$\left\{\begin{matrix} \sqrt[4]{3y^6-2y^5+y^4+x^6+x^5-3y^4}+\sqrt[3]{4x^2-2y^2+6xy^2}=3 & \\ x^3(2y-x)(x^2+y^2)=6x^3y-3x^4-1& \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} \sqrt[4]{3y^6-2y^5+y^4+x^6+x^5-3y^4}+\sqrt[3]{4x^2-2y^2+6xy^2}=3 & \\ x^3(2y-x)(x^2+y^2)=6x^3y-3x^4-1& \end{matrix}\right.$

Giải hệ phương trinh sau:

$\left\{\begin{matrix}
 \left ( \sqrt[3]{15x^6-9y^4+7y^2-16x+4} \right )^{2013}+\left ( \sqrt[4]{20y^6-8x^2+7x^2-17y-2} \right )^{2014}= \left ( \sqrt[5]{5x^6+6x^5-4y^6-3y^3-3y-4+3}\right )^{2015} & \\
 9\left (x^{10}-10x^9+50x^8-160x^7+360x^6-592x^5+719x^4-636x^3+392x^2-152x+31  \right )\left ( 81x^5-270y^4+360y^3-243y^2+84y-11 \right )^2=x^6-6x^5+18x^4y+6x^4-72x^3y+16x^3+108x^2y^2-12x^2-216xy^2+144xy-24x+216y^3-21y^2+72y-8&
\end{matrix}\right.$

 

P/s: vì đề hơi dài, nên sẽ khó nhìn, mong mọi người thông cảm ạ!!!!!

$\left\{\begin{matrix}\sqrt[5]{4x^5+y^5}+\sqrt[4]{3x^4+2y^4}+\sqrt[3]{2x^3+3y^3}+\sqrt{x^2+4y^2}=\sqrt[6]{6}& \\ 2\sqrt[2013]{\frac{3x^6-12x^5y+30x^4y^2-40x^3y^3+30x^2y^4-12xy^5+2y^6}{-x^6+8x^5y-19x^4y^2+20x^3y^3-10x^2y^4+2xy^5}}=3\left(\frac{3x^2-4xy+2y^2}{y^2-x^2} \right)^{\frac{2014}{2015}}-1 & \end{matrix}\right.$

cho 3 số x;y;z>0. CMR:

 

$\prod \left ( \frac{x+y}{y+z}+\frac{y+z}{x+y} \right )
\geq \frac{(x+y)^2(y+z)^2(z+x)^2}{8x^2y^2z^2}$

giải phương trình: $\sqrt{x}+\sqrt[3]{x+8}-\sqrt{x+8}=0$

$\frac{1}{2x-5}+\frac{1}{x-4}+\frac{1}{3x-6}=\frac{7x^2-44x+73}{11x^3-96x^2+294x-317}+\frac{28x^2-116x+124}{82x^3-498x^2+1020x-712}$$+\frac{21x^2-96x+111}{51x^3-342x^2+774x-591}$


phương trình có 1 nghiệm duy nhất x=1

$\left ( \frac{2x-3}{14x-41} \right )^{\sqrt{2013}}+\left ( \frac{7x-23}{19-x} \right )^{\sqrt{2013}}+\left ( \frac{x+1}{17x-53} \right )^{\sqrt{2013}}$=$3^{1-\sqrt{2013}}$

 

cho x;y;z$\epsilon z^+; x\geq z$

 

Cho $\Delta ABC$ $A_{(1,1)};B_{(2,3)}$ Điểm $C\in (C):x^2+y^2-6x-4y+9=0$.Tìm tọa độ trọng tâm $\Delta ABC$ biết $S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}$ và $ x_{C}\in \mathbb{Z}$

 

 ta có:$$(AB):2x-y-1=0$$

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\Rightarrow d(C;AB)=\frac{\sqrt{5}}{10}
\Leftrightarrow \frac{\left | 2x_c-y_c-1 \right |}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{10}$$

suy ra toạ độ điểm $C$ là nghiệm cuả hệ: $\left\{\begin{matrix}
x^2+y^2-6x-4y+9=0 & \\
\frac{\left | 2x_c-y_c-1 \right |}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{10}  &
\end{matrix}\right.$

 

đến đây là OK rồi!!!!

Giải pt lượng giác

$4.tan^{2}x+10.(1+tan^{2}x).tanx+\frac{4}{cos^{4}x}=0$

 

ĐK: $$\cos x\neq 0$$

biến đổi pt thành: $$\frac{4\sin ^2x}{\cos ^2x}+10.\frac{\sin x}{\cos ^3x}+\frac{4}{\cos ^4x}=0 \Leftrightarrow 4\sin^2 x.\cos^2x+10\sin x.\cos x+4=0$$

đến đây là OK rồi!!!!!

