Xét sự biến thiên hàm số sau:$y=\frac{x+1}{x-1}$

em xem thêm tại đây nhé 

PT(1) <=> $x-4+(\sqrt{x^2-4x+1}-1)=3(\sqrt{x}-2)$

<=> $x-4+\frac{x^2-4x}{\sqrt{x^2-4x+1}+1}=3\frac{x-4}{\sqrt{x}+2}$

<=> x=4 hoặc $1+\frac{x}{\sqrt{x^2-4x+1}+1}=\frac{3}{\sqrt{x}+2}$

PT sau vô nghiệm với $x\geq 2+\sqrt{3}$

Nếu $x< 2+\sqrt{3}$ thì sao bạn bạn chưa xét hả?

1/ $PT\Leftrightarrow x^2-4x+1=(x+1-3\sqrt{x})^2\Leftrightarrow 6x.\sqrt{x}-15.x+6.\sqrt{x}=0$

OK.

P/s: làm j cho dài   

Chỗ này bạn bình phương lên nhưng chắc gì đã lớn hơn không hả bạn?$\sqrt{x^2-4x+1}=3\sqrt{x}-x-1$ vẫn phải xét $3\sqrt{x}\geq x+1$

Đề thi VMO ngày 2!Em lấy bên mathscope

Đề kiểm tra đội tuyển mình nhé!Khó choáng quá làm được 1 phần     (150 phút)

Câu 1(2điểm):Gỉa sử phương trình $ax^2+bx+c=0$ có 2 nghiệm thuộc $\left [ 0;1 \right ]$.Xác định $a,b,c$ để biểu thức sau có giá trị lớn nhất ,nhỏ nhất :$P=\frac{(a-b)(2a-c)}{a(a-b+c)}$

Câu 2(2 điểm):Cho các số không âm a,b,c thỏa mãn:$a+b+c=2$.Tìm giá trị nhỏ nhất giá trị lớn nhất của biểu thức

$A=\frac{1+\sqrt{a}}{1+\sqrt{b}}+\frac{1+\sqrt{b}}{1+\sqrt{c}}+\frac{1+\sqrt{c}}{1+\sqrt{a}}$

Câu 3(2 điểm):a,Cho 6 số thực $x_{1},x_{2},...,x_{6}\in \left [ 0;1 \right ]$.Tìm max:$(x_{1}-x_{2})(x_{2}-x_{3})....(x_{6}-x_{1})$

b.Tìm nghiệm nguyên dương của hệ:$\left\{\begin{matrix}2^x=2y & & \\ 2^y=2x & & \end{matrix}\right.$

Câu 4(3 điểm):Cho đường tròn $(O;r)$.Xét hình thang  $ABCD$ ngoại tiếp đường tròn nói trên,trong đó$BC\parallel AD,\angle BAD=\alpha ,\angle CAD=\beta (\alpha ,\beta \leq 90)$

a,Chứng tỏ rằng $\frac{1}{OA^2}+\frac{1}{OB^2}=\frac{1}{OC^2}+\frac{1}{OD^2}$

b,Tính $S_{ABCD }$ th$r,\alpha ,\beta$ với các góc $\alpha ,\beta$ bằng bao nhiêu thì hình thang có diện tích nhỏ nhất và tính diện tích đó theo $r$

Câu 5(1điểm):Trong các số tự nhiên từ $1->1997$ chọn $n(n\geq 2)$ số phân biệt sao cho $2$ số bất kì chọn được tổng chia hết cho $8$.Hỏi trong cách chọn số $n$ như thế thì $n$ lớn nhất là bao nhiêu

Phương trình có nghiệm bằng 1 nhé bạn

Mình chỉ trên mà bạn  .Chỗ phương trình vô nghiệm là chỉ biểu thức trong ngoặc

 

Câu 3( 2 điểm )

Cho a > 0;b > 0; a + b $\leq 1$.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

A = $\frac{a^{2}b^{2}}{a^{4}b^{2}+a^{2}b^{4}+a^{2}+b^{2}}$

Vì $a,b>0$ nên ta chia tử xuống mẫu có

$A=\frac{1}{(ab+\frac{1}{ab})(\frac{a}{b})+\frac{b}{a}}$

Ta có:$ab+\frac{1}{ab}=ab+\frac{1}{16ab}+\frac{15}{16ab}\geq 2.\frac{1}{4}+\frac{15}{16ab}$

mà $1\geq a+b\geq 2\sqrt{ab}$ =>$\frac{1}{4}\geq ab$

Từ đó có $ab+\frac{1}{ab}\geq \frac{1}{2}+\frac{15}{16.\frac{1}{4}}=\frac{17}{4}$

