Giải hệ phương trình sau :

$$\left\{\begin{matrix} xy + \frac{x}{y} = 9.6 &\\&xy + \frac{y}{x} = 7.5 \end{matrix}\right.$$

bài này có ở đây!

Giải hệ pt: $\left\{\begin{matrix} 2\sqrt{x}\left ( 1+\frac{1}{x+y} \right )=3 & \\ 2\sqrt{y} \left ( 1-\frac{1}{x+y} \right )=1& \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 1+\frac{1}{x+y}=\frac{3}{2\sqrt{x}} & \\ 1-\frac{1}{x+y}=\frac{1}{2\sqrt{y}}& \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} 2=\frac{3}{2\sqrt{x}} +\frac{1}{2\sqrt{y}}& \\ \frac{2}{x+y}=\frac{3}{2\sqrt{x}} -\frac{1}{2\sqrt{y}}& \end{matrix}\right. \Rightarrow \frac{4}{x+y}=\frac{9}{4x}-\frac{1}{4y}$

đến đây rút gọn là đươc!

Cho x, y là các số dương thỏa mãn $(\sqrt{x}+1)(\sqrt{y}+1)\geq 4$. Tìm min $P=\frac{x^{2}}{y}+\frac{y^{2}}{x}$

từ GT ta được: $ \left ( \sqrt{x}+1 \right )\left ( \sqrt{y} +1\right )=\sqrt{xy}+\sqrt{x}+\sqrt{y}+1\geq 3\sqrt[3]{xy}+1\Rightarrow \sqrt[3]{xy}\geq 1\Rightarrow \sqrt{xy}\geq 1$

mặt khác ta được:

$P=\frac{x^{2}}{y}+\frac{y^{2}}{x}\geq 2\sqrt{xy}\geq 2; "="\Leftrightarrow x=y=1$

Tại sao lại có cái phần màu đỏ kia được! Bài làm của bạn sai rồi!

$\left ( \sqrt{x}+1 \right )\left ( \sqrt{y}+1 \right )=\sqrt{xy}+\sqrt{x}+\sqrt{y}+1\geq 3\sqrt[3]{\sqrt{xy}.\sqrt{x}.\sqrt{y}}+1= 3\sqrt[3]{xy}+1$

sai ở đâu bạn?

Cho x, y là 2 số thực dương thỏa mãn $x^{2}+4y^{2}=1$. Chứng minh rằng:

$\left | x+y \right |\leq \frac{\sqrt{5}}{2}$

ta có:$$\left (x^2+4y^2  \right )\left ( \frac{1}{4}+1 \right )\geq (x+y)^2
\Rightarrow \left | x+y \right |\leq \frac{\sqrt{5}}{2}$$

bài này mình nghĩ chỉ có cách đánh giá BĐT thôi, chắc không còn cách nào khác đâu bạn.

sửa lại đề  đi bạn, cả phần tiêu đề nữa, nếu không bị nhắc nhở đó.

$\left\{\begin{matrix} x + \frac{2xy}{\sqrt[3]{x^{2}-2x+9}} = x^{2} + y\\ y + \frac{2xy}{\sqrt[3]{y^{2}-2y+9}} = y^{2} + x \end{matrix}\right.$

ta có:

từ hệ ta được:

$x^2+y^2=2xy\left ( \frac{1}{\sqrt[3]{x^2-2x+9}}+\frac{1}{\sqrt[3]{y^2-2y+9}} \right ) (*)$

mà ta có:

$2xy\left ( \frac{1}{\sqrt[3]{x^2-2x+9}}+\frac{1}{\sqrt[3]{y^2-2y+9}} \right )=2xy\left ( \frac{1}{\sqrt[3]{(x-1)^2+8}} +\frac{1}{\sqrt[3]{(y-1)^2}+8}\right )\leq 2xy\left ( \frac{1}{2}+\frac{1}{2} \right )=2xy\leq x^2+y^2=VT(*)$

$"="\Leftrightarrow x=y=1$

Bài 2: Giải phương trình:

