1/Cmr:$\frac{1}{2\sqrt[3]{1}}+\frac{1}{3\sqrt[3]{2}}+\frac{1}{4\sqrt[3]{3}}+...+\frac{1}{(n+1)\sqrt[3]{n}}<3(n \in N*)$

2/giả sử phương trình $ax^3+bx^2+cx+d=0 (a\neq 0)$ co 2 nghiệm x₁ ,x₂ .Cmr x₁x₂$\geq \frac{4ac-b^2}{a^2}$

1/giả sử phương trình $x^5-x^3+x-2=0$ có nghiệm thực x₀. Cmr $\sqrt[6]{3}< x_{0}< \sqrt[6]{4}$

2/cho a,b,c là độ dài 3 cạnh một tam giác và $0\leq t\leq 1$ Cmr 

         $\sqrt{\frac{a}{b+c-ta}}+\sqrt{\frac{b}{a+c-tb}}+\sqrt{\frac{c}{b+a-tc}}\geq 2\sqrt{t+1}$

3/cho a,b,c >0 và $6(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})\leq 1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$ CMR

          $\sum \frac{1}{10a+b+c}\leq \frac{1}{12}$

4/cho a,b,c>0 , a+b+c=4 và ax+by+cz=xyz. CMR x+y+z>4

5/cho a,b,c>0 CMR $(a^3+b^3+c^3)(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{c^3}+\frac{1}{b^3})\geq \frac{3}{2}(\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c})$

6/cho x₁,x₂ ,...,x_n >0 và  x₁,x₂ ,...,x_n =1.Cmr $\sqrt{1-x_{1}}+\sqrt{1-x_{2}}+...+\sqrt{1-x_{n}}\leq \sqrt{n(n-1)}$

7/cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác và a+b+c=1 CMR a^2+b^2+c^2+4abc$\geq \frac{13}{27}$

8/ cho a,b,c,d >0 và ab+bc+cd+da=1.CMR $\sum \frac{a^3}{b+c+d}\geq \frac{1}{3}$

9/cho a>b $\geq$ 0 cmr a+$\frac{4}{(1+b)^2(a-b)}\geq 3$

10/.cho a,b,c là độ dài 3 cạnh 1 tam giác CMR $\sum \frac{a}{\sqrt[3]{b^3+c^3}}<2\sqrt[3]{4}$

ai có ít tài liệu nào về phần bdt không ạ (cấp 2 ) chứ e dốt phần này quá 

bạn vào trang này nhé http://diendantoanho...-bất-đẳng-thức/

Bài 9 không biết đề có bị sai hay không. Với $a=2;b=1$ thì bất đẳng thức sai. 

 

Đề sai sửa thành $a+\frac{4}{(1+b)^2(a-b)}\geq 3$

Bài 6 này là số thực phải ko nhỉ

mình viết thiếu mình đã sửa rồi đấy 

1/cho a,b,c,d>0.cmr $\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{d^2}+\frac{d^2}{a^2}\geq \frac{a+b+c+d}{\sqrt[4]{abcd}}$

2/cho x,y,z$\geq 0$ và x+y+z=2.cmr $\sum x^3\leq 1+\frac{1}{2}\sum x^4$

Giả sử $x\geq y\geq z$

Ta có: $(\frac{x^{2}y}{z}+\frac{y^{2}z}{x}+\frac{z^{2}x}{y})(\frac{x^{2}z}{y}+\frac{y^{2}x}{z}+\frac{z^{2}y}{x})\geq (x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}$

Mặt khác: $\frac{x^{2}y}{z}+\frac{y^{2}z}{x}+\frac{z^{2}x}{y}-\frac{x^{2}z}{y}-\frac{y^{2}x}{z}-\frac{z^{2}y}{x}=\frac{(xy+yz+zx)(x-y)(x-z)(y-z)}{xyz}\geq 0$ theo điều kiện ta giả sử.....

Vậy: $(\frac{x^{2}y}{z}+\frac{y^{2}z}{x}+\frac{z^{2}x}{y})^{2}\geq (\frac{x^{2}y}{z}+\frac{y^{2}z}{x}+\frac{z^{2}x}{y})(\frac{x^{2}z}{y}+\frac{y^{2}x}{z}+\frac{z^{2}y}{x})\geq (x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}\Rightarrow \frac{x^{2}y}{z}+\frac{y^{2}z}{x}+\frac{z^{2}x}{y}\geq x^{2}+y^{2}+z^{2}$

bạn biết cách sử dụng bdt AM-GM ko?

