160.

$\left\{\begin{matrix}x^{3}-y^{2}-y=\frac{1}{3} & & \\ y^{3}-z^{2}-z=\frac{1}{3} & & \\ z^{3}-x^{2}-x=\frac{1}{3} & & \end{matrix}\right.$

161) $\left\{\begin{matrix}2y^2-x^2=1 & & \\ 2x^3-y^3=2y-x & & \end{matrix}\right.$

C2: 

$\left\{\begin{matrix}1=2y^{2}-x^{2} & & \\ 2x^{3}-y^{3}=2y-x & & \end{matrix}\right.$

Nhân vế theo vế 2 pt ta có 
$(2y^{2}-x^{2})(2y-x)=2x^{3}-y^{3}$

$\Leftrightarrow 5y^{3}-2x^{2}y-2xy^{2}-x^{3}=0$

$\Leftrightarrow (y-x)(5y^{2}+3xy+x^{2})$

Vậy x=y (do pt sau vô nghiệm)

Thay vào hệ ban đầu tìm được x

165) $\left\{\begin{matrix}x+y+z=1 & & \\ xy+yz+zx=\frac{1}{2} & & \\ \frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}=2 \end{matrix}\right.$

Ta có

$\begin{matrix}\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}=2 \\ \Leftrightarrow (x+1)(y+1)+(y+1)(z+1)+(z+1)(x+1)=2(x+1)(y+1)(z+1) \\ \Leftrightarrow xy+yz+zx+2(x+y+z)+3=2xyz+2(xy+yz+zx)+2(x+y+z)+2 \\ \Leftrightarrow 3=2xyz+xy+yz+zx \\ \Leftrightarrow xyz=\frac{5}{4} \end{matrix}$

Đến đây tương tự bài 164

p/s dạo này máy load Latex hơi lâu làm 1 thể như thế này cho nhanh

174. Giải hệ phương trình sau:

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{\frac{20y}{x}}=\sqrt{x+y}+\sqrt{x-y} & \\ \sqrt{\frac{16x}{5y}}=\sqrt{x+y}-\sqrt{x-y}& \end{matrix}\right.$

Nhân vế theo vế cả 2 pt ta có 

$\sqrt{\frac{20.16.x.y}{5.x.y}}=(x+y)-(x-y)$

$2y=8$

$\Leftrightarrow y=4$

thay lại vào pt đầu tìm được x

Thôi để mình chém cho
Áp dụng Viét ta có $\left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=2m+4 & & \\ x_{1}x_{2}=2m+3 & & \end{matrix}\right.$
Để đơn giản biểu thức ta có thể đặt 2m+4=a nên 2m+3=a-1
Dễ thấy $\left\{\begin{matrix}x_{1}=a-x_{2} & & \\ x_{2}=a-x_{1} & & \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix}x_{1}^{2}=ax_{1}-a+1 & & \\ x_{2}^{2}=ax_{2}-a+1 & & \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x_{1}^{n+2}=ax_{1}^{n+1}-(a-1)x_{1}^{n} & & \\ x_{2}^{n+2}=ax_{2}^{n+1}-(a-1)x_{2}^{n} & & \end{matrix}\right.$
Đặt $x_{1}^{n}+x_{2}^{n}=S_{n}$
Cộng vế theo vế pt trên ta được $S_{n+2}=aS_{n+1}-S_{n}(a-1)$
Từ công thức này ta tìm được $S_{2}$ $S_{3}$
Rồi từ đó dễ dàng tìm ra $S_{5}$ qua a rồi thay vào gpt
Đó là cách tổng quát bài nào có Sn cũng làm được còn bài nay chỉ cần tìm ra S3 và S2 rồi nhân vs nhau là xong như thế kia dải quá )))

Học Bdt không giỏi nhưng cũng có nhiều bài hay 

145.Cho a,b,c>0 CMR

$\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}+a+b+c\geq 2\sqrt{(a^{2}+b^{2}+c^{2})(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})}$

Áp dụng BĐT $AM-GM$ ta có

 

$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}+a+b+c\geqslant 2\sqrt{(a+b+c)(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a})}$

 

Giờ ta cần chứng minh

 

$(a+b+c)(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a})\geqslant (a^2+b^2+c^2)(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})$

 

$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+\sum \frac{ab^2}{c}\geqslant ab+bc+ac+\sum \frac{a^2b}{c}$

 

$\Leftrightarrow \sum \frac{c(a-b)(a-c)}{b}\geqslant 0$ (cái này đúng theo BĐT S. Chur)

 

Vậy ta có đpcm

C2.