$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$

Từ đó có:$A\leq \frac{1}{\frac{17}{4}.2}=\frac{2}{17}$

Dấu bằng xảy ra $a=b=\frac{1}{2}$

1.

b. Cho các số nguyên dương a,b,c ($b \neq1$) sao cho $\frac{a-b\sqrt{5}}{b-c\sqrt{5}}$ là 1 số hữu tỉ.

cm: $a^2+b^2+c^2$ là hợp số.

Đặt $\frac{a-b\sqrt{5}}{b-c\sqrt{5}}=\frac{m}{n}(m;n=1)$

Theo bài ra có:$an-b\sqrt{5}n=bm-c\sqrt{5}m$

<=>$an-bm=\sqrt{5}(bn-cm)$

Vế trái nguyên $\sqrt{5}$ vô tỷ suy ra :$bn=cm$=>$\frac{b}{c}=\frac{m}{n}$   (1)

từ đó suy ra:$an=bm$=>$\frac{a}{b}=\frac{m}{n}$   (2)

Từ (1) và (2) suy ra:$ac=b^2$

Ta có:$a^2+b^2+c^2=a^2+c^2+ac=(a+c)^2-ac=(a+c)^2-b^2=(a-b+c)(a+b+c)$ là hợp số => điều phải chứng minh!

2) Cho ba số dương a, b, c thoả mãn: 

Chứng minh rằng:A= 

 

Áp dụng bất đẳng thức sau:$m+n\leq\sqrt{2(m^2+n^2)}$

Bất đẳng thức phải chứng minh

<=>$A=\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\geq \frac{a^2}{\sqrt{2(b^2+c^2)}}+\frac{b^2}{\sqrt{2(c^2+a^2)}}+\frac{c^2}{\sqrt{2(c^2+a^2)}}$

Đặt $x=\sqrt{b^2+c^2},y=\sqrt{c^2+a^2},z=\sqrt{a^2+b^2}$=>$x+y+z=\sqrt{2011}$

Từ đó suy ra:$A\geq \frac{y^2+z^2-x^2}{2\sqrt{2}x}+\frac{z^2+x^2-y^2}{2\sqrt{2}y}+\frac{x^2+y^2-z^2}{2\sqrt{2}z}\geq \frac{1}{2\sqrt{2}}\left [ (\frac{(y+z)^2}{2x}-x)+(\frac{(x+z)^2}{2y}-y)+(\frac{(x+y)^2}{2z}-z) \right ]\geq \frac{1}{2\sqrt{2}}\left [ (\frac{(y+z)^2}{2x}+2x-3x)+(\frac{(x+z)^2}{2y}-2y+3y)+(\frac{(x+y)^2}{2z}+2z-3z) \right ]\geq \frac{1}{2\sqrt{2}}\left [ (2(y+z)-3x)+(2(x+z)-3y)+(2(x+y)-3z)) \right ]$

Hay$A\geq \frac{1}{2\sqrt{2}}(x+y+z)=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2011}{2}}=>Q.E.D$

Dấu bằng xảy ra <=>$a=b=c=\frac{\sqrt{2011}}{3\sqrt{2}}$

Câu 3:

a. Giải phương trình: $4\sqrt{x+3}-\sqrt{x-1}=x+7$

a,Điều kiện để căn có nghĩa:$x\geq 1$

PT <=>$4\sqrt{x+3}-8-\sqrt{x-1}-(x-1)=0$

     <=>$\frac{4(x-1)}{4\sqrt{x+3}+8}-\sqrt{x-1}-(x-1)=0$

     <=>$\sqrt{x-1}(\frac{4}{4\sqrt{x+3}+8}-1-\sqrt{x-1})=0$

     <=>$x=1$

Vì xét biểu thức trong ngoặc đặt bằng A nhé:

$x\geq 1=>\frac{4}{4\sqrt{x+3}+8}\leq \frac{1}{4},\sqrt{x-1}\geq 0=>-\sqrt{x-1}\leq 0 =>A\leq\frac{1}{4}-1-0=-\frac{3}{4}$

=> phương trình vô nghiệm 

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HÓA
(Đề thi chính thức) KỲTHI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
CẤP TỈNH NĂM HỌC 2010- 2011
Ngày thi: 24/03/2011

MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
--------------------------------------------------------------------------------

Câu I. (5,0 điểm).

