147: Cho $a,b,c \in [0;2]$ và $a+b+c=3$. CMR: $a^2+b^2+c^2\leq 5$

Xét tích : $(2-a)(2-b)(2-c)\leq 0$ <=> $abc-2(ab+ac+bc)\geq -4$

          Lại có : $(a+b+c)^{2}= a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(ab+bc+ac)=9$

Cộng vế ta có : $a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc\geq 5$

Mà abc $\geq$ 0 -> đpcm

Bài 149:
Cho $x,y,z>0$ thỏa $x+y+z=9$. Tìm GTLN của:
$A=\sum \frac{xy}{\sqrt{xy+2z}}$
P/s: có lẽ bài 149 đã có trên diễn đàn, nhưng hình như chưa ai giải được thì phải. Mình đăng lên để mọi người cùng thảo luận. Nếu đã có bạn đăng rồi thì thôi!

 

Mình nghĩ là x+y+z = 2 chứ nhỉ?

Thay x+y+z=2 vào ta có:

VT = $\sum \frac{xy}{\sqrt{(z+x)(z+y)}}\leq \sum \frac{1}{2}(\frac{xy}{z+x}+\frac{xy}{z+y})(BĐT phụ   ab\leq \frac{a^{2}+b^{2}}{2})=\frac{1}{2}(x+y+z)=1$ 

Bài 154: Cho a,b,c >0 thỏa mãn : a+b+c=3

Chứng minh: $\sum \frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}\leq 1$

144. Cho x + y = 1. Tìm min $\left( 1-\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)\left( 1-\frac{1}{{{y}^{2}}} \right)$

$\left( 1-\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)\left( 1-\frac{1}{{{y}^{2}}} \right)$ 

= $\left ( 1-\frac{1}{x} \right )\left ( 1+\frac{1}{x} \right )$$\left ( 1-\frac{1}{y} \right )\left ( 1+\frac{1}{y} \right )$

= $\left ( 1-\frac{x+y}{x} \right )\left ( 1-\frac{x+y}{y} \right )$$\left ( 1+\frac{x+y}{x} \right )\left ( 1+\frac{x+y}{y} \right )$

=$\left ( -\frac{x}{y} \right )\left ( -\frac{y}{x} \right )$$\left ( \frac{2x+y}{x} \right )\left ( \frac{2y+x}{y} \right )$

=$\frac{5xy+2\left ( x^{2}+y^{2} \right )}{xy}$

$\geq 5+4$    (vì x²+ y²$\geq$ 2xy theo cô si )

Dẫu bằng xảy ra khi x=y=0.5

3) Cho $\left\{\begin{matrix}a,b>0 & & \\ a+b\leq 1 & & \end{matrix}\right.$. Tìm Min $S=ab+\frac{1}{ab}$

S=16ab+$\frac{1}{ab}$$-$15ab$\geq 2\sqrt{16ab.\frac{1}{ab}}$$-$15$\frac{1}{4}$=4.25
Dấu = xảy ra <=> x=y=1/2

4) Cho $a,b>0$. Tìm Min $S=\frac{a+b}{\sqrt{ab}}+\frac{\sqrt{ab}}{a+b}$

$\frac{\sqrt{ab}}{a+b}+\frac{a+b}{4\sqrt{ab}}\geq 1$
$\frac{3}{4}$.$\frac{a+b}{\sqrt{ab}}$$\geq \frac{3}{4}.\frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{ab}}$=$\frac{3}{2}$
Cộng vế:=> S$\geq \frac{5}{2}$.Dấu = khi a=b=1
P/s:không biết gộp 2 bài lại.
@Viet Hoang 99: Đã gộp

Giải hpt:
118) $\left\{\begin{matrix}xy-3x-2y=-4 & & \\ x^2+y^2-2x-4y=-5 & & \end{matrix}\right.$

 

 

118.

pt (2) <=> $(x-1)^{2}+(y-2)^{2}$=0 => x=1; y=2

Thay vào (1) không thỏa mãn => VN

159.

