cho mình hỏi sao bạn biết đặt chỗ này vậy

À chẳng qua là đặt để mất đi dấu $"-"$ thôi 

Với $n$ là số nguyên dương, chứng minh rằng $5^{2n-1}.2^{n+1}+3^{n+1}.2^{2n-1}$ $\vdots$ $38$

Đặt: $2n-1=2k+1$ $(k \in N)$

$\Rightarrow n+1=k+2$

Khi đó: $5^{2n-1}.2^{n+1}+3^{n+1}.2^{2n-1}=5^{2k+1}.2^{k+2}+3^{k+2}.2^{2k+1}$

$=5.25^k.4.2^k+9.3^k.2.4^k$

$=20.50^k+18.12^k$

$=19 \left (50^k+12^k \right )+\left (50^k-12^k \right )$         $\vdots$ $38$

Vế phải là mũ $3$ mới phải 

Mình nhầm :3 

P/s: Long Vá xóa bài giùm anh 

 

Bài toán 31 (Võ Quốc Bá Cẩn). Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=5$. Chứng minh

$$a^2b+c^2a+2abc \leq 20.$$

 

Lời giải bài 31. Đặt $f(a,b,c)=a^2b+c^2a+2abc$

Ta xét $2$ trường hợp.

Nếu $a \geqslant c$, ta sẽ chứng minh 

$$f(a,b,c) \leqslant f(a,b,a)$$

$$\Leftrightarrow (a-c)(a+c+2b) \geqslant 0$$

Nếu $a \leqslant c$, ta sẽ chứng minh 

$$f(a,b,c) \leqslant f(c,b,c)$$

$$\Leftrightarrow b(c^2-a^2)+c^2(c-a)+2bc(c-a) \geqslant 0$$

Do đó ta chỉ cần chứng minh BĐT trong trường hợp $a=c=\frac{5-b}{2}$

$$\Leftrightarrow \left ( \frac{5-b}{2}\right )^2b+\left ( \frac{5-b}{2} \right)^3+2b\left (\frac{5-b}{2} \right )^2 \leqslant 20$$

$$\Leftrightarrow  b^3-9b^2+15b-7 \leqslant 0$$

$$\Leftrightarrow (b-7)(b-1)^{2} \leqslant 0$$

BĐT cuối luôn đúng do $b<5$

Bài toán được chứng minh. Xảy ra đẳng thức khi $a=c=2,b=1$

Bài toán 32.  (Vasile Cirtoaje) Cho các số thực dương $a,b,c,d$. Chứng minh rằng 

$$2(a^3+1)(b^3+1)(c^3+1)(d^3+1) \geqslant (1+abcd)(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)(1+d^2)$$

Bài 35:(VQBC) Cho $a,b,c$ là các số thực ko âm, chứng minh rằng : 

$$2(\frac{a}b{+\frac{b}c{+\frac{c}{a}}})+1\geq \frac{21(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{(a+b+c)^{2}}$$

 

Lời giải bài 35. (Cách khác)

Sử dụng bổ đề 

$$(x+y+z)^3 \geqslant \frac{27}{4}(a^2b+b^2c+c^2a+abc)$$

ta có

$$left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \right )^3 \geqslant \frac{27}{4}\left( \frac{a^3+b^3+c^3}{abc}+1 \right)$$

Do đó BĐT cần chứng minh trở thành 

$$54\left( \frac{a^3+b^3+c^3}{abc}+1 \right) \geqslant \left( \frac{21(a^2+b^2+c^2)}{(a+b+c)^2}-1\right)^2$$

$$\Leftrightarrow 54\left( \frac{a^3+b^3+c^3}{abc}-3 \right) \geqslant \left( \frac{441(a^2+b^2+c^2)^2}{(a+b+c)^4}-49 \right)-\left(\frac{42(a^2+b^2+c^2}{(a+b+c)^2}-14\right)$$

$$\Leftrightarrow \frac{54(a+b+c)(\sum a^2-\sum ab)}{abc} \geqslant \frac{14(\sum a^2-\sum ab)\left[21\sum a^2+7(a+b+c)^2\right]}{(a+b+c)^4}-\frac{28(\sum a^2-\sum ab)}{(a+b+c)^2}$$

$$\Leftghtarrow \left(\sum a^2-\sum ab \right)\left( \frac{27(a+b+c)}{abc}+\frac{14}{(a+b+c)^2}-\frac{147\sum a^2+49(a+b+c)^2}{(a+b+c)^4} \right)$$

Do đó ta chỉ cần chứng minh 

$$\frac{27(a+b+c)}{abc}+\frac{14}{(a+b+c)^2}-\frac{147\sum a^2+49(a+b+c)^2}{(a+b+c)^4} \geqslant 0$$

Chuẩn hóa $a+b+c=1$ thì ta cần chứng minh 

$$\frac{27}{abc}+14 \geqslant 147(a^2+b^2+c^2)+49$$

$$\Leftrightarrow 147abc(a^2+b^2+c^2)+35abc \leqslant 27$$

BĐT cuối luôn đúng do 

$$abc \leqslant \frac{1}{27}$$

và 

$$a^2+b^2+c^2 \leqslant (a+b+c)^2 =1$$

BĐT được chứng minh. Xảy ra đẳng thức khi $a=b=c$

em 230  

19/5 mới có kết quả chính xác .
http://violympic.vn/...il.aspx?ID=1274

cái thông báo đó là của năm ngoái, đăng ngày 28/4/2014, lịch mở cũng ghi rõ là 19/5/2014. Lần sau bạn nên đọc kỹ hơn!