1/cho a,b,c là độ dài 3 cạnh một tam giác và $0\leq t\leq 1$ Cmr 

         $\sqrt{\frac{a}{b+c-ta}}+\sqrt{\frac{b}{a+c-tb}}+\sqrt{\frac{c}{b+a-tc}}\geq 2\sqrt{t+1}$

2/cho a,b,c>0 , a+b+c=4 và ax+by+cz=xyz. CMR x+y+z>4

3/cho a,b,c >0 và $6(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})\leq 1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$ CMR

          $\sum \frac{1}{10a+b+c}\leq \frac{1}{12}$

4/cho a,b,c>0 CMR $(a^3+b^3+c^3)(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{c^3}+\frac{1}{b^3})\geq \frac{3}{2}(\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c})$

5/giả sử phương trình $x^5-x^3+x-2=0$ có nghiệm thực x₀. Cmr $\sqrt[6]{3}< x_{0}< \sqrt[6]{4}$

6/ cho a,b,c>0 và $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3$ CMR  $\sum \sqrt[4]{a^3}\geq$ $\sum \sqrt[3]{a^2}$

 

Từ gt suy ra

\[\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \le 1\]

Ta có

\[\frac{1}{{10a + b + c}} = \frac{{(12.\frac{1}{{12}})^2 }}{{10a + b + c}} \le \frac{1}{{144}}(\frac{{10}}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c})\]

Cộng 3 bđt tương tự suy ra 

\[\sum {\frac{1}{{10a + b + c}} \le \frac{1}{{12}}(} \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c})\]

Từ đây suy ra đpcm

 

 

bạn cò thể giải  đầy đủ  giúp mình ko tại mình mới học về bdt mà nếu có cách  dùng bdt Cauchy thì càng  tốt

193/cho a,c,b >0 cmr $\sum \frac{a^4}{a^4+\sqrt[3]{(a^6+b^6)(a^3+c^3)}}\leq 1$

 

Giả sử \[a + b + c = 3\]

Ta cm 

\[\sqrt {\frac{a}{{b + c - ta}}}  = \sqrt {\frac{a}{{3 - (t + 1)a}}}  \ge \frac{1}{{\sqrt {2 - t} }} + \frac{3}{{(2 - t)\sqrt {2 - t} }}(a - 1)\]

(CM cái này đơn giản chỉ việc nhân chéo rùi bình phương là xong)

Cộng 3 bdt tương tự ta có \[\sum {\sqrt {\frac{a}{{b + c - ta}}}  \ge } \frac{3}{{\sqrt {2 - t} }} + \frac{3}{{(2 - t)\sqrt {2 - t} }}(a + b + c - 3) = \frac{3}{{\sqrt {2 - t} }}\]

Lại có \[(2 - t)(t + 1) \le \frac{9}{4} \Rightarrow \frac{3}{{\sqrt {2 - t} }} \ge 2\sqrt {t + 1} \]

Từ đây suy ra đpcm

 

tại sao bạn giả sử a+b+c=3 được

Để ý rằng:
$$\dfrac{1}{(n+1)\sqrt[3]{n}}=\dfrac{n+1-n}{(n+1)\sqrt[3]{n}}=\dfrac{(\sqrt[3]{n+1}-\sqrt[3]{n})(\sqrt[3]{(n+1)^2}+\sqrt[3]{n(n+1)}+\sqrt[3]{n^2})}{(n+1)\sqrt[3]{n}} \\ < \dfrac{3(\sqrt[3]{n+1}-\sqrt[3]{n})\sqrt[3]{(n+1)^2}}{(n+1)\sqrt[3]{n}}=\dfrac{3}{\sqrt[3]{n}}-\dfrac{3}{\sqrt[3]{n+1}}$$
Khi đó, ta có:
$$\dfrac{1}{2\sqrt[3]{1}}+\dfrac{1}{3\sqrt[3]{2}}....+\dfrac{1}{(n+1)\sqrt[3]{n}}<\left( \dfrac{3}{\sqrt[3]{1}}-\dfrac{3}{\sqrt[3]{2}} \right)+ \left( \dfrac{3}{\sqrt[3]{2}}-\dfrac{3}{\sqrt[3]{3}} \right)+...+\left( \dfrac{3}{\sqrt[3]{n}}-\dfrac{3}{\sqrt[3]{n+1}} \right)=3-\dfrac{3}{\sqrt[3]{n+1}} <3$$
Vậy bài toán được chứng minh hoàn toàn $\square .$

bạn có thể giúp mình dạng tổng quát này ko ? 