$\left\{\begin{matrix} (x-y)^{2} =2z-z^{2}& \\ (y-z)^{2}=2x-x^{2}& \\ (z-x)^{2}=2y-y^{2}& \end{matrix}\right.$

P/s: kết luận đủ nghiệm nhá.

HPT $\left\{\begin{matrix} (x-y)^{2}+z^{2} & = 2z\\ (y-z)^{2}+x^{2}& = 2x\\ (z-x)^{2}+y^{2}& = 2y \end{matrix}\right.$

Suy ra $x,y,z\geq 0$

Giả sử $x\geq y\geq z$(1)

$\Rightarrow (x-y)^{2}\leq (x-z)^{2}$

$\Rightarrow 2z-z^{2}\leq 2y-y^{2}\Rightarrow (z-1)^{2}\geq (y-1)^{2}\Rightarrow z-1\geq y-1\Rightarrow z\geq y$(2)

 

(1),(2)$\Rightarrow x=y=z$

Thay vào PT :$2x-x^{2}=0\Rightarrow x=0\vee x=2$

 

Nghiệm: $(0;0;0);(2;2;2)$

Thiếu nghiệm nhiều lắm bạn ơi.(0;1;1) (2;1;1) và các hoán vị.

Không biết còn nữa không?

 

 

107) $\left\{\begin{matrix}\frac{x^2}{y^2+2y+1}+\frac{y^2}{x^2+2x+1}=\frac{1}{2} & & \\ 3xy-x-y=1 & & \end{matrix}\right.$

 

 

 

 

107.

từ pt (2) => $x= \frac{y+1}{3y-1}$ thế vào pt (1) rồi tìm y.

trước khi thế ta biến đổi pt (1) = $\left ( \frac{x}{y+1} \right )^{2}+\left ( \frac{y}{x+1} \right )^{2}=\frac{1}{2}$

 

 

109) $\left\{\begin{matrix}x^2+y^2-x-2y=19 & & \\ xy(x-1)(y-2)=-20 & & \end{matrix}\right.$

 

 

109.

pt (1) <=> $x\left ( x-1 \right )+y\left ( y-2 \right )=19$

Áp dụng ĐL Vi-ét đảo cho 2 số $x\left ( x-1 \right )$ và $y\left ( y-2 \right )$

Đến đây được rồi nhỉ?

 

P/s: viết hpt kiểu gì ?

hôm qua trên đường đi học về nhặt được 20 vé:

Ai mua không mình bán cho

20k/vé           

cho em vào xin 1 vé nào.      

Em không phải toán thủ MSS.

 

Áp dụng BĐT Svac ta có: E = $\sum \frac{(\frac{1}{x})^{2}}{xy+xz}\geq \frac{(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^{2}}{2(xy+yz+xz)}=\frac{xy+yz+xz}{2}\geq \frac{3}{2}$( Cô si 3 số và xyz =1)

Dấu = xảy ra <=> x=y=z=1

Câu 1 (6,0 điểm):

 

c)     Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{x}}+\sqrt{2-\frac{1}{y}}=2 & & \\ \frac{1}{\sqrt{y}}+\sqrt{2-\frac{1}{y}}=2 & & \end{matrix}\right.$ 

 

Trừ vế và thu được x=y.

Thay vào 1 trong 2 phương trình là ra.

P/s: Làm hơi tắt đi ăn cơm

Đề này mình mà làm có ma >18/20

Bài làm của bạn sai rùi, vậy là chỉ còn 45/50 thôi. Đúng là 18/20 rồi, bạn làm thêm vài bài nữa nhé( ko thể ko có sự nhầm lẫn đâu, 18/20 khó lòng là sự thật rồi).

mình sai chổ nào thế.fix rồi đúng chưa vì minh tưởng tượng trong đầu chứ không làm ra nháp.

