Cho $a,b,c> 0$. CMR:

        $(a+\frac{bc}{a})(b+\frac{ac}{b})(c+\frac{ab}{c})\geq 4\sqrt[3]{(a^3+b^3)(b^3+c^3)(c^3+a^3)}$

Đặt $\sqrt{x-1}=a,\sqrt[3]{2-x}=b= > a^2+b^3=1$

PT $< = > a+b< 1< = > \sqrt{1-b^3}+b< 1< = > \sqrt{1-b^3}< 1-b$

ĐK :$b< 1$$1-b^3< (1-b)^2=b^2-2b+1< = > b^3+b^2-2b> 0< = > b(b^2+b-1)> 0< = > b(b-1)(b+2)> 0< = > -1< b< 1$

Cho các số thực $a,b,c$ thỏa mãn: $abc=2\sqrt{2}$. Tìm GTNN của:

$P=\sum \frac{a^{6}+b^{6}}{a^{4}+b^{4}+a^{2}b^{2}}$

Đặt $a^2=x,b^2=y,c^2=z= > xyz=(abc)^2=(2\sqrt{2})^2=8$

Ta có: $P=\sum \frac{x^3+y^3}{x^2+y^2+xy}=\sum \frac{(x+y)(x^2-xy+y^2)}{x^2+xy+y^2}\geq \sum \frac{x+y}{3}=\frac{2\sum x}{3}\geq \frac{2.3\sqrt[3]{xyz}}{3}=2\sqrt[3]{xyz}=2\sqrt[3]{8}=4$

cho x,y,z là các số thực dương thoả mãn $(x+z)(z+y)=1$

tìm min của $ \frac{1}{(x-y)^2}+\frac{1}{(z+x)^2}+\frac{1}{(z+y)^2}$

Ta có:$P=\frac{1}{(x-y)^2}+(\frac{1}{x+z}-\frac{1}{z+y})^2+\frac{2}{(x+z)(z+y)}=\frac{1}{(x-y)^2}+\frac{(x-y)^2}{(x+z)^2(z+y)^2}+\frac{2}{1}=\frac{1}{(x-y)^2}+(x-y)^2+2\geq 2\sqrt{\frac{1}{(x-y)^2}.(x-y)^2}+2=2+2=4= > P\geq 4$

PT $< = > 3\geq (2x+1)\sqrt{3x+1}+4x+2< = > 1-4x\geq (2x+1)\sqrt{3x+1}< = > (1-4x)^2\geq (3x+1)(2x+1)^2$

Theo Bunhiacopxki có :$\sqrt{x}+\sqrt{2-x}\leq \sqrt{2(x+2-x)}=2$

                                     $\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{2-x}\leq \sqrt[4]{8(x+2-x)}=\sqrt[4]{16}=2$

Cộng theo vế $= > \sqrt{x}+\sqrt[4]{x}+\sqrt{2-x}+\sqrt[4]{2-x}\leq 2+2=4$

 Vậy để pt có nghiệm thì $m\geq 4$

Đây chính là bài này http://diendantoanho...view=getnewpost

Cho tam giác ABC có đường cao $AD,BE,CF$ .Từ $A,B,C$ hạ $AM,BN,CP$ lần lượt vuông góc với $EF,DF,DE$. Kí hiệu $p$ là chỉ chu vi tam giác .CMR : 

                                    $p_{ABC}.p_{MNP}\geq p_{DEF}^2$

Cho $\Delta ABC$ đều và điểm P nằm trong tam giác đó. Từ P hạ PD,PE,PF lần lượt vuông góc với BC,CA,AB. CMR: AD ,BE ,CF đồng quy $< = > P$ nằm trên đường trung tuyến $\Delta ABC$

Cho $a,b,c$ dương thỏa mãn $12(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})=3+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

 

Chứng minh rằng: $\frac{1}{4a+b+c}+\frac{1}{a+4b+c}+\frac{1}{a+b+4c}\leq\frac{1}{6}$

Theo AM-GM có:$3+\sum \frac{1}{a}=12(\sum \frac{1}{a^2})\geq 4(\sum \frac{1}{a})^2= > 4(\sum \frac{1}{a})^2-\sum \frac{1}{a}-3\leq 0< = > (\sum \frac{1}{a}-1)(4\sum \frac{1}{a}+3)\leq 0= > \sum \frac{1}{a}\leq 1$

Theo Bunhiacopxki có: $\sum \frac{6^2}{4a+b+c}=\sum \frac{(1+1+1+1+1+1)^2}{a+a+a+a+b+c}\leq 4\sum \frac{1}{a}+\sum \frac{1}{b}+\sum \frac{1}{c}=6(\sum \frac{1}{a})= > \sum \frac{1}{4a+b+c}\leq \frac{\sum \frac{1}{a}}{6}\leq \frac{1}{6}$

Dấu = xảy ta khi $a=b=c=3$ 

Cho a>0 .Giải phương trình sau :$a^3+3a^2-1=0$

Cho $x,y,z$ thỏa mãn điều kiện $\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{1}{y}-\frac{1}{z}$. Chứng minh rằng:

$\frac{x+y}{2x-y}+\frac{y+z}{2z-y}\geq4$.