 

2) (a). Cho ba số hữu tỉ a, b, c thoả mãn . Chứng minh rằng là số hữu tỉ.

(b). Cho ba số hữu tỉ x, y, z đôi một phân biệt. Chứng minh rằng:  là số hữu tỉ.

 

a,Từ giả thiết có:$c(a+b)=ab$.Thay vào biểu thức $A$ có:$=\sqrt{(a+b)^2-2ab+c^2}=\sqrt{(a+b)^2-2c(a+b)+c^2}=\sqrt{(a+b-c)^2}=\left | a+b-c \right |$ là số hữu tỉ

b,Xét:$(\frac{1}{x-y}+\frac{1}{y-z}+\frac{1}{z-x})^2=\frac{1}{(x-y)^2}+\frac{1}{(y-z)^2}+\frac{1}{(z-x)^2}+\frac{2}{(x-y)(y-z)}+\frac{2}{(y-z)(z-x)}+\frac{2}{(z-x)(x-y)}=B^2+\frac{2(x-y)+2(y-z)+2(z-x)}{(x-y)(y-z)(z-x)}=B^2=>B=\left | \frac{1}{x-y} +\frac{1}{y-z}+\frac{1}{z-x}\right |$ là số hữu tỉ

Gọi 1997 số tự nhiên đó lần lượt là $a_{1};a_{2};...;a_{1997}$ , số dư của $a_{1}$ cho 8 là $k$; số dư của $a_{2}$ cho 8 là $t$ ($0\leq k;t<8 và k;t \in N$) thì

$a_{1}+a_{2}\vdots 8 \Leftrightarrow B(8)+k+t\vdots 8\rightarrow k+t\vdots 8$

Mà $a_{1}+a_{3}\vdots 8 ; a_{2}+a_{3}\vdots 8 \rightarrow a_{1}\equiv a_{2}(mod 8)\rightarrow k=t$ mà $k;t\in N$ và $0\leq k;t < 8$ nên $k=t=0$ hoặc $k=t=4$

Số các số chia hết cho 8 từ 1 đến 1997 là 8;16;24;...;1992 có 249 số

Số các số chia cho 8 dư 4 từ 1 đến 1997 là 4;12;20;28;...;1996 có 250 số

Vậy $n$ lớn nhất bằng 250

P/s: đề khoai quá     , bạn ở tỉnh nào , lớp mấy v???  

Mình Phú Thọ lớp 9

Ta chứng minh bằng phương pháp qui nạp: Với n lớn hơn hoặc bằng 2 thì: $2^n>2.n$

Áp dụng: Với $x>y\rightarrow 2y=2^x>2^y$ (Mâu thuẫn) , x<y.

Do đó: x=y. Vậy x=y=1

Thiếu x=y=2!

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HÓA
(Đề thi chính thức) KỲTHI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
CẤP TỈNH NĂM HỌC 2010- 2011
Ngày thi: 24/03/2011

MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
--------------------------------------------------------------------------------

Câu II. (5,0 điểm).

1) Giải phương trình: 

2) Giải hệ phương trình: 

 

1.Điều kiện xác đinh:$x\neq +-1$.Phương trình tương đương "

$(\frac{x}{x+1}+\frac{x}{x-1})^2-2\frac{x^2}{x^2-1}=\frac{10}{9}<=>(\frac{2x^2}{x^2-1})^2-\frac{2x^2}{x^2-1}-\frac{10}{9}=0$

Đặt $t=\frac{2x^2}{x^2-1}$ thay vào phương trình có:

$t^2-t-\frac{10}{9}=0<=>9t^2-9t-10=0<=>\begin{bmatrix}t=\frac{-2}{3} & & \\t=\frac{5}{3} & & \end{bmatrix}$

Nếu $t=\frac{5}{3}$ =>phương trình vô nghiệm

Nếu $t=\frac{-2}{3}<=>\begin{bmatrix}x=\frac{1}{2} & & \\ x=\frac{-1}{2} & & \end{bmatrix}$

