Ở TH1 của bạn mình làm ra $\Delta = -3z^{2}+4z$ 

$\Delta \geq 0 \Leftrightarrow 0\leq z\leq \frac{4}{3}$

Vậy còn $\frac{-4}{3}$

bản thử th 2 chưa x+y+z=-2 ấy,mình làm vội nên cũng chưa thử

nhưng nếu z $< 0$ thì $\Delta$ âm vậy không tồn tại x,y nên chắc  bdt không có dấu bằng sảy ra

thôi cứ thử giải hẳn ra TH2 xem sao @@   
$\left\{\begin{matrix}x+y=-2-z & & \\ xy=1-yz-zx & & \end{matrix}\right.$

vậy x,y là nghiệm của pt

$X^{2}+(z+2)X+1-z(x+y)=0\Leftrightarrow X^{2}+(z+2)X+1-z(-2-z)=0$

$\Leftrightarrow X^{2}+(z+2)X+z^{2}+2z+1=0$
Xet $\Delta$

$\Delta =(z+2)^{2}-4(z^{2}+2z+1)=z^{2}+4z+4-4z^{2}-8z-4=-3z^{2}-4z$
DK de pt co nghiem la $\Delta$ $\geq 0$ $\Leftrightarrow 3z^{2}+4z\leq 0\Leftrightarrow -\frac{4}{3}\leq x\leq 0$

Nên $-\frac{4}{3}\leq z< \frac{4}{3}$ (dấu đẳng thức 2 không sảy ra nên ta có dpcm)

Bài 3: Giả sử (x,y,z) là nghiệm của hệ phương trình 

$\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}+z^{2} = 2\\ xy+yz+zx = 1 \geq 0 \end{matrix}\right.$

CMR: $\frac{-4}{3}\leq x,y,z\leq \frac{4}{3}$

Giúp mình nhé! Tks       

Nhân 2 pt 2 rồi cộng vs pt 1 ta đc

$(x+y+z)^2=4$
TH1 x+y+z=2

do vai trò của x y z như nhau ta chỉ cần cm trường hợp đối vs x các trường hợp khác tương tự
x+y+z=2
nên x+y=2-z (1)
mà từ pt 2 ta suy ra 
$xy=1-(x+y)z\Leftrightarrow xy=1-(2-z)z$ (2)

Từ 1 và 2 ta suy ra x,y là 2 nghiệm của pt 

$X^{2}+(z-2)X+z^{2}-2z+1$
ĐK để pt có nghiệm là $\Delta \geq 0$
đến đây $\Delta$ suy ra dpcm
TH2 tương tự

3,1 Người chỉ có 1 ngày sinh nhật thôi chứ đó là ngày sinh của họ còn những lần tổ chức sinh nhật thực chất chỉ là kỉ niệm ngày sinh thôi

6,Vì anh ấy đi giật lùi 

8,Bài toán cộng sai

9,lấy trong danh bạ nên có tất cả số của những người lắp đt

10,Nam
       

ban gi oi bai day lam the nao de lua chon dau bang dep the ha ban lam the nao ban biet cach tach ghep hop li?

Hình như đây là tài liệu dồn biến của PTV

Bdt cần cm $\Leftrightarrow (x+y+z)^{3}\geq 27xyz\Leftrightarrow 1-27xyz\geq 0$

vs ca ro rang bdt nho hon khi x = y =3

1 số bài khá cũ của mình mà vẫn thấy hay!!!!!!!!      

Bài 2:

Cho $a,b,c$ là 3 số thực dương.

CMR: $\frac{a}{(b+c)^{2}}+\frac{b}{(c+a)^{2}}+\frac{c}{(a+b)^{2}}\geq \frac{9}{4(a+b+c)}$

Bài 3:

Giả sử $x,y,z\geq 1; \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2$

CMR: $\sqrt{x+y+z}\geq \sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1}$

 

Bài 2
BDT cần c/m tương đương vs
$(a+b+c)(\frac{a}{(b+c)^{2}}+\frac{b}{(a+c)^{2}}+\frac{c}{(b+a)^{2}})\geq \frac{9}{4}$
Áp dụng bdt cauchy scharz ta có
$(a+b+c)(\frac{a}{(b+c)^{2}}+\frac{b}{(a+c)^{2}}+\frac{c}{(b+a)^{2}})\geq  (\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}) ^{2}$
Mặt khác theo bdt nesbit ta có
$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}$

