Tìm x nguyên để GT biểu thức A=$\frac{2x}{\sqrt{x-4}}$ nguyên.   

Mình xin giải bài này như sau:

Đặt $\frac{2x}{\sqrt{x-2}}=k$

$\Rightarrow 4x^{2}=k^{2}(x-2)$

$\Rightarrow 4x^{2}-k^{2}x+2k^{2}=0$

Đến đây bạn xét Denta, tìm ra chặn của k, k thuộc số nguyên, dễ dàng chọn được k. Với mỗi giá trị k, dễ dàng kiểm tra xem có giá trị x nào thoả mãn hay không

dương làm bằng niềm tin ak???

Có cách khác đây anh 

Toc Ngan

Không mất tính tổng quát giả sử $a\geq b\geq c$

Khi đó ta có: 

$b^{2}-bc+c^{2}\leq b^{2}$

$a^{2}-ac+c^{2}\leq (a+c)^{2}$

$a^{2}-ab+b^{2}\leq (a+c)^{2}-(a+c)b+b^{2}$

Nên: $\prod (a^{2}-ac+b^{2})\leq (a+c)^{2}b^{2}((a+c)^{2}-(a+c)b+b^{2})$

Ta đặt: $x=\frac{a+c-b}{2}, y=\frac{a+b+c}{2}=\frac{3}{2}$

Do vậy BĐT được viết lại dưới dạng sau:

$(y^{2}-x^{2})^{2}(y^{2}+3x^{2})$

Sử dụng AM-GM:

$\frac{3}{2}(y^{2}-x^{2})\frac{3}{2}(y^{2}-x^{2})(y^{2}+3x^{2})\leq (\frac{4}{3}y^{2})^{3}=27\Rightarrow (y^{2}-x^{2})^{2}(y^{2}+3x^{2})\leq 12$

Dấu $"="$ xảy ra $\Leftrightarrow a=2,b=1,c=0$

   

thấy đề thớt cho dương á

Do vai trò của $a,b,c$ là như nhau nên ta có thể giả sử $a \geqslant b \geqslant c \geqslant 0$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} b^2-bc+c^2\leqslant b^{2}\\ c^2-ca+a^2\leqslant a^2 \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow P=\prod (a^2-ab+b^2)\leqslant (a^2-ab+b^2)a^2b^2=\left [ (a+b)^2-3ab \right ]a^2b^2$

Do $a,b,c$ không âm và $a+b+c=3$ $\Rightarrow a+b\leqslant 3$

$\Rightarrow P\leqslant \left [ (a+b)^2-3ab \right ]a^2b^2\leqslant (9-3ab)a^2b^2=3(3-ab)a^2b^2$

Đến đây áp dụng AM-GM ta có

       $3(3-ab)a^2b^2=12(3-ab).\frac{ab}{2}.\frac{ab}{2}\leqslant 12(\frac{3-ab+\frac{ab}{2}+\frac{ab}{2}}{3})^3=12$

$\Rightarrow P\leqslant 12$

Đẳng thức xảy ra khi $(a,b,c)=(2,1,0)$ và các hoán vị

số thực dương nha bạn ơi

theo mình nghĩ mẫu của một trong 2 phân thức đầu là x+1 sẽ hợp lí hơn đấy.

mình cũng nghĩ thế

Bài này áp dụng $a^3+b^3\geq ab(a+b)$ cũng được

cosi nó mới pro ))

Sao bạn quy đồng kì vậy Bạn coi lại đi

sr bạn, mình nhầm nhưng cái phân số thứ 2 mẫu phải là x+1 chứ nhỉ

Hình chóp tam giác đều nghĩa là

 

_ hình chóp thường đáy là tam giác đều?