2,Điều kiện:$y\neq 0$.Hệ phương trình 

<=>$\left\{\begin{matrix}x^2+\frac{1}{y^2}+x+\frac{1}{y}=4 & & \\x^3+\tfrac{1}{y^3}+\frac{x}{y}(x+\frac{1}{y})=4 & & \end{matrix}\right.$

Đặt $u=x+\frac{1}{y},v=\frac{x}{y}$ ta có hệ trở thành

$\left\{\begin{matrix}u^2+u-2v=4 & & \\ u^3-2uv=4 & & \end{matrix}\right.$

<=>$\left\{\begin{matrix}u^2-4u+4=0 & & \\ u^2+u-4=2v & & \end{matrix}\right.$

<=>$\left\{\begin{matrix}u=2 & & \\ v=1 & & \end{matrix}\right.$

thay vào rồi giải hệ ra có:$\left\{\begin{matrix}x=1 & & \\ y=1 & & \end{matrix}\right.$

Bài 10:(Đề thi trại hè hùng vương 2014)

Chứng minh rằng:tồn tại $16$ số tự nhiên liên tiếp sao cho không có số nào trong $16$ số có thể biểu diễn dưới dạng $\left | 7x^2+9xy-5y^2 \right |$($a,b\in R$)

Mọi người xem tại đây

Bài 1: Cho a,b>0; a+b=1. Chứng minh:

a) $\frac{1}{ab}+\frac{1}{a^{2}+b^{2}}\geq 6$

b) $\frac{2}{ab}+\frac{3}{a^{2}+b^{2}}\geq 14$

a,

Ta có:$\frac{1}{ab}+\frac{1}{a^2+b^2}=\frac{2}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}=\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}\geq \frac{4}{(a+b)^2}+\frac{1}{\frac{(a+b)^2}{2}}=4+2=6$

Dấu bằng xảy ra <=>$a=b=\frac{1}{2}$

b,Bạn tách với làm tương tự nhé

Lưu ý:Khi tách để ý dấu bằng xảy ra nhé!

cho a,b là những số thực thỏa mãn $a+b=ab$ và $a,b> \frac{\sqrt{5}-1}{2}$ CMR: $\frac{1}{a^{2}+a-1}+\frac{1}{b^{2}+b-1}\geq \frac{2}{5}$

Ta có:$b=1=>a=0$ vô lí vì $a> \frac{\sqrt{5}-1}{2}$

Nếu $b\neq 1$ có:$a(1-b)=-b <=>a=\frac{b}{b-1}$ từ đó thay vào điều phải chứng minh có

$\frac{1}{(\frac{b}{b-1})^2+\frac{b}{b-1}-1}+\frac{1}{b^2+b-1}\geq \frac{2}{5}$

<=>$\frac{(b-1)^2}{b^2+b(b-1)-(b-1)^2}+\frac{1}{b^2+b-1}\geq \frac{2}{5}$

<=>$\frac{(b-1)^2}{b^2+b-1}+\frac{1}{b^2+b-1}\geq \frac{2}{5}$

<=>$5\left [ (b-1)^2+1 \right ]\geq 2(b^2+b-1)$

<=>$3(b-2)^2\geq 0$ đúng

Dấu bằng xảy ra:$a=b=2$

Mình lập ra topic này để mọi người trao đổi với nhau về các phương trình , hệ phương trình chuẩn bị ôn thi lớp 10 vào các trường chuyên . 

P/s : Lần đầu viết topic lớn mong mọi người ủng hộ và giúp đỡ 

Mình xin mở đầu bằng một số phương trình sau:

1/$-x+3=2\sqrt{1-x}-\sqrt{1+x}+3\sqrt{1-x^2}$

 

ĐKXĐ $-1\leq x\leq 1$

Đặt $\sqrt{1-x}=a$,$\sqrt{x+1}=b$ ($a,b\geq 0$)

Ta có $2a^2+b^2=2a-b+3ab$

Đưa về nhân tử sau:$(a-b)(a-2b-2)=0$

Từ đó thế vào phương trình tìm được x

Mở rộng bài toán trên

Giải phương trình sau:$x+3+\sqrt{1-x^2}=3\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}$

                 (Đề thi toán vòng 2 THPT chuyên ĐHKHTN-ĐHQG HN năm 2013-2014)

sao thiết lập được cả ba cái như vậy nhỉ nếu vậy dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=1$ rồi