Nên $(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})^2\geq \frac{9}{4}$ (DPCM)
Bài 3
Từ gt ta có
$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}= 2\Leftrightarrow 3-(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=3-2\Leftrightarrow \frac{x-1}{x}+\frac{y-1}{y}+\frac{z-1}{z}=1$
Áp dụng bdt cauchy schawz ta có
$1=\frac{x-1}{x}+\frac{y-1}{y}+\frac{z-1}{z}\geq \frac{(\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1})^2}{x+y+z}\Leftrightarrow x+y+z\geq (\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1})^2$
Khai căn ra ta có DPCM

vang em cam on a

Làm rõ thêm đi bạn

Đặt $\begin{matrix}\sqrt{x^{2}+x+1}=b & & \\ \sqrt{x^{2}-x+1}=a & & \end{matrix}$
PTTT
$2a^{2}-b^{2}=\frac{-\sqrt{3}}{3}ab\Leftrightarrow 2a^{2}+\frac{1}{\sqrt{3}}ab-b^{2}=0\Leftrightarrow 2\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}\frac{a}{b}-1=0$
Giải pt bậc 2 ẩn $\frac{a}{b}$ Ta có 
$\left\{\begin{matrix}\frac{a}{b}_{1}=\frac{1}{\sqrt{3}} & & \\ \frac{a}{b}_{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2} & & \end{matrix}\right.$
Tất nhiên TH2 loại do $\frac{a}{b}>0$
Thay $\begin{matrix}\sqrt{x^{2}+x+1}=b & & \\ \sqrt{x^{2}-x+1}=a & & \end{matrix}$ 
Từ đó giải ra x

Áp dụng bất đẳng thức cauchy cho 3 số dương ta có

$\frac{1}{a^{2}}+8a+8a\geq 12$

$\frac{1}{b^{2}}+8b+8b\geq 12$

$\frac{1}{c^{2}}+8c+8c\geq 12$

Cộng từng vế 3 bdt trên ta có Min A=13.5 đẳng thức sảy ra khi a=b=c=1/2

Đây thực chất là hàm đồng biến bạn ạ .Khi gặp 1 hàm đơn điệu thì nó luôn luôn chỉ có 1 nghiệm duy nhất , vấn đề là mò ra nghiệm đấy thôi

2) Giải phương trình $\sqrt{\frac{42}{5-x}}+\sqrt{\frac{60}{7-x}}=6$

2,
TH1,
$5> x> \frac{1}{3}\Rightarrow VT> 6$
TH2,
$x< \frac{1}{3}$  $\Rightarrow VT< 6$
TH3

$x=\frac{1}{3}$
Thử lại T/M
Vậy $x=\frac{1}{3}$ là nghiệm duy nhất của pt

$x= \sqrt{2+\sqrt{3}}-\sqrt{6-3\sqrt{2+\sqrt{3}}}\Rightarrow x^{2}=8-2\sqrt{2+\sqrt{3}}-2\sqrt{3(2-\sqrt{3})}$

$\Rightarrow (\frac{8-x}{2})^{2}=2+\sqrt{3}+3(2-\sqrt{3})+2\sqrt{3}=8$

$\Rightarrow x^{4}-16x^{2}+32=0$ (dpcm)

Cho đường tròn (O; R). Dây BC < 2R cố định và A thuộc cung lớn BC (A khác B, C và không trùng điểm chính giữa của cung). Gọi H là hình chiếu của A trên BC; E, F thứ tự là hình chiếu của B, C trên đường kính AA’.
a. Chứng minh: HE vuông AC.
b. Chứng minh: ∆HEF ~ ∆ABC.
c. Khi A di chuyển, chứng minh: Tâm đường tròn ngoại tiếp ∆HEF cố định.

b,kéo dài EH cắt AC tại K ta có $\widehat{HEF}=\widehat{AEK}$.
mà $\widehat{AEK}=\widehat{AA'C}$ (song song vì cùng vuông góc vs AC
$\widehat{AA'C}=\widehat{ABC}$(chắn cung AC) 
nên suy ra $\widehat{FEH}=\widehat{ABC}$ (1) 
Ta có $\widehat{AFH}=\widehat{ACB}$( tứ giác nội tiếp ) (2)

Từ 1 và 2 ta có dpcm
 

Cần cù bù thông minh bình phương thôi

câu c trông khó thế

Cho a,b,c,d là các số dương.

Chứng minh: $ \huge \frac{a-b}{b+c} +\frac{b-c}{c+d}+\frac{c-d}{a+d}\geq \frac{a-d}{a+b}$.

BDT cần cm tương đương vs
$\frac{a-b}{b+c}+\frac{b-c}{c+d}+\frac{c-d}{a+d}+\frac{d-a}{a+b}\geq 0\Leftrightarrow \frac{a+c}{b+c}+\frac{b+d}{c+d}+\frac{a+c}{a+d}+\frac{d+b}{a+b}\geq 4$
$\Leftrightarrow \frac{a}{b+c}+\frac{c}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{d}{c+d}+\frac{a}{a+d}+\frac{c}{a+d}+\frac{b}{a+b}+\frac{d}{a+b}\geq 4$ (Đoạn này ko cần chia ra nhưng ngại nhân nên làm tn cho tiện)