Gọi giao điểm của AB với đoạn thẳng trên hình vẽ đi qua C tại H ( CHA = 90⁰)

Gọi AH = x => BH = x+10

Ta có : CH=x.tan51⁰ 49'12" 

           CH=(x+100).tan45⁰39

Giải hệ phương trình tìm x ( x là AH)

sau đó tìm được CH

 

=> chiều cao cột cờ là CH +1.5

1) $x^{2}+xy+y^{2}=x^{2}y^{2}\Leftrightarrow x^{2}+2xy+y^{2}-xy-x^{2}y^{2}=0\Leftrightarrow (x+y)^{2}-xy(1+xy)\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+y=0 & \\xy=0; & 1+xy=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow (x,y)=(0;0);(-1;1);(1;-1)$

2)$3x^{2}+7y^{2}=2002\Rightarrow 7y^{2}\leq 2002\Leftrightarrow y^{2}\leq \frac{2002}{7}\Leftrightarrow -\sqrt{\frac{2002}{7}}\leq y\leq \sqrt{\frac{2002}{7}}$ mà $y\in \mathbb{Z}\Rightarrow y\in(-16;-15;-14;....;14;15;16)$ Thay vào phương trình tìm x nguyên

Mình thay y vào thì không tìm được giá trị nào của x$\Rightarrow$ PTVN

Cái cách này biết chắn chắn là sai rồi mà còn đăng lên.

Thằng này hại người.

hình như anh nhầm rùi@@

$a^2-b^2=1$ mới đúng chứ.

ông này cũng nhầm còn nói ai

a²-b² =3 

     

             

Từ pt thứ nhất ta có :$x^3+4y=y^3+4x< = > (x-y)(x^2+xy+y^2)-4(x+y)=0< = > (x-y)(x^2+xy+y^2-4)=0$

-Nếu $x=y$ .Từ pt thứ 2 có :$x^4+2x^2=1< = > (x^2+1)^2=2< = > x^2=\sqrt{2}-1< = > x=y=\sqrt{\sqrt{2}-1},x=y=-\sqrt{\sqrt{2}-1}$

-nếu $x^2+xy+y^2-4=0= > x^2+xy+y^2=4$ .Mà $x^4+2y^2=1$

Tới đây giải hệ là ra 

nhầm kìa 

40 hình chuẩn 100%.

Làm nhầm

Áp dụng Xvác(Bunhia đặc biệt) ta có:

$\sum \frac{a^{2}}{b^{2}+1}$ $\geq$$ \frac{\left ( a+b+c \right )^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+3}$$\geq \frac{\left ( a+b+c \right )^{2}}{a+b+c+3}$(vì a²+b²+c²$\geq$a+b+c)=$\frac{3}{2}$

=> dpcm dấu = xảy ra <=> a=b=c=1

nhầm.sai đó.  

$40$ hình vuông. 

@fire : đề nghị bạn tôn trọng người khác !!

nó học cùng lớp mình mà trêu cho vui thôi.    

36 hình vuông

thằng này đang còn cùi lắm.Haaaa          

Ta có $2P=\sum \frac{2}{a^2+b^2+2}=3-\sum \frac{a^2+b^2}{a^2+b^2+2}$

 

Áp dụng BĐT S.Vac

 

$\sum \frac{a^2+b^2}{a^2+b^2+2}\geqslant \frac{(\sum \sqrt{a^2+b^2})^2}{2(a^2+b^2+c^2+3)}=\frac{(a^2+b^2+c^2)+\sum \sqrt{(a^2+b^2)(b^2+c^2)}}{a^2+b^2+c^2+3}$

 

Ta sẽ chứng minh $\sum \frac{a^2+b^2}{a^2+b^2+2}\geqslant \frac{3}{2}\Leftrightarrow \frac{(a^2+b^2+c^2)+\sum \sqrt{(a^2+b^2)(b^2+c^2)}}{a^2+b^2+c^2+3}\geqslant \frac{3}{2}$

 

$\Leftrightarrow 2\sum \sqrt{(a^2+b^2)(b^2+c^2)}\geqslant a^2+b^2+c^2+9$. BĐT này luôn đúng vì theo Bunhiacopxki thì

 

$2\sum \sqrt{(a^2+b^2)(b^2+c^2)}\geqslant 2\sum (b^2+ac)\geqslant a^2+b^2+c^2+3\sum ab=a^2+b^2+c^2+9$

 

Do đó $2P\leqslant 3-\frac{3}{2}\rightarrow P\leqslant \frac{3}{4}$

Sao nghĩ ra được mấy cái đó ấy ?