Đề số xấu quá nhỉ
$(a-b)^{2}\geq 0\Rightarrow a^{2}+b^{2}\geq 2ab$
Tương tự
$a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ca$ (1)
$\Leftrightarrow 7\geq ab+bc+ca$
Áp dụng BDT cauchy ta có
$a^{2}+\frac{7}{3}\geq 2\sqrt{\frac{7}{3}}\left |a \right |\geq 2\sqrt{\frac{7}{3}}a$
Tương tự ta có
$a^{2}+b^{2}+c^{2}+7\geq 2\sqrt{\frac{7}{3}}(a+b+c)$
suy ra
$\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}+7}{2\sqrt{\frac{7}{3}}}=\frac{14}{2\sqrt{\frac{7}{3}}}=\sqrt{21}\geq a+b+c$ (2)
Cộng từng vế 1 và 2 ta có
$12> \sqrt{21}+7\geq ab+bc+ca+a+b+c$
Dấu đẳng thức không sảy ra ta có dpcm