$\Leftrightarrow \frac{a^2}{ab+ac}+\frac{c^2}{cb+c^2}+\frac{b^2}{bc+bd}+\frac{d^2}{cd+d^2}+\frac{a^2}{a^2+da}+\frac{c^2}{ac+dc}+\frac{b^2}{ab+b^2}+\frac{d^2}{ad+bd}\geq 4$
Áp dụng BDT cauchy schawz ta có
$VT\geq\frac{4(a+b+c+d)^2}{ab+ac+cb+c^2+bc+bd+cd+d^2+a^2+da+ac+dc+ab+b^2+ad+bd}$

Vậy ta cần cm
$\frac{4(a+b+c+d)^2}{ab+ac+cb+c^2+bc+bd+cd+d^2+a^2+da+ac+dc+ab+b^2+ad+bd}\geq 4$
$\Leftrightarrow \frac{(a+b+c+d)^2}{ab+ac+cb+c^2+bc+bd+cd+d^2+a^2+da+ac+dc+ab+b^2+ad+bd}\geq 1$
Nhân chéo lên ta nhận đc kq luôn đúng ta có đpcm
Dấu đẳng thức sảy ra khi a=b=c=d
P/s để phông chữ nhỏ thôi 

Mình chỉ gợi ý thôi bạn tự làm nhé vì 2 bài này không khó
1, Sử dụng hằng đẳng thức $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
2,Sử dụng tính chất tích của 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 6

$a, n^{3}+3n^{2}+5n$ chia hết cho 3 $\forall n\in \mathbb{N}^{*}$

 

Ta có $n^{3}+5n=n^{3}-n+6n$
Tương tự câu b ta có $n^3-n\vdots 3$.Suy ra  $n^{3}-n+6n=n^{3}+5n\vdots3$
Lại có $3n^{2}\vdots 3$
Suy ra
$n^{3}+3n^{2}+5n\vdots 3$ (dpcm)

Đề số xấu quá nhỉ

$(a-b)^{2}\geq 0\Rightarrow a^{2}+b^{2}\geq 2ab$

Tương tự

$a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ca$ (1)

$\Leftrightarrow 7\geq ab+bc+ca$

Áp dụng BDT cauchy ta có

$a^{2}+\frac{7}{3}\geq 2\sqrt{\frac{7}{3}}\left |a \right |\geq 2\sqrt{\frac{7}{3}}a$

Tương tự ta có

$a^{2}+b^{2}+c^{2}+7\geq 2\sqrt{\frac{7}{3}}(a+b+c)$ 

suy ra

$\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}+7}{2\sqrt{\frac{7}{3}}}=\frac{14}{2\sqrt{\frac{7}{3}}}=\sqrt{21}\geq a+b+c$ (2)

Cộng từng vế 1 và 2  ta có

$12> \sqrt{21}+7\geq ab+bc+ca+a+b+c$

Dấu đẳng thức không sảy ra ta có dpcm

$b, n^{3}+2n$ chia hết cho 3 $\forall n\in \mathbb{N}^{*}$

Câu a chị xem lại đề nhé
b,$n^{3}+2n=n^{3}-n+3n$
Ta có với mọi n nguyên dương $n^{3}-n\vdots 6$ do $n^{3}-n=n(n-1)(n+1)$ (tích của 3 số liên tiếp luôn chia hết cho 6)
Mặt khác 3n luôn chia hết cho 3 với mọi n nguyên dương
Suy ra $n^{3}-n+3n=n^{3}+2n\vdots3$ (dpcm)

Đề thi Nguyễn Huệ hả 

Thôi để mình chém cho
Áp dụng Viét ta có $\left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=2m+4 & & \\ x_{1}x_{2}=2m+3 & & \end{matrix}\right.$
Để đơn giản biểu thức ta có thể đặt 2m+4=a nên 2m+3=a-1
Dễ thấy $\left\{\begin{matrix}x_{1}=a-x_{2} & & \\ x_{2}=a-x_{1} & & \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix}x_{1}^{2}=ax_{1}-a+1 & & \\ x_{2}^{2}=ax_{2}-a+1 & & \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x_{1}^{n+2}=ax_{1}^{n+1}-(a-1)x_{1}^{n} & & \\ x_{2}^{n+2}=ax_{2}^{n+1}-(a-1)x_{2}^{n} & & \end{matrix}\right.$
Đặt $x_{1}^{n}+x_{2}^{n}=S_{n}$
Cộng vế theo vế pt trên ta được $S_{n+2}=aS_{n+1}-S_{n}(a-1)$
Từ công thức này ta tìm được $S_{2}$ $S_{3}$
Rồi từ đó dễ dàng tìm ra $S_{5}$ qua a rồi thay vào gpt
Đó là cách tổng quát bài nào có Sn cũng làm được còn bài nay chỉ cần tìm ra S3 và S2 rồi nhân vs nhau là xong như thế kia dải quá )))