Chọn a sao cho $Max(a,b,c)\geq a\geq Min(a,b,c)$ (dòng này suy ra cuối cùng nhưng viết ở đầu)

Áp dụng bdt cauchy cho 2 số dương

$2\sqrt{(a^{2}+b^{2}+c^{2})(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})}= 2\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{a}.[a.(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})]}\leq \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{a}+\frac{a^{2}}{b}+\frac{ab}{c}+c$

$= a+\frac{b^{2}}{a}+\frac{c^{2}}{a}+\frac{a^{2}}{b}+\frac{ab}{c}+c$

Ta có đpcm nếu cm được

$\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}+a+b+c\geq a+\frac{b^{2}}{a}+\frac{c^{2}}{a}+\frac{a^{2}}{b}+\frac{ab}{c}+c$

$\Leftrightarrow \frac{b^{2}}{c}+b\geq \frac{b^{2}}{a}+\frac{ab}{c}$

$\Leftrightarrow ab+ac\geq bc+a^{2}$

$\Leftrightarrow (a-b)(a-c)\leq 0$

Đúng với cách chọn a ban đầu ta có đpcm 

Theo mình đề phải là $\left\{\begin{matrix}2x_{1}=x_{2}+\frac{1}{x_{2}} & & \\ 2x_{2}=x_{3}+\frac{1}{x_{3}} & & \\ ..... & & \\ 2x_{2014}=x_{1}+\frac{1}{x_{1}} & & \end{matrix}\right.$

Vì nếu thế pt vô nghiệm

Đề ban đầu

$\left\{\begin{matrix}x_{1}=x_{2}+\frac{1}{x_{2}} & & \\ x_{2}=x_{3}+\frac{1}{x_{3}} & & \\ ..... & & \\ x_{2014}=x_{1}+\frac{1}{x_{1}} & & \end{matrix}\right.$

Nhân chéo lên ta suy ra được rằng

$x_{1},x_{2}...x_{2014}$ cùng dấu (vì cứ 2 số nhân vs nhau dương)

Th1 $x_{1\rightarrow }x_{2014}> 0$

Cộng cả 2014 vế vs nhau ta có

$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}+...\frac{1}{x_{2014}}=0$ ( vô lý)

Th2 cũng thế

$\left\{\begin{matrix}2x_{1}=x_{2}+\frac{1}{x_{2}} & & \\ 2x_{2}=x_{3}+\frac{1}{x_{3}} & & \\ ..... & & \\ 2x_{2014}=x_{1}+\frac{1}{x_{1}} & & \end{matrix}\right.$

Tương tự bài trên ta có $x_{1}\rightarrow x_{2014}$ cùng dấu

Th1  cùng dương 

Áp dụng cauchy ta có $x_{1},x_{2},x_{3}...x_{2014}\geq 1$

Mặt khác công vế theo vế 2014 vế ta được

$x_{1}+x_{2}+x_{3}+...+x_{2014}=\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}+\frac{1}{x_{3}}+...+\frac{1}{x_{2014}}$

VT$\geq$ 2014 VP $\leq$ 2014 suy ra VT=VP $\Leftrightarrow$ $x_{1}=x_{2}=...=x_{2014}=1$

Th2 cùng âm Đặt $x_{1}=-x'_{1}$

Tương tự Th1 ta có các nghiệm là $x_{1}=x_{2}=x_{3}=x_{2014}=-1$

146

a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác CMR

$(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)^{2}\geq abc(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

1 cách khác

$a+b+c=3\Rightarrow a-1+b-1+c-1=0$

Đặt a-1=x b-1= y c-1=z

Ta có x+y+z=0

x,y,z thuộc [-1;1]

Ta có 

$a^{2}+b^{2}+c^{2}=(x+1)^{2}+(y+1)^{2}+\left ( z+1 \right )^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}+3$

Mặt khác x+y+z=0 suy ra tồn tại 2 số dương hoặc 2 số âm g/s 2 số đó là x và y

$\Rightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq \left | x \right |+\left | y \right |+\left | z \right |=\left | x+y \right |+\left | z \right |=2\left | z \right |\leq 2$

$\Rightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}+3\leq 5$

đpcm

(có thể sd cách này để cm bài bdt trong kì thi hsg tp hà nội)

 

Chú ý: Trích dẫn đề bài ra?

