Gọi $F$ là tập các đường thẳng có hệ số góc là $\pm 1/2$ và $\pm 2$ :

  - Số đường thẳng thuộc $F$ đi qua đúng $5$ điểm nút là $16$ ($8$ đường có hệ số góc là $1/2$ qua $O,O_1,O_2,O_3,B,B_1,B_2,B_3$ và $8$ đường tương ứng có hệ số góc $-1/2$)

  - Số đường thẳng thuộc $F$ đi qua đúng $4$ điểm nút là $36$ (4 đường có hệ số góc $1/2$ qua $C_6,C_7,A_6,A_7$, 14 đường có hệ số góc $2$ qua $O,C_8,C_7,...,C_3,B,A_8,A_7,...,A_3$ và 18 đường có hệ số góc âm tương ứng)

  - Số đường thẳng thuộc $F$ đi qua đúng $3$ điểm nút là $16$ (4 đường có hệ số góc $1/2$ qua $C_4,C_5,A_4,A_5$, 4 đường có hệ số góc $2$ qua $O_2,O_3,B_2,B_3$ và 8 đường có hệ số góc âm tương ứng)

+ Gọi $G$ là tập các đường thẳng có hệ số góc là $\pm 1/3$ và $\pm 3$ :

  - Số đường thẳng thuộc $G$ đi qua $4$ điểm nút là $10$ (5 đường có hệ số góc $1/3$ qua $O,O_1,O_2,O_3,O_4$ và 5 đường có hệ số góc âm tương ứng)

  - Số đường thẳng thuộc $G$ đi qua đúng $3$ điểm nút là $56$ (tự tìm xem)

+ Gọi $H$ là tập các đường thẳng có hệ số góc là $\pm 1/4$ và $\pm 4$ :

  - Số đường thẳng thuộc $H$ đi qua $3$ điểm nút là $24$

+ Gọi $J$ là tập các đường thẳng có hệ số góc là $\pm 2/3$ và $\pm 3/2$ :

  - Số đường thẳng thuộc $J$ đi qua $4$ điểm nút là $4$

  - Số đường thẳng thuộc $J$ đi qua $3$ điểm nút là $48$

+ Gọi $K$ là tập các đường thẳng có hệ số góc là $\pm 3/4$ và $\pm 4/3$ :

  - Số đường thẳng thuộc $K$ đi qua $3$ điểm nút là $8$

Vậy có tất cả $8$ đường đi qua $10$ điểm nút ; $16$ đường qua đúng $8$ điểm nút ; $4$ đường qua đúng $7$ điểm nút ; $4$ đường qua đúng $6$ điểm nút ; $20$ đường qua đúng $5$ điểm nút ; $54$ đường qua đúng $4$ điểm nút ; $156$ đường qua đúng $3$ điểm nút.

$\Rightarrow$ số tam giác lập thành từ các điểm nút là :

$C_{80}^{3}-8C_{10}^{3}-16C_{8}^{3}-4C_{7}^{3}-4C_{6}^{3}-20C_{5}^{3}-54C_{4}^{3}-156C_{3}^{3}=79512$ (tam giác)


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#9 Nobodyv3

Nobodyv3

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 216 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Hốc bà Tó - phấn đấu làm ĐHV hậu học đại
  • Sở thích:Defective Version

Đã gửi 04-10-2021 - 17:36

Wow...mới là bài warm up mà đọc muốn tai biến mạch máu não, mấy bài kế chắc... nhồi máu cơ tim luôn!
HOPE

Yesterday is history, tomorrow is a mystery, but today is a gift. That why it's called the present.

#10 perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản trị
  • 4543 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Đàn guitar, ngắm người mình yêu, học toán

Đã gửi 04-10-2021 - 18:10

Đặt 3 điểm $A,B,C$ được chọn có tọa độ lần lượt là $(a,b),(c,d),(e,f)$. Xét tích vô hướng sau: $v = \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = (c-a)(e-a) + (d-b)(f-b)$.

Chúng ta có thể đếm dễ dàng hơn bằng cách đếm số nghiệm nguyên (giới hạn theo hình chữ nhật ban đầu) của phương trình $v=0$ không?


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D

$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$




I'm still there everywhere.

#11 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2093 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 05-10-2021 - 07:10

Wow...mới là bài warm up mà đọc muốn tai biến mạch máu não, mấy bài kế chắc... nhồi máu cơ tim luôn!

Bài tiếp theo nhé. Bài này có vẻ "dễ hơn hẳn" bài trên (nhưng cũng nên "dễ vừa vừa" thôi, dễ quá giải mất hứng, đúng không bạn :D )

 

Hãy đếm số hình chữ nhật $a\sqrt{2}\times b\sqrt{2}$ (với $a,b$ nguyên dương và $a< b$) có các đỉnh thuộc các điểm nút của lưới ô vuông $7\times 9$ ?
 


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#12 hxthanh

hxthanh

  • Quản trị
  • 3437 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 13-08-2022 - 12:34

Để lại một chấm cho đỡ trôi :luoi:

to be continued…
Cuộc sống thật nhàm chán! Ngày mai của ngày hôm qua chẳng khác nào ngày hôm qua của ngày mai, cũng như ngày hôm nay vậy!





Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: tổ hợp

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh