cho các số duơng a,b,c thỏa mãn a+b+c=3
a) chứng minh rằng:$2(ab+bc+ca)+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\geqslant 9$b) Chứng minh rằng: $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\geq ab+bc+ca$
Lời giải
$a)$ Theo BĐT $AM-GM$ ta có $ab+bc+ca\geq \sqrt{3abc(a+b+c)}=3\sqrt{abc}$
$\Rightarrow VT\geq 3\sqrt{abc}+3\sqrt{abc}+\frac{3}{abc}\geq 3\sqrt[3]{27}=9$
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$
$b)$ BĐT $\Leftrightarrow \sum \begin{pmatrix} a^2+2\sqrt{a} \end{pmatrix}\geq (a+b+c)^2=3$
Áp dụng BĐT $AM-GM$ ta có
$\sum \begin{pmatrix} a^2+2\sqrt{a} \end{pmatrix}\geq \sum 3\sqrt[3]{a^3}=\sum 3a=9$
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$