Còn 1 số bài chưa có lời giải mình post lại để chống loãng topic

 

 

$176*\left\{\begin{matrix} x^2-yz=a\\ y^2-xz=b\\ z^2-xy=c \end{matrix}\right.$

Tính $x,y,z$ theo các hằng số $a,b,c$

170*.$\left\{\begin{matrix} a(a+b)=3\\ b(b+c)=30\\ c(c+a)=12 \end{matrix}\right.$ 

Đặt a+b=x b+c=y c+a=z

BDT cần cm $\Leftrightarrow \frac{(x+y)(y+z)(z+x)}{xyz}$ (vì a+b+c=1)

Đến đây cô si bình thường ra min bằng 8

vậy để mình chém thay cho

Đặt x-1=y

Đề bài chuyển hướng thành tìm m để pt có ít nhất 1 nghiệm không âm

mặt khác x-1=y nên x=y+1

Thay vào pt ta có

$(m+1)(y+1)^{2}-2(m+2)(y+1)+2(m+1)=0$

Phá ra thì đây đã là bài toán quen thuộc

14)
Làm tiếp

$(m+1)(y+1)^{2}-2(m+2)(y+1)+2(m+1)=0$

$\Leftrightarrow (m+1)y^2-2y+m-1=0$

Có ít nhất một nghiệm lớn hơn hoặc bằng 0 thì tính sao. 

Chả có nhẽ $\Delta$ 4 trường hợp.

Chia làm 2 TH

TH1 Pt 1 có 2 nghiệm dương

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\Delta _{y}\geq 0 & & \\ S\geq 0 & & \\ P\geq 0 & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}2\geq m^{2} & & \\ 2> 0 & & \\ m^{2}-1\geq 0 & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\sqrt{2}\geq m\geq 1 & & \\ \ -\sqrt{2}\leq m\leq -1 & & \end{matrix}\right.$

TH2 có 1 nghiệm âm 1 nghiệm dương

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\Delta > 0 & & \\ m^{2}-1\leq 0 & & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow -1\leq m\leq 1$

Bài 151 : Cho : $x+y+z=3$; $0\leq x;y;z\leq 2$. Tìm $GTNN;GTLN$ của :
$$A=x^{4}+y^{4}+z^{4}+12(1-x)(1-y)(1-z)$$

$151/$

Thấy 1 bài dùng pp của bài 147 chém luôn

Đặt x-1=a

y-1=b

z-1=c

Từ giả thiết ta có a+b+c=0 a,b,c$\epsilon$ [-1;1]

A=$(a+1)^{4}+(b+1)^{4}+(c+1)^{4}-12abc$

$=a^{4}+b^{4}+c^{4}+4(a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc)+4(a+b+c)$ $+6(a^{2}+b^{2}+c^{2})+3$ 

Mặt khác $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)$

                 a+b+c=0

Nên

A=$a^{4}+b^{4}+c^{4}$ $+6(a^{2}+b^{2}+c^{2})+3$

Đến đây giải tương tự bài 147

Cộng vế theo vế ta có 

$(\sqrt{x}+\sqrt{32-x})+(\sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{32-x})=y^{2}-6y+9+14$

Áp dụng bdt bunhia copxki ta có

$\sqrt{x}+\sqrt{32-x}\leq 8$

$\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{32-x}\leq 4$

Và có  $(y-3)^{2}+14\geq 14$

VT $\leq 12$ $VP\geq 14$

nên pt vô nghiệm

Theo mình đề bài phải là 

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x}+\sqrt[4]{32-x}-y^{2}=-3 & & \\ \sqrt[4]{x}+\sqrt{32-x}+6y=24 & & \end{matrix}\right.$

Vì khi đó x=16 y=3

Giải thích giúp mình ở phép nhân 7 với 13, đồng dư cũng nhân đc?

 

đoạn này mình làm tắt (mặc dù vẫn sai vì ) 7*13=91

$P_{13}=1(mod7)\Rightarrow P=7m+1$\

$P_{13}\equiv 1(mod13)\Rightarrow P_{13}=13n+1$

Nên 7m+1=13n+1

suy ra , chia hết 13

nên m=13k

Nên $P_{13}=91k+1$ (đoạn này bị lạc đề) 

Chuẩn quyển này hay đấy học quyển này thôi là đủ tài liệu thi Ams rồi

ĐK $x\geq 0$ (do x nguyên)
Áp dụng BĐT Cauchy: 
$5.\sqrt{8x+1}\leq 13+4x\Rightarrow 5(x^3+8)\leq 7(13+4x)\Leftrightarrow 5x^3-28x-51\leq 0\Leftrightarrow (x-3)(5x^2-15x+17)\leq 0\Leftrightarrow x-3\leq 0\Rightarrow x\leq 3$
Đến đây xét từng giá trị của x (kết hợp với ĐK), ta thấy $x=3$ thỏa mãn.
Vậy nghiệm nguyên của phương trình là $x=3$