_ hay là hình chóp đều đáy là tam giác (đương nhiên sẽ là tam giác đều) ?

là hình chóp có đáy là tam giác đều, các cạnh bên bằng nhau

Tôi muốn các bạn chứng minh bằng AM-GM chứ chebyshev thì quá dễ cho tất cả......  

ok, chiều bạn luôn

$3a^{5}+a=a^{5}+a^{5}+a^{5}+a\geq 4a^{4}$

chứng minh tương tự và cộng theo vế ta được $3(a^{5}+b^{5}+c^{5})+a+b+c\geq 4(a^{4}+b^{4}+c^{4})$   

$3(a^{5}+b^{5}+c^{5})\geq 4(a^{4}+b^{4}+c^{4})-3$

ta có $a^4+1+1+1\geq 4a, b^{4}+1+1+1\geq 4b, c^{4}+1+1+1\geq 4c$

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được $a^{4}+b^{4}+c^{4}\geq 3$

$\geq 3(a^{4}+b^{4}+c^{4})+(a^{4}+b^{4}+c^{4})-3\geq 3(a^{4}+b^{4}+c^{4})$

Bài toán kết thúc

2) $20(\frac{x-2}{x-1})^{2}-5(\frac{x+2}{x-1})^{2}+48(\frac{x^2-4}{x^2-1})=0$

bài số 2 thì quy đồng lên ta được

$20(x-2)^{2}-5(x+2)^{2}+48(x^{2}-4)=0$

đặt x-2=a. x+2=b thì

$20a^{2}-5b^{2}+48ab=0$

$\Rightarrow a=\frac{b}{10}$ hay $a=\frac{-5b}{2}$

Tới đây bạn giải tiếp được rồi

Bài 1:

Cho $a,b,c$ là 3 số dương thỏa mãn: $a+b+c=3$

CMR: $a^{5}+b^{5}+c^{5}\geq a^{4}+b^{4}+c^{4}$

Bài 2:

Cho $a_{1},a_{2},.....,a_{n}$ là các số dương thỏa mãn: $a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n}=n$

CMR: $a_{1}^{k+1}+a_{2}^{k+1}+...+a_{n}^{k+1}\geq a_{1}^{k}+a_{2}^{k}+...+a_{n}^{k}$

Với $k$ là số thực dương: $k\geq 2$

Bài này có thể dùng bất đẳng thức chebyshev cho các dãy $(a,b,c), (a^{4},b^{4},c^{4})$. Bạn có thể xem bất đẳng thức ở http://diendantoanho...thức-chebyshev/

Cho \[\frac{1}{{{x}^{2}}}+\frac{1}{{{y}^{2}}}=1\] . Tìm min của $A={{x}^{3}}+{{y}^{3}}$ 

ta có $x^{3}+x^{3}+\frac{4\sqrt{2}}{x^{2}}+\frac{4\sqrt{2}}{x^{2}}+\frac{4\sqrt{2}}{x^{2}}\geq 10\sqrt{2}$

$\Rightarrow 2x^{3}+\frac{12\sqrt{2}}{x^{2}}\geq 10\sqrt{2}$

chứng minh tương tự ta được$\Rightarrow 2y{3}+\frac{12\sqrt{2}}{y^{2}}\geq 10\sqrt{2}$

công theo vế ta được

$2(x^{3}+y^{3})+12\sqrt{2}(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}})\geq 20\sqrt{2}$

$\Rightarrow x^{3}+y^{3}\geq 4\sqrt{2}$

$\left\{\begin{matrix} (x+y)(xy+y+5)=-8 & \\ x^{2}+y^{2}+x(y+1)=3& \end{matrix}\right.$

Xét khai triển $(1+x)^{n+1}(1+x)^{n+1}=(1+x)^{2n+2}$

 $\Rightarrow \sum_{k=0}^{n+1}\textrm{C}_{n+1}^{k}x^k.\sum_{k=0}^{n+1}\textrm{C}_{n+1}^{k}x^{n+1-k}=\sum_{k=0}^{2n+2}\textrm{C}_{2n+2}^{k}x^k.$  (*)

Dễ thấy hệ số của $x^{n+1}$ ở cả $2$ vế lần lượt là 

                        $(\textrm{C}_{n+1}^{0})^2+(\textrm{C}_{n+1}^{1})^2+...+(\textrm{C}_{n+1}^{n+1})^2$

                        $\textrm{C}_{2n+2}^{n+1}$

Vậy ta có đpcm

sao bạn lại chọn hệ số của $x^{n+1}$ thế bạn

Chứng minh:

$(C_{n+1}^{0})^{2}+(C_{n+1}^{1})^{2}+....+(C_{n+1}^{n+1})^{2}=C_{2n+2}^{n+1}$