Từ điều kiện thì $\frac{1}{z}=\frac{2}{y}-\frac{1}{x}=\frac{2x-y}{xy}= > z=\frac{xy}{2x-y}$.Thay vào biểu thức  có:

 $\frac{x+y}{2x-y}+\frac{y+\frac{xy}{2x-y}}{\frac{2xy}{2x-y}-y}=\frac{x+y}{2x-y}+\frac{3xy-y^2}{y^2}=\frac{x+y}{2x-y}+\frac{3x-y}{y}\geq 4< = > xy+y^2+6x^2-5xy+y^2\geq 4y(2x-y)< = > 6x^2+6y^2-12xy\geq 0< = > 6(x-y)^2\geq 0$(Luôn  đúng và ta có ĐPCM)

Bài toán :

  Cho$a,b,c> 0,a+b+c=1$.Tìm giá trị lớn nhất của :

      $A=\frac{a}{a^3+b^2+c}+\frac{b}{b^3+c^2+a}+\frac{c}{c^3+a^2+b}$

Cho a,b,c là  ba số không âm thỏa mãn  $a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc=4$.CMR: a+b+c$\leq 3$

Theo nguyên lý Dirichle không mất tính tổng quát giả sử $(a-1)(b-1)\geq 0= > abc\geq ac+bc-c= > 4=a^2+b^2+c^2+abc\geq a^2+b^2+c^2+ac+bc-c= > 8\geq 2a^2+2b^2+2c^2+2ac+2bc-2c= > 9\geq (a+b+c)^2+(a-b)^2+(c-1)^2\geq (a+b+c)^2= > (a+b+c)^2\leq 9= > a+b+c\leq 3$

$\Delta ABC$ có $AB=c,BC=a,CA=b$ và các trung tuyến tương ứng $m_a,m_b,m_c$. Tìm $Min$ của $P=\frac{a^3}{m_a^3}+\frac{b^3}{m_b^3}+\frac{c^3}{m_c^3}$

Theo BDT $x^3+y^3+z^3\geq \frac{(x+y+z)^3}{9}$ và công thức đường trung tuyến ta có:

 $P=\frac{a^3}{m_{a}^3}+\frac{b^3}{m_{b}^3}+\frac{c^3}{m_{c}^3}\geq \frac{(\frac{a}{m_{a}}+\frac{b}{m_{b}}+\frac{c}{m_{c}})^3}{9}$(1)

Mà $\frac{a}{m_{a}}+\frac{b}{m_{b}}+\frac{c}{m_{c}}=\frac{a}{\sqrt{\frac{2(b^2+c^2)-a^2}{4}}}+\frac{b}{\sqrt{\frac{2(c^2+a^2)-b^2}{4}}}+\frac{c}{\sqrt{\frac{2(a^2+b^2)-c^2}{4}}}=2(\sum \sqrt{\frac{a^2}{2(b^2+c^2)-a^2}})=2(\sum \frac{\sqrt{3}.a^2}{(2(b^2+c^2)-a^2).3a^2})\geq 2.\sum \frac{a^2\sqrt{3}}{\frac{2(b^2+c^2)-a^2+3a^2}{2}}=4.\sum \frac{a^2\sqrt{3}}{a^2+b^2+c^2}=4\sqrt{3}.\frac{\sum a^2}{\sum a^2}=4\sqrt{3}$(2)

Từ (1),(2)$= > P\geq \frac{(4\sqrt{3})^3}{9}$

Dấu = xảy ra khi a=b=c hay tam giác ABC đều

Bài toán :Cho tam giác ABC và đường tròn tâm K bất kì đi qua B và C và cắt AB,AC tại E,D. Gọi M,N lần lượt là điểm đối xứng của A qua CE, BD. Gọi H là giao điểm của BD,CE. Vẽ các đường tròn ngoại tiếp tam giác MHE và NHD giao nhau tại Q. Gọi F là trung điểm DE. 