 

NTP

Cách này em làm nhầm

Đặt $a=x^2+1,b=y^2+1,c=z^2+1$

Từ giả thiết suy ra :$a,b,c\in \left [1;2 \right ]$

Bài toán trở thành tìm max:

$A=\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$

Không mất tính tổng quát giả sử $a\geq b\geq c=>(b-a)(b-c)\leq 0<=>\frac{a}{b}+\frac{b}{c}\leq \frac{a}{c}+1$

Do $a,b,c\in \left [ 1;2 \right ]<=>(2a-c)(2c-a)\geq 0<=>\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\leq \frac{5}{2}=>A\leq 1+\frac{5}{2}=\frac{7}{2}$

cho $x,y,z\geq 0$ thỏa $x+y+z=1$

tìm GTLN của $P=\frac{x^2+1}{y^2+1}+\frac{y^2+1}{z^2+1}+\frac{z^2+1}{x^2+1}$

 

NTP

Không mất tính tổng quát giả sử $x=max\left \{ x,y,z \right \}$.

Áp dụng kĩ thuật tách cô si ngược dấu có:

$\frac{x^2+1}{y^2+1}=x^2+1-\frac{y^2(x^2+1)}{(y^2+1)}\leq x^2+1-\frac{y^2(x^2+1)}{2}$

Tương tự có:$P\leq x^2+y^2+z^2+3-\frac{x^2(y^2+1)+y^2(z^2+1)+z^2(x^2+1)}{2}=\frac{x^2+y^2+z^2-(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)}{2}+3\leq \frac{x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+xz)}{2}+3=\frac{7}{2}$

Dấu bằng xảy ra $x=1,y=z=0$ và các hoán vị!

Em không chắc cách này đúng mong các anh chị xem hộ bài!

Bài này là đề thi chuyên KHTN vòng 2 bạn tham khảo tại đây nhé 

1,cho a$\geq 3;b\geq 4;c\geq 2$ Tìm max A=$\frac{ab\sqrt{c-2}+bc\sqrt{a-3}+ca\sqrt{b-4}}{abc}$

2,Tìm Max B=$4x^2-3x^3$ trong đó $0\leq x< \frac{4}{3}$

Chém bài một trước nhé

Ta có:$A=\frac{\sqrt{c-2}}{c}+\frac{\sqrt{a-3}}{a}+\frac{\sqrt{b-4}}{b}=\frac{\sqrt{2(c-2)}}{\sqrt{2}c}+\frac{\sqrt{3(a-3)}}{\sqrt{3}a}+\frac{\sqrt{4(b-4)}}{2b}\leq \frac{c}{\sqrt{2}c}+\frac{a}{\sqrt{3}a}+\frac{b}{2b}=\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{2}$

Dấu bằng xảy ra:$a=6,b=8,c=4$

Cho $x,y,z >0.$

Tim GTLN của $\frac{x}{2x+y}+\frac{y}{2y+z}+\frac{z}{2z+x}$

Tớ làm thế này không biết đúng không nhé bạn!

Ta có:$x,y,z>0$ nên P=$\frac{1}{2+\frac{y}{x}}+\frac{1}{2+\frac{z}{y}}+\frac{1}{2+\frac{x}{z}}$

Đặt $\frac{y}{x}=a,\frac{z}{y}=b,\frac{x}{z}=c$

Ta có:Tìm max $P=\sum \frac{1}{2+a}$ với $abc=1$

Ta dự đoán $P\leq 1$ song ta chứng minh biến đổi tương đương

$\sum \frac{1}{a+2}\leq 1$

$<=>abc+ab+bc+ac\geq 4$

Đúng vì áp dụng bất đẳng thức cô si 4 số có:$abc+ab+bc+ac\geq 4\sqrt[4]{(abc)^2}=4$

Dấu bằng xảy ra $<=>x=y=z$

Đây là bài toán đặt ẩn phụ với biểu thức quen thuộc $abc=1$.Với dạng này có rất nhiều bài toán khác nhau.

Cứ nhóm 3 số với nhau là được

A=(2^9 + 2^7 + 1)(2^23 – 2^21 + 2^19 – 2^17 + 2^14 – 2^10 + 2^9 – 2^7 +1)

Bài toán có vấn đề chỗ này phải là cộng chứ bạn ?????