À há....nhầm @@ 

Cho $\Delta ABC$ , trên BC lấy M, N sao cho $\widehat{BAM}=\widehat{CAN}$

CMR:  a) $\frac{BM}{CN}.\frac{CM}{BN}=(\frac{AM}{AN})^2$

             b) $\frac{BM}{CN}.\frac{BN}{CM}=(\frac{AB}{AC})^2$

             c) $\frac{BM}{CN}+\frac{CM}{BN}\geq 2.\frac{AM}{AN}$

Bài 4:

Ta có: $\left\{\begin{matrix} a,b,c \epsilon [-1;2] & & \\ a+b+c=0 & & \end{matrix}\right.$

$\rightarrow (a+1)(2-a) \geq 0$

$\Rightarrow -a^2+3a+2 \geq 0$

$\rightarrow a^2 \leq 3a+2 (1)$

Tương tự:

$b^2 \leq 3b+2 (2)$

$c^2 \leq 3c+2 (3)$

Cộng theo vế (1), (2) và (3) ta được:

$a^2+b^2+c^2 \leq 3(a+b+c)+6=6$ 

Bài 1: $\rightarrow$ dễ.

Bài 2: 

a) Cộng 2PT ta được: $(x^2+y^2)\sqrt{x^2+y^2}=125$

$\rightarrow x^2+y^2=25 (1)$

$\rightarrow xy=12(2)$

(1)+2(2) ta được: $(x+y)^2=49 \rightarrow x+y=\pm7$

$\rightarrow x,y$ là 2 nghiệm của các phương trình: $X^2-7X+12=0$ và $X^2+7X+12=0$

$\rightarrow (x,y)=(3;4),(4;3),(-3;-4),(-4;-3)$

b) Với $x=-1$, thay vào PT đầu ta được:

$-m-(m^2+1)+m^2+m+1=0 \rightarrow$ luôn đúng.

$\rightarrow x=-1$ là nghiệm của PT

Để PT có 3 nghiệm phân biệt thì $m \neq 0$

Mặt khác: PT $\Leftrightarrow (x+1)[mx^2-(m^2+m+1)x+m+1]=0$

Xét $\Delta =(m^2+m+1)^2-4m(m+1)=[m(m+1)+1]^2-4m(m+1)>0$

Đặt $t=m(m+1)\rightarrow (t+1)^2-4t>0\Leftrightarrow (t-1)^2>0\rightarrow t\neq 1\rightarrow m(m+1)\neq 1\rightarrow m\neq \frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$

Tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tiền Giang 2015-2016

3.2

$C-S$ 

$\sum \frac{x^4}{(y-1)^2} \geq \frac{1}{3}.\left (\sum \frac{x^2}{y-1} \right )^2 \geq \frac{1}{3}.\left ( \frac{(x+y+z)^2}{x+y+z-3} \right )^2$

Cần chứng minh: $\left ( \frac{(x+y+z)^2}{x+y+z-3} \right )^2\geq 144$

$\Leftrightarrow (x+y+z-6)^2\geq0$

ta có: $(\sqrt{2})^2-(\sqrt[3]{2})^2 = \sqrt{2}-1$

thì cái căn thức ban đầu = $\frac{\sqrt{2}+\sqrt[3]{2}}{\sqrt{2}-1}=\frac{(\sqrt{2}+\sqrt[3]{2})(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}$

Đến đây được rồi ha     

sai rồi nè  

$\frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt[3]{2}}$

 

Chú ý: Cách gõ công thức Toán.

            Cách đặt tiêu đề bài viết đúng quy định.

$\frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt[3]{2}}=\frac{1}{\sqrt[3]{2}(\sqrt[6]{2}-1)}=\frac{\sqrt[3]{4}(\sqrt[6]{2}+1)}{2(\sqrt[3]{2}-1)}=\frac{\sqrt[3]{4}(\sqrt[6]{2}+1)(\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}+1)}{2}$

cảm ơn 

 nha. Giúp mình bài 1 được không

Cho mình hỏi các pro cái nha! Thanhs very much...

1. Cho    f_(x) +f_{($\left ( \frac{1}{1-x} \right )$) = x}

     _{Xác định công thức tính giá trị}  f_(x) theo x.

