Cho 3 số dương x,y,z có tổng bằng 1.CMR:
$\sqrt{x+yz} +\sqrt{y+xz} + \sqrt{z+ xy}\geq 1 + \sqrt{xy} +\sqrt{yz}+ \sqrt{xz}$
Cảm ơn các bạn
lâu không quay lại diễn đàn chém luôn bài này mở màn
Ta có Do $x+y+z=1$
$\sqrt{x+yz}=\sqrt{x.1+yz}=\sqrt{x.(x+y+z)+yz}=\sqrt{(x+y)(x+z)}$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Schawz ta có
$\sqrt{(x+y)(x+z)}\geq \sqrt{(x+\sqrt{yz})^{2}}= x+\sqrt{yz}$
Tương tự với những cái còn lại ta có
$\sqrt{x+yz} +\sqrt{y+xz} + \sqrt{z+ xy}\geq x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{xz}+\sqrt{yz}=1+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}$ (DPCM)
Đẳng thức sảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{3}$