đoạn đó bạn cauchy kiểu gì hay vậy chẳng lẽ mò dấu bằng   

Đề số xấu quá nhỉ

$(a-b)^{2}\geq 0\Rightarrow a^{2}+b^{2}\geq 2ab$

Tương tự

$a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ca$ (1)

$\Leftrightarrow 7\geq ab+bc+ca$

Áp dụng BDT cauchy ta có

$a^{2}+\frac{7}{3}\geq 2\sqrt{\frac{7}{3}}\left |a \right |\geq 2\sqrt{\frac{7}{3}}a$

Tương tự ta có

$a^{2}+b^{2}+c^{2}+7\geq 2\sqrt{\frac{7}{3}}(a+b+c)$ 

suy ra

$\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}+7}{2\sqrt{\frac{7}{3}}}=\frac{14}{2\sqrt{\frac{7}{3}}}=\sqrt{21}\geq a+b+c$ (2)

Cộng từng vế 1 và 2  ta có

$12> \sqrt{21}+7\geq ab+bc+ca+a+b+c$

Dấu đẳng thức không sảy ra ta có dpcm

$a^{6}-b^{6}=(a^{2}-b^{2})(a^{4}+b^{4}+a^{2}b^{2})$

Ta có vì a,b không chia hết cho 3

Nên $a^{2}\equiv b^{2}\equiv a^{4}\equiv b^{4}\equiv a^{2}b^{2}\equiv 1(mod3)$

Thay lại vào 1 ta có $a^{2}-b^{2}\vdots 3$

                                $a^{4}+a^{2}b^{2}+b^{4}\vdots 3$

Nên $a^{6}-b^{6}\vdots 9$ (dpcm)

Áp dụng BĐT Buniacopski ta có:

$(x^{2}+\frac{1}{y^{2}})(y^{2}+\frac{1}{x^{2}})\geqslant (xy+\frac{1}{xy})^{2}\geqslant (2\sqrt{xy.\frac{1}{xy}})^{2}=4$

Dấu bằng sai rồi bạn nhé

Cách làm

$(x^{2}+\frac{1}{y^{2}})(y^{2}+\frac{1}{x^{2}})=x^{2}y^{2}+\frac{1}{x^{2}y^{2}}+2$

Áp dụng bdt cauchy ta có

$x^{2}y^{2}+\frac{1}{256x^{2}y^{2}}\geq 2\sqrt{\frac{1}{256}}=\frac{1}{8}$

$\frac{255}{256x^{2}y^{2}}\geq \frac{255}{16}$

vậy $P\geq \frac{1}{8}+\frac{255}{16}+2$$=18.0625$

Dấu bằng sảy ra khi x=y=1/2

 

38) Một xe máy đi từ $A$ đến $B$ trong một thời gian dự định. Nếu vận tốc tăng thêm $14km/h$ thì đến sớm $2h$, nếu vận tốc giảm $4km/h$ thì đến muộn $1h$. Tính vận tốc và thời gian dự định.

Gọi vân tốc ban đầu của xe máy là x km/h (x>4)

Thời gian dự định của xe máy để đi hết quãng đường AB là y (h) (y>2)

Nên chiều dài quãng đường AB là xy (km)

Nếu tăng vt thêm 14 km thì đến sớm 2h

Giảm vt đi 4 km thì đến muôn 1 h ta có hpt

$\left\{\begin{matrix}(x+14)(y-2)=xy & & \\ (x-4)(y+1)=xy & & \end{matrix}\right.$

Nhân ra ta triệt tiêu được xy giải hpt ta tìm đuợc x

Dễ thấy nếu a không phải là số chính phương thì  $\sqrt{a}$ vô tỉ

Ta có sqrt{m^{2}+m+23}$ hữu tỉ

nên

$m^{2}+m+23=k^{2}(k\epsilon Z )$

$\Leftrightarrow 4m^{2}+4m+1+91=(2k)^{2}$

$\Leftrightarrow (2m+1)^{2}-(2k)^{2}=-91$

$\Leftrightarrow (2m-2k+1)(2m+2k+1)=-91$

Đến đây để rồi giải pt nghiệm nguyên