2.Cho P_(x) là đa thức bậc 4, thoả mãn:   P_(-1) =0 ; P_(x) - P_(x-1) =x(x+1)(2x+1)

              Tính P₍₁₂₃₎ 

3. Cho f_(x) +3f_{($\frac{1}{x}$)} =$x^{2}$   xác định với x$\neq$0.

           Tính f₍₅₀₎ ; f₍₁₀₀₎

Bài 43:Cho hình bình hành ABCD sao cho AC là đường chéo lớn . Từ C vẽ đường CE và CF lần lượt vuông góc cới các đường thẳng AB và AD  Chứng minh rằng  AB.AE + AD.AF = AC² 

Bài 42: Cho tam giác ABC với độ dài ba đường cao là 3, 4, 5. Hỏi tam giác ABC là tam giác gì ? 

Bài 31:Cho hình vuông ABCD. Điểm M thuộc đường chéo BD. E,F lần lượt là hình chiếu của M trên AB, AD.

Xác định điểm M để  S_CEF nhỏ nhất.

 

Bài 117 (CĐTMO 2001) : Xét các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn điều kiện 

                                                                          $21ab+2bc+8ca\leq 12$
                                        Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}.$ 

 

Spoiler

Chào buổi sáng ae

 

Bài toán này đã có khá nhiều cách giải trên diễn đàn

http://diendantoanho...-frac2b-frac3c/

http://diendantoanho...c3cgeq-frac152/

Thêm một cách mà mình vừa nghĩ ra   

Từ điểm rơi của bài toán là $(a,b,c)=\left ( \frac{1}{3};\frac{4}{5};\frac{3}{2} \right )$

$\Rightarrow 36a=15b=8c=12$

Do đó ta đặt: $\left\{\begin{matrix} 36a=x & & & \\ 15b=y & & & \\ 8c=z & & & \end{matrix}\right.$

Bài toán trở thành: 

Cho $x,y,z>0$ thõa mãn: $\frac{7xy}{180}+\frac{yz}{60}+\frac{zx}{36} \leq 12$.TÌm GTNN của:

$P=\frac{36}{x}+\frac{30}{y}+\frac{24}{z}$

Từ giả thiết ta có: 

$2160 \geq 7xy+3yz+5zx \geq 15\sqrt[15]{x^7y^7.y^3z^3.z^5x^5}$

$\Rightarrow x^6y^5z^4 \leq 12^5$            (Theo $AM-GM$)

Do đó: $P=6(\frac{6}{x}+\frac{5}{y}+\frac{4}{z})\geq 6.15\sqrt[15]{\frac{1}{x^6y^5z^4}} \geq 90.\sqrt[15]{\frac{1}{12^{15}}}=\frac{15}{2}$

$\Rightarrow GTNN_{P}=\frac{15}{2}$ khi $(a,b,c)=\left ( \frac{1}{3};\frac{4}{5};\frac{3}{2} \right )$

[spoiler] Đề thi vòng 16 Vio 9 năm nay cũng ra bài này [\spoiler]

 

Bài 116 (CĐTMO 2005) : Chứng minh rằng
                                                                 $\frac{a^{3}}{(b+c)^{3}}+\frac{b^{3}}{(c+a)^{3}}+\frac{c^{3}}{(a+b)^{3}}$

                                        trong đó $a,b,c$ là các số dương.

 

 

Có vẽ đề bị thiếu thì phải? 

Bài 111(Greece MO)(Nguyễn Duy Khương): Cho a,b,c là các số thực dương sao cho ab+bc+ca=1 . Cmr:

 

                           

                          $\sqrt{\frac{a^2+1}{b^2+6bc+c^2}}+\sqrt{\frac{b^2+1}{c^2+6ca+a^2}}+\sqrt{\frac{c^2+1}{a^2+6ab+b^2}}\geq \frac{3\sqrt{2}}{2}$

Áp dụng BĐT $AM-GM$ ta có:

$\sum \sqrt{\frac{a^2+1}{b^2+6bc+c^2}}=\sum \sqrt{\frac{a^2+ab+bc+ca}{(b+c)^2+4bc}}$

$=\sum \sqrt{\frac{(a+b)(c+a)}{(b+c)^2+4bc}}$

$ \geq \sum \sqrt{\frac{(a+b)(c+a)}{2(b+c)^2}}$

$\geq 3.\sqrt[6]{\frac{(a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2}{8(a+b^2)(b+c)^2(c+a)^2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$ 

Xảy ra dấu $=$ khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$

Bài 153: (Việt Nam TST 2005) 

Cho $a,b,c>0$. Chứng minh: $\left ( \frac{a}{a+b} \right )^3+\left ( \frac{b}{b+c} \right )^3+\left ( \frac{c}{c+a} \right )^3 \geq \frac{3}{8}$

Bài 146: (Vietnamese IMO Team Selection Test 1993)

Cho các số thực $a,b,c,d$ thõa mãn: $\frac{1}{2} \leq a^2+b^2+c^2+d^2 \leq 1$

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=(a-2b+c)^2+(b-2c+d)^2+(b-2a)^2+(c-2d)^2$