$3\sqrt{x+2}-6\sqrt{2-x}+4\sqrt{4-x^{2}}=10-3x \\(B/2011)$

Bài 2:

ta biến đổi phương trình thành: $3(\sqrt{2+x}-2\sqrt{2-x})+4\sqrt{4-x^2}=10-3x$

ta đặt: $\sqrt{2+x}-2\sqrt{2-x}=t$

pt trở thành: $t^2-3t=0\Rightarrow \begin{bmatrix} t=0 & \\ t=3& \end{bmatrix}$

đến đây chắc là OK rồi!!!!

nghiệm: $x=\frac{6}{5}$

Bài 1: Giải các bất phương trình ,hệ bất phương trình sau :

d,$\frac{\left | 2x-1 \right |}{x^{2}-3x-4}\leq \frac{1}{2x}$

 

 

xét 2 TH:

TH1: $x\geq \frac{1}{2}$

ta được:$\frac{3x^2+x+4}{x^2-3x-4}\geq 0$

lúc này xét khoảng rồi kết hợp với ĐK của x,  và để ý rằng: $3x^2+x+4>0$

TH2: $x\leq \frac{1}{2}$

ta được:  $\frac{5x-5x^2+4}{x^2-3x-4}\geq 0$

đến đây lại xét khoảng tiếp tục. OK!

c,$\left\{\begin{matrix}
\dfrac{x^{2}+x+1}{x^{2}-2x-3}\geq 1\\ \\
x^{3}-4x\geq 0
\end{matrix}\right.$

pt đầu ta được$\left\{\begin{matrix}
\frac{3x+4}{(x+1)(x-2)}>0 & \\
x(x-2)(x+2) >0&
\end{matrix}\right.$

đến đây xét khoảng là được!

Bài 1: Giải các bất phương trình ,hệ bất phương trình sau :

a,$\frac{3x(x+1)}{x-1}-\frac{2(x-1)}{x+1}> \frac{x^{3}}{x^{2}-1}$

đề có phải thế này không bạn?$\frac{3x(x+1)}{x-1}-\frac{2x(x-1)}{x+1}> \frac{x^3}{x^2-1}$

 NGOÀI CÁCH BÌNH PHƯƠNG 2 VẾ TA CÓ THỂ

áp dụng MIncoopxki van duoc:

$\sum \sqrt{1-\frac{\left ( x+y \right )^{2}}{4}}\geq \sqrt{9-\left ( x+y+z \right )^{2}}$

mà ta có:

$\left ( x+y+z \right )^{2}\leq 3\left ( x^2+y^2+z^2 \right )=3$

$VT \geq \sqrt{6}$

$"="\Leftrightarrow x=y=z=\frac{\sqrt{3}}{3}$

_____________CHÚC BẠN HỌC TỐT_____________-

Giải phương trình:\[(\cos2x+\cos4x)^2=3\sin2x+6\]

pttd: $\Leftrightarrow 4\cos ^23x.\sin ^2x=6+2\sin 3x$

vì ta có: $\left | \sin x \right |\leq 1;\left | \cos x \right |\leq 1$

nên ta có: $VT\leq 4$

                 $VP\geq 4$

đến đây là OK rồi!!!!

phương trình có một nghiệm duy nhất x=4

giải phương trình:

$\left (\frac{2x-3}{14x-41} \right )^{\sqrt{2014}}+\left (\frac{7x-23}{19-x} \right )^{\sqrt{2014}}+\left ( \frac{x+1}{17x-53} \right )^{\sqrt{2014}}=3^{1-\sqrt{2014}}$

hoặc đặt nhân tử chung ở pt (1)

$3x(x-y+1)+y(x-y+1)+2(x-y+1)=0 \Leftrightarrow (3x+y+2)(x-y+1)$

==> $x=y-1Vx=-\frac{y+2}{3}$

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} x^{3}(4y^{2}+1)+2(x^{2}+1)\sqrt{x}=6 & \\ x^{2}y(2+2\sqrt{4y^{2}+1})=x+\sqrt{x^{2}+1} & \end{matrix}\right.$

vì $x=0$

nên từ pt thứ hai ta được: $$2y+2y\sqrt{4y^{2}+1}=\frac{1}{x}+\frac{1}{x}\sqrt{\frac{1}{x^{2}}+1}$$

từ đây ta dễ dàng suy ra: $$2y=\frac{1}{x}$$

sau đó thế vào pt còn lại là OK!!!!!