Cho a, b, c không âm thỏa mãn $\sum {{a^2} = 1} $

Chứng minh rằng  $\sum {\frac{a}{{1 + bc}} \ge 1} $

 

Ta viết lại biểu thức như sau:

$$\sum \frac{a^2}{a+abc}\geq 1$$

Mặt khác theo giả thiết lại có: $a^2+b^2+c^2=1$

Vậy ta chỉ cần chỉ ra rằng: $a+abc\leq 1$

Ta có: $$a+abc\leq a+\frac{(b^2+c^2)a}{2}=a+\frac{(1-a^2)a}{2}$$

Bây giờ ta chỉ cần chứng minh rằng: $$a+\frac{(1-a^2)a}{2}\leq 1\Leftrightarrow \frac{3a-a^3-2}{2}\leq 0
\Leftrightarrow -\frac{(a+2)(a-1)^2}{2}\leq 0~~~~(DPCM)$$

Từ đây ta có:

$ \frac{a}{bc+1}=\sum \frac{a^2}{abc+a}\geq \sum a^2=1$

phương trình nay có một nghiệm x=4. đây la một bài toán thách đố rất hay.

Cho các số dương a, b, c thay đổi thỏa mãn a+b+c=3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

$S=\frac{(2a+b+c)^{2}}{2a^{2}+(b+c)^{2}}+\frac{(2b+c+a)^{2}}{2b^{2}+(c+a)^{2}}+\frac{8.(a+b-3\sqrt{c^{2}+3})}{9c}$

Ta có: $\frac{(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2}=\frac{(a+3)^2}{2a^2+(3-a)^2}\leq \frac{4}{3}\left(a-1 \right)$ vì: $\Leftrightarrow \left(a-1 \right)^2\frac{4a+3}{3a^2-6a+9}\geq 0$

Từ đây ta biến đổi $S$ thành:

$P\leq \frac{8(3-c-3\sqrt{c^2+3)}}{9c}-\frac{4c}{3}+\frac{20}{3}$

Tính đạo hàm chắc là OK rồi:

$\max P=\frac{16}{9}$

Biết $5\tan^2x-12\tan x-5=0$ ($\dfrac{\pi}{4}<x<\dfrac{\pi}{2}$).Tính $\sin2x$

 

vì $\dfrac{\pi}{4}<x<\dfrac{\pi}{2}$ nên ta dễ dàng suy ra $\sin x>0$

ta có:

$5\tan ^2x-12\tan x-5=0 \Leftrightarrow 5\sin ^2x-12\sin x.\cos x-5\cos ^2x=0 \Leftrightarrow 5(\sin x-\cos x)(\sin x+\cos x)=6\sin 2x \Leftrightarrow 25(1-\sin^22x=36\sin ^22x \Leftrightarrow \sin 2x=\frac{5}{\sqrt{61}}$

Nếu a,bc>0 CMR

$\sum \frac{ab^{2}}{a^{2}+2b^{2}+c^{2}}\leq \frac{\sum a}{4}$

ta có: $$\\sum \frac{ab^2}{a^2+2b^2+c^2}=\sum \frac{ab^2}{3.\frac{a^2+b^2+c^2}{3}+b^2}\leq \sum \frac{1}{16}\left ( \frac{9ab^2}{a^2+b^2+c^2}+a \right )=\frac{9}{16}.\left ( \frac{\sum ab^2}{\sum a^2} \right )+\frac{a+b+c}{16}$$

từ đây ta chỉ cần chứng minh rằng: $$\frac{9}{16}\left ( \frac{\sum ab^2}{\sum a^2} \right )\leq \frac{3}{16}\sum a
\Leftrightarrow \sum a^3+\sum ab^2+\sum a^2b\geq 3\sum ab^2
\Leftrightarrow \sum a^3+\sum a^2b\geq 2\sum ab^2$$

mặt khác BĐT luôn đúng vì AM-GM:

$$\sum \left (2a^3+a^2b+ab^2  \right )\geq 4\sum ab^2$$

đến đây là OK rồi!!!!

từ phương trình đầu ta được: $x^{2}-m=y(x+my)\Rightarrow x^{2}-xy-m-my^{2}=0$ (*)

 mà từ phương trình 2 ta có: $x^{2}-xy=y$  (**)

từ (*), (**) ta suy ra:

$y-m-my^{2}=0\Leftrightarrow my^{2}-y+m=0 \rightarrow \Delta =1-4m^{2}$

vậy để he phương tring có nghiệm thì : $m\leq \frac{1}{2} V m\leq \frac{-1}{2}$

 

tren day la bai lam cua minh chac chan se co nhieu sai sot trong qua trinh son, mong cac ban thong cam!!!!!!!!!!!11

bài này đã có ở đây rồi!