Cmr: $\frac{1}{2\sqrt[k]{1}}+\frac{1}{3\sqrt[k]{2}}+...+\frac{1}{(n+1)\sqrt[k]{n})}< k$ (n,k $\in$ N*)

Vì cái này là bdt đồng bậc

uh tại mình chưa học về  bdt đồng bậc

vậy có cách làm  thcs ko

thì chắc cũng chia k chẵn hay lẻ nhỉ  

Bạn thử chứng minh như trên xem sao 

1/cho a,b>0 và a² +b² =1 Cmr $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-(\sqrt{\frac{a}{b}}+\sqrt{\frac{b}{a}})^2\geq 2\sqrt{2}$

2/cho x,y,z $\geq$ 0 và x+y+z=2.cmr $\sum x^3\leq 1+\frac{1}{2}(\sum x^4)$

3/cho a,b,c>0 và abc=a+b+c Cmr $\sum \frac{bc}{a(1+bc)}\geq \frac{3\sqrt{3}}{4}$ (dùng bdt AM-GM)

Cho a $\geq$ 1; b $\geq$ 1. Cmr $a\sqrt{b-1}$ + $b\sqrt{a-1}$ $\leq$ $ab$

ta có  $a\sqrt{b-1}$ + $b\sqrt{a-1}$ $\leq$ $ab$

          $\Leftrightarrow \frac{\sqrt{b-1}}{b}+\frac{\sqrt{a-1}}{a}\leq 1$

Lại có a=(a-1)+1$\geq 2\sqrt{a-1}$ $\Rightarrow \frac{\sqrt{a-1}}{a}\leq \frac{1}{2}$

cmtt $\frac{\sqrt{b-1}}{b}\leq \frac{1}{2}$ suy ra dpcm

Dấu đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=2$

a=b=2 chứ bạn ?

uh srr tại tối qua buồn ngủ quá nên tính sai 

4/cho a,b,c,d,e,f>0 cmr $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+e}+\frac{d}{e+f}+\frac{e}{f+a}+\frac{f}{a+b}\geq 3$

1/cho $-1\leq$ a₁,a₂,...,a₉ $\leq 1$ và $a_{1}^{3}+a_{2}^{3}+...+a_{9}^{3}=0$ cmr $a_{1}+a_{2}+...+a_{9}\leq 3$

2/cho a>0, $bc=2a^2$ và a+b+c=abc Cmr $a\geq \sqrt{\frac{1+2\sqrt{2}}{2}}$

3/cmr $\sqrt[n-1]{n}> \sqrt[n]{n+1} (n\geq 2;n\in N)$

Cho $x,y,z>0$ và  $xy+yz+xz=1$ cmr $\sum \frac{x}{1+yz}\geq \frac{3\sqrt{3}}{4}$

ừ đứng r. bạn mc hộ mk

 

rồi bạn ạ, nhưng bài này đag trong bài bđt cosi

Mình làm như này đc ko á:

$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geqslant \frac{4}{a+b}$$

$$\Leftrightarrow (a+b)^2  \geqslant 4ab$$

$$\Leftrightarrow (a-b)^2 \geqslant 0 (đúng vs a,b > 0)$$

 

Áp dụng bdt Cauchy :$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{2}{\sqrt{xy}}$ và $x+y\geq 2\sqrt{xy}$ 

                                  $\Rightarrow (x+y)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})\geq \frac{4\sqrt{xy}}{\sqrt{xy}}=4$

suy ra dpcm

 

Ta có : $\sum \frac{x}{1+yz}=\sum \frac{x^2}{x+xyz}\geq \frac{\left ( x+y+ z\right )^2}{(x+y+z)+3xyz}\geq \frac{3\sqrt{3}}{4}\Rightarrow 4\left ( x+y+z \right )^2\geq 3\sqrt{3}\left ( x+y+z+3xyz \right )$

$\Leftrightarrow 4\left ( x+y+z \right )^3\geq 3\sqrt{3}\left ( x+y+z \right )^2+9\sqrt{3}xyz\left ( x+y+z \right )$

mà $3\left ( x+y+z \right )xyz\leq \left ( xy+yz+xz \right )^2=1$

Đặt $x+y+z=t$ $\Rightarrow 4t^3-3\sqrt{3}t^2-3\sqrt{3}\geq 0\Leftrightarrow \left ( t-\sqrt{3} \right )\left ( 4t^2+3+t\sqrt{3} \right )\geq 0$ (luôn đúng)

Vì $xy+yz+xz=1\Rightarrow \left ( x+y+z \right )^2\geq 3\Rightarrow y\geq \sqrt{3}$

Dấu = xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}$

 

bài này mình thấy có chỗ ko đúng bạn cm $3\left ( x+y+z \right )xyz\leq \left ( xy+yz+xz \right )^2=1$ 

suy ra $3\sqrt{3}(x+y+z)^2+9\sqrt{3}(x+y+z)xyz$ $\leq 3\sqrt{3}(x+y+z)^2+3\sqrt{3}$

mà $4\left ( x+y+z \right )^3\geq 3\sqrt{3}\left ( x+y+z \right )^2+9\sqrt{3}xyz\left ( x+y+z \right )$

nên ko thể suy ra $4(x+y+z)^3\geq 3\sqrt{3}(x+y+z)^2+3\sqrt{3}$