            CMR: A,F,Q thẳng hàng

Cho $a,b,c> 0$ .CMR :

  $3\sum a^4(b^2+c^2)+3a^2b^2c^2\geq 7abc(\sum a^3)$

Đặt $\frac{a+b}{a-b}=x,\frac{b+c}{b-c}=y,\frac{c+a}{c-a}=z= > xy+yz+xz=\frac{(a+b)(b+c)}{(a-b)(b-c)}+\frac{(b+c)(c+a)}{(b-c)(c-a)}+\frac{(a+b)(c+a)}{(a-b)(c-a)}=-1$

Ta có :$(x+y+z)^2\geq 0= > x^2+y^2+z^2\geq -2(xy+yz+xz)=(-2)(-1)=2$

$= > (\frac{a+b}{a-b})^2+(\frac{b+c}{b-c})^2+(\frac{c+a}{c-a})^2\geq 2$

Ta có :$3-\frac{5}{y+42x}=\frac{101}{17.\sqrt{2y}},3+\frac{5}{y+42x}=\frac{103}{17.\sqrt{x}}$

Lấy 2 phương trình cộng cho nhau thì $\frac{101}{17\sqrt{2y}}+\frac{103}{17\sqrt{x}}= 6$

Lấy 2 phương trình trừ cho nhau thì :$\frac{103}{17\sqrt{x}}-\frac{101}{17\sqrt{2y}}=\frac{10}{y+42x}$

Nhân 2 vế của phương trình vừa tìm được cho nhau thì $(\frac{101}{17\sqrt{2y}}+\frac{103}{17\sqrt{x}}).(\frac{103}{17\sqrt{x}}-\frac{101}{17\sqrt{2y}})=6.\frac{10}{y+42x}=\frac{60}{y+42x}< = > \frac{10609}{289x}-\frac{10201}{578y}=\frac{60}{y+42x}< = > \frac{21218y-10201x}{578xy}=\frac{60}{y+42x}< = > 21218y^2+880955xy-428442x^2=34680xy< = > 21218y^2+846275xy-428442x^2=0< = > 21218(\frac{y}{x})^2+846275.(\frac{y}{x})-428442=0$

Đặt $\frac{y}{x}=a< = > 21218a^2+846275a-428442=0< = > (10609a+428842)(2a-1)=0< = > a=\frac{1}{2},a=\frac{-428842}{10609}$(loại do $a> 0$) 

$= > a=\frac{1}{2}= > \frac{y}{x}=\frac{1}{2}= > x=2y$.Đến đây thay vào hệ là ra

Từ phương trình đầu ta có :$x^6+3x^4-6x^2y-8y^3=0< = > (x^2-2y)(x^4+2x^2y+4y^2)+3x^2(x^2-2y)=0< = > (x^2-2y)(x^4+2x^2y+4y^2+3x^2)=0< = > x^2-2y=0< = > x^2=2y$

Thay vào phương trình thứ 2 ta được:

 $2012^x.(\sqrt{x^2-2x+5}-x+1)=4024=2012^1.2$

$= > 2012^x=2012^1 ,\sqrt{x^2-2x+5}-x+1=2< = > x=1< = > y=\frac{1}{2}$

Bài toán này là công cụ mạnh hơn của bài toán : Cho $a,b,c> 0$.CMR: $\sum \frac{a^2}{b}\geq \sum a$

Theo bđt AM-GM có :$\sum \frac{2a}{a^6+b^4}\leq \sum \frac{2a}{2a^3b^2}=\sum \frac{1}{a^2b^2}\leq \sum \frac{1}{a^4}$(đpcm)

Dấu = xảy ra khi a=b=c=1

Cho $a,b,c> 0$.CMR :

  $\sum \frac{a^2}{b}\geq \sum \sqrt{a^2-ab+b^2}$

Đặt $x^2=a\geq 0$.PT $< = > \sqrt[4]{a^2-5a+4}+2\sqrt{a}=\sqrt[4]{4a^2-16a}+\sqrt{a-1}< = > (\sqrt[4]{4a^2-16a}-\sqrt[4]{a^2-5a+4})+(\sqrt{a-1}-2\sqrt{a})=0< = > \frac{4a^2-16a-a^2+5a-4}{(\sqrt[4]{4a^2-16a}+\sqrt[4]{a^2-5a+4})(\sqrt{4a^2-16a}+\sqrt{a^2-5a+4})}-\frac{a-1-4a}{2\sqrt{a}+\sqrt{a-1}}=0= > \frac{(3a+1)(a-4)}{(\sqrt[4]{4a^2-16a}+\sqrt[4]{a^2-5a+4})(\sqrt{4a^2-16a}+\sqrt{a^2-5a+4})}-\frac{3a+1}{2\sqrt{a}+\sqrt{a-1}}=0= > 3a+1=0= > a=\frac{-1}{3}$(loại do a>0)

$= >$PT vô nghiệm

Cho x>1. Tìm giá trị nhỏ nhất của A=$x+1+\frac{1}{x-1}$

Theo AM-GM có:$A=(x-1+\frac{1}{x-1})+2\geq 2\sqrt{(x-1).\frac{1}{x-1}}+2=2+2=4$