Cho $x,y,x$ là các số thực không âm thoả mãn $1\leq x,y,z\leq 3$ . CM :$x^2+y^2+z^2\geq 1$

 

 

$x,y,z\geq 1, cm: a^2+b^2+c^2\geq 1$

 

không thể được, xem lại đề nhé!

$\frac{1}{a}+\frac{4}{2b}\geq \frac{9}{a+2b}\geq \frac{9}{\sqrt{3(a^2+2b^2)}}\geq \frac{3}{c}$

 

$"="\Leftrightarrow a=b=c$

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $abc=1$

Chứng minh rằng $\sum \frac{a^3+1}{\sqrt{a(a^3+b^2c+bc^2)}}\geqslant 2\sqrt{ab+bc+ca}$

 

 

vì $abc=1$ nên bất đẳng thức cần chưng minh tương đương:

 

$\sum \frac{a^3+1}{\sqrt{a^4+b+c}}\geq 2\sqrt{ab+bc+ca}$

 

Ta có $$\sqrt{(a^4 + b + c)(ab + bc + ca)} = \sqrt{(a^4 + abc(b + c))(ab + bc + ca)} = \sqrt{(a^3 + b^2c + bc^2)(a^2b + abc + a^2b)} $$ $$\le \dfrac{(a^3 + a^2b + a^2c) + (abc + bc(b +c))}{2} = \dfrac{(a + b + c)(bc + a^2)}{2} = \dfrac{(a+b+c)(a^3 + 1)}{2a}$$
$$\Leftrightarrow \dfrac{a^3 + 1}{\sqrt{a^4 + b + c}} \ge \dfrac{2a\sqrt{ab + bc + ca}}{a+b+c}$$
từ đây được $$VT \ge \dfrac{2\sqrt{ab+bc+ca}(a +b + c)}{a + b + c} = 2\sqrt{ab + bc + ca}$$

 

$"="\Leftrightarrow a=b=c=1$
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

$\left ( \frac{2x-3}{14x-41} \right )^{\sqrt{2013}}+\left ( \frac{7x-23}{19-x} \right )^{\sqrt{2013}}+\left ( \frac{x+1}{17x-53} \right )^{\sqrt{2013}}$=$3^{1-\sqrt{2013}}$

$Cho x, y , z \geqslant 0 và thỏa mãn x+y+z> 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P = \frac{x^{3}+y^{3}+16z^{3}}{(x+y+z)^{3}}$

 

áp dụng holder:

 

ta có: $\left (x^{3}+y^{3}+16z^{3} \right )\left ( 1+1+\frac{1}{4} \right )\left ( 1+1+\frac{1}{4} \right )\geq (x+y+z)^3$

từ đây ta đươc: $P\geq \frac{16}{81}$$"="\Leftrightarrow a=b=4c$

 

Cho 2x(1-x) >= y(y-1)

Tìm max T= x-y+3xy

 

 

 

từ giả thiết ta có::$2x-2x^2\geq y^2-y\Rightarrow 2x-x^2\geq 2xy-y\Rightarrow 2xy\leq 1+y$

 

nên từ đây suy ra : $T=x-y+\frac{3}{2}(1+y)=\frac{2x+y+3}{2}$

 

mặt khác ta lại có: $2x-2x^2\geq y^2-y\Leftrightarrow 2x+y\geq 2x^2+y^2\geq \frac{(2x+y)^2}{3}\Rightarrow 0\leq 2x+y\leq 3\Rightarrow T\leq \frac{3}{2}$

 

 

vậy Max T=$\frac{3}{2}."="\Leftrightarrow x=y=1$

$4sin^{2}(\pi-\frac{x}{2})-\sqrt{3}sin^{2}(\frac{\pi}{2}-2x)=1+cos^{2}(x-\frac{3\pi}{4})$

 

$4\sin^{2}(\pi-\frac{x}{2})-\sqrt{3}\sin^{2}(\frac{\pi}{2}-2x)=1+\cos^{2}(x-\frac{3\pi}{4}) \Leftrightarrow 2\left [ 1-\cos \left ( 2\pi-x \right ) \right ]-\sqrt{3}\cos 2x=1+1+\cos \left ( 2x-\frac{3\pi}{2} \right ) \Leftrightarrow 2+2\cos x=\sqrt{3}\cos 2x+2-\sin 2x \Leftrightarrow 2\cos x=\sqrt{3}\cos 2x-\sin 2x \Leftrightarrow \cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2x-\frac{1}{2}\sin 2x\Leftrightarrow \cos x=\cos \left ( 2x+\frac{\pi}{6} \right )$

đến đây là OK rồi !!!!