Tìm hàm $f$:$\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ thỏa mãn: $f(m+f(n))=f(m)+n$ $\forall$ $m,n\in \mathbb{N}$

Cho a, b, c nguyên dương sao cho $\frac{ab}{a+b},\frac{bc}{b+c}, \frac{ca}{c+a}$ đều là các số nguyên. CMR: $(a,b,c)> 1$

Cho a, b, c dương và $a+b+c=3$.  CMR:$\sum \frac{1}{2+a^{2}+b^{2}}\leqslant \frac{3}{4}$

Cho $x, y, z\geqslant \frac{2}{3}$ và $x+y+z=3$. CMR: $x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2}\geqslant xy+yz+zx$

Cho a, b, c dương thỏa mãn : a+b+c=3. CMR: $(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}+3(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})\geqslant 6(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

CMR: Với mỗi số tự nhiên n cho trước, số có dạng : $2n^{3k}+4n^{k}+10$ (k là số tự nhiên) không thể là tích hai số tự nhiên liên tiếp.

Cho a, b, c dương thoả mãn : a+b+c=3. CMR:$(a^{2}-ab+b^{2})(b^{2}-bc+c^{2})(c^{2}-ca+a^{2})\leqslant 12$

Cho a, b, c dương thoả mãn : $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$. CMR: $\sum \frac{bc}{a^{2}+1}\leqslant \frac{3}{4}$

Cho a, b, c không âm và không có hai số nào đồng thời bằng 0. CMR: $\sum \frac{a}{b+c}\geqslant \frac{13}{6}-\frac{2(ab+bc+ca)}{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}$

Cho a, b, c không âm và ab+bc+ca=1. Với $r\geq 0$. CMR: $\sum \frac{(1-bc)^{2}+rbc}{b^{2}+rbc+c^{2}}\geqslant \frac{3r+4}{r+2}$

Tìm a, b nguyên sao cho với mọi n nguyên dương ta có: $n\mid a^{n}+b^{n+1}$

Cho x, y, z dương và xyz=1. CMR: $\sum \frac{1}{\sqrt{x^{5}-x^{2}+3xy+6}}\leqslant 1$

Cho m, n nguyên dương. CMR: $S=\frac{1}{m}+\frac{1}{m+1}+...+\frac{1}{m+n}$ không phải là số nguyên.

Cho a, b, c dương thoả mãn abc=1. CMR: $\sum \sqrt{\frac{a+b}{b+1}}\geqslant 3$

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Dựng tam giác DEF ngoại tiếp tam giác ABC sao cho FE chứa A, DF chứa B và DE chứa C thoả mãn điều kiện $\widehat{BCD}=\widehat{CAE}=\widehat{ABF}$$=\alpha$. Tìm $\alpha$ để diện tích DEF lớn nhất.

Tìm x, y nguyên dương thoả mãn : $\left\{\begin{matrix} x^{30}+ y^{4}=(x+y)^{2012} & & \\ y^{30}= (y^{4}+x^{2012})x^{2012}& & \end{matrix}\right.$

Cho các số thực dương x, y, z, t thoả mãn : $x+y+z+t=3$ . CMR: $x^{2}y^{2}z^{2}+y^{2}z^{2}t^{2}+z^{2}t^{2}x^{2}+t^{2}x^{2}y^{2}$$\leqslant 1$

Tìm a, b nguyên dương thỏa mãn: $2a+1$ và $2b-1$ nguyên tố cùng nhau và $a+b$ là ước của $4ab+1$

Cho tam giác ABC nội tiếp (O), M là trung điểm BC, N là giao điểm của AM và (O). Tiếp tuyến tại M cắt  đường thẳng qua N vuông góc với AO tại X. Các điểm Y, Z được xác định tương tự. CMR: X, Y, Z thẳng hàng.

.

Có tất cả bao nhiêu bộ 4 số nguyên dương thỏa mãn điều kiện: $(a+b+c)^{2}+32=3^{d}$

Cho hai đường tròn $(O_{1}),(O_{2})$ ngoài nhau, AB là tiếp tuyến chung ngoài ( A nằm trên $(O_{1})$). Gọi C là điểm đối xứng của A qua $O_{1}O_{2}$, D là trung điểm của AC, E là giao điểm của BD và $(O_{2})$. CMR: CE tiếp xúc với $(O_{2})$

Cho a, b, c là các số thực dương. CMR: $a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc\geqslant \sum bc\sqrt{2(b^{2}+c^{2})}$

Cho a, b, c dương thỏa mãn :abc=1. CMR: $1+a+b+c\geqslant 2\sqrt{1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}$

Cho a, b, c dương .CMR: $\sum a+\sum \frac{a^{2}}{b}\geqslant \frac{6(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{a+b+c}$

Cho F là điểm trên đáy AB của hình thang ABCD sao cho DF=CF. E là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Gọi $(O_{1}),(O_{2})$

là đường tròn ngoại tiếp các tam giác ADF và BCF. CMR: $EF\perp O_{1}O_{2}$