Cho a,b,c,d là các số dương.
Chứng minh: $ \huge \frac{a-b}{b+c} +\frac{b-c}{c+d}+\frac{c-d}{a+d}\geq \frac{a-d}{a+b}$.
BDT cần cm tương đương vs
$\frac{a-b}{b+c}+\frac{b-c}{c+d}+\frac{c-d}{a+d}+\frac{d-a}{a+b}\geq 0\Leftrightarrow \frac{a+c}{b+c}+\frac{b+d}{c+d}+\frac{a+c}{a+d}+\frac{d+b}{a+b}\geq 4$
$\Leftrightarrow \frac{a}{b+c}+\frac{c}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{d}{c+d}+\frac{a}{a+d}+\frac{c}{a+d}+\frac{b}{a+b}+\frac{d}{a+b}\geq 4$ (Đoạn này ko cần chia ra nhưng ngại nhân nên làm tn cho tiện)
$\Leftrightarrow \frac{a^2}{ab+ac}+\frac{c^2}{cb+c^2}+\frac{b^2}{bc+bd}+\frac{d^2}{cd+d^2}+\frac{a^2}{a^2+da}+\frac{c^2}{ac+dc}+\frac{b^2}{ab+b^2}+\frac{d^2}{ad+bd}\geq 4$
Áp dụng BDT cauchy schawz ta có
$VT\geq\frac{4(a+b+c+d)^2}{ab+ac+cb+c^2+bc+bd+cd+d^2+a^2+da+ac+dc+ab+b^2+ad+bd}$
Vậy ta cần cm
$\frac{4(a+b+c+d)^2}{ab+ac+cb+c^2+bc+bd+cd+d^2+a^2+da+ac+dc+ab+b^2+ad+bd}\geq 4$
$\Leftrightarrow \frac{(a+b+c+d)^2}{ab+ac+cb+c^2+bc+bd+cd+d^2+a^2+da+ac+dc+ab+b^2+ad+bd}\geq 1$
Nhân chéo lên ta nhận đc kq luôn đúng ta có đpcm
Dấu đẳng thức sảy ra khi a=b=c=d
P/s để phông chữ nhỏ thôi