nghiệm $$\left ( x,y \right )=\left ( 1,\frac{1}{2} \right )$$

Giải hệ: $\left\{\begin{matrix}y+\frac{2}{3}\sqrt{x^2-12y+1}=\frac{1}{12}(x^2+1) & & \\ \frac{x^2}{8y}+\frac{2x}{3}=\sqrt{\frac{x^3}{3y}+\frac{x^2}{4}}-\frac{y}{2} & & \end{matrix}\right.$

đăt:

$\frac{x}{y}=a$

phương trình thứ 2 trở thành:$$\frac{ax}{8}+\frac{2x}{3}=\sqrt{\frac{ax^2}{3}+\frac{x^2}{4}}-\frac{x}{2a}$$

từ đây ta dễ dàng suy ra được:$$\begin{bmatrix} x=0 & \\ a=6& \end{bmatrix}$$

đến đây là OK rồi nhỉ???!!!!

Giải hệ: $\left\{\begin{matrix}y+\frac{2}{3}\sqrt{x^2-12y+1}=\frac{1}{12}(x^2+1) & & \\ \frac{x^2}{8y}+\frac{2x}{3}=\sqrt{\frac{x^3}{3y}+\frac{x^3}{4}}-\frac{y}{2} & & \end{matrix}\right.$

hình như đề phải là:

 $$\left\{\begin{matrix}y+\frac{2}{3}\sqrt{x^2-12y+1}=\frac{1}{12}(x^2+1) & & \\ \frac{x^2}{8y}+\frac{2x}{3}=\sqrt{\frac{x^3}{3y}+\frac{x^2}{4}}-\frac{y}{2} & & \end{matrix}\right.$$

phải không Hoàng

giải kĩ quá, 17:02

vì nói kĩ quá, mà thầy cũng làm nhầm luôn. 

nhầm ở phút 15:03

$"="\Leftrightarrow a=1;b=2;c=3$ mới đúng, mà thầy lại viết $a=\frac{1}{2}$ chắc là do viết nhầm rồi!

TH1: $\left | x^2-x \right |\geq 6$

pttt: $\left | x^2-x \right |- 6\geq 2x(x-2)$

kêt hợp đk giải là được.

TH2: $\left | x^2-x \right |\leq 6$

pttt: $6-\left | x^2-x \right |\geq 2x(x-2)$

kết hợp đk và giải.

$\frac{1}{a}+\frac{4}{2b}\geq \frac{9}{a+2b}\geq \frac{9}{\sqrt{3(a^2+2b^2)}}\geq \frac{3}{c}$

$"="\Leftrightarrow a=b=c$

$\left\{\begin{matrix} 1+\frac{1}{x+y}=\frac{2}{\sqrt{3x}} & \\ 1-\frac{1}{x-y}=\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{7y}}& \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} 1=\frac{1}{\sqrt{3x}}+\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{7y}} & \\ \frac{1}{x+y}=\frac{1}{\sqrt{3x}}-\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{7y}}& \end{matrix}\right. \Rightarrow \frac{1}{x+y}=\frac{1}{3x}-\frac{8}{7y}$

đến đây chắc ổn rồi nhỉ,

câu này rất phổ biến có cả trong VMO, IMO.....

$2.\sqrt{x^2+x+2}=\frac{3x^2+3x+2}{3x+1}$

pttd: $3x^2+3x+2+\left ( 3x+1 \right )\sqrt{x^2+x+2}=0
\Leftrightarrow x^2+x+2+\left ( 3x+1 \right )\sqrt{x^2+x+2}+2x(x+1)=0\Rightarrow \begin{bmatrix}
\sqrt{x^2+x+2}=2x & \\
 \sqrt{x^2+x+2}=x+1&
\end{bmatrix}$

$2.\sqrt{x^2+x+2}=\frac{3x^2+3x+2}{3x+1}$

tương tự như bài trên: $x+8-\left ( 4x+2 \right )\sqrt{x+8}+3x^2+6x=0\Rightarrow \begin{bmatrix} \sqrt{x+8}=3x & \\ \sqrt{x+8}=x+2& \end{bmatrix}$

đến đây chắc OK rồi nhỉ.

*)lưu ý rằng không phải bài nào cũng giải được theo pp này đâu, mà sẽ tuỳ bài thôi. chẳng hạn như một bài này sẽ không thể dùng pp này được: $\sqrt{2x+7}=\frac{4x^2+6x+5}{3x+5}$