Tìm số tự nhiên a sao cho $a(a+2)(a^2+2a+3)$ là số chính phương.

Cho tam thức bậc hai có dạng $f(x)=ax^2+bx+c$ thỏa $\left | f(x) \right |<1, \forall x\in [-1;1]$. CMR $f(\frac{5}{4})<\frac{17}{8}$

Cho phương trình 

$x+3(m-3x^2)^2=2$

a. giải phương trình với $m=2$

b. Tìm $m$ để phương trình có nghiệm

Tìm GTLN của hàm số:

$y=\left | x-2 \right |-\left | 2x+2 \right |+x$.

Cho $\Delta ABC$ điểm $O$ nằm trong tam giác. Qua O kẻ các đường thẳng song song với $AB,BC,CA$ chia $S_{ABC}$ thành các 6 phần. Gọi  $S$ của 3 hình bình hành lần lượt là S1,S2,S3. Tính $S_{ABC}$ theo $S1,S2,S3$

Ba cạnh của một tam giác thỏa điều kiện: $a\leq 1\leq b\leq 2\leq c\leq 3$. Hãy tìm tam giác có diện tích lớn nhất.

Cho tam giác$ABC$, hình chữ nhật $MNPQ$ nội tiếp tam giác $ABC$. $P,Q \in BC$ . Tìm quỹ tích $I$ tâm hình chữ nhật $MNPQ$

 Cho tứ giác $ABCD$ gọi $a,b,c,d$ lần lượt là các cạnh liên tiếp trong tứ giác đó. Chứng minh rằng: $4S\leq(a+b)(c+d)$

Cho dãy số: $\frac{1}{2};\frac{1}{3};...;\frac{1}{2013};\frac{1}{2014};\frac{1}{2015}$.

Xoá đi hai số bất kỳ rồi viết thêm một số mới bằng tích hai số đó cộng với tổng của chúng. Tiếp tục làm như thế cho đến khi chỉ còn một số. Tìm số đó.

Có tam giác nào có diện tích bằng 2014 và 3 đường cao bé hơn 1 không ?

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A:

$\frac{x^2+1}{x^2-x+1}$

Cho hình vuông $ABCD$ và đường tròn tâm $O$. Gọi $K,N$ lần lượt là trung điểm $AB$ và $BC$. $F$ là trung điểm đoạn thẳng $NC$. Từ $A$ kẻ đoạn thẳng song song với $KF$ cắt $CD$ tại $G$. Chứng minh rằng $FG$ là tiếp tuyến đường tròn tâm $O$ nội tiếp hình vuông $ABCD$.

Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O). Gọi D là trung điểm AB. E là trọng tâm tam giác ACD..

Chứng minh $OE\perp CD$

Cho $a,b$ là các số nguyên dương lớn hơn 1. Chứng minh $a^{4}+4b^{4}$ là hợp số.

Cho $a,b,c$ thỏa $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}$. Chứng minh: $\frac{1}{a^n}+\frac{1}{b^n}+\frac{1}{c^n}=\frac{1}{a^n+b^n+c^n}$ với $n$ là số lẻ.

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm (O;R) (đường tròn (O) đi qua 4 đỉnh tứ giác ABCD), M là điểm nằm trong tứ giác ABCD. Chứng minh rằng trong các đoạn thẳng MA, MB, MC, MD có ít nhất một đoạn thẳng không lớn hơn R.

Cho $\Delta ABC$ ngoại tiếp (O) tại $D,E,F. (D \in BC; E \in CA; F \in AB)$. Kẻ $MA'\perp BC; MB'\perp CA; MC'\perp AB; MA"\perp EF; MB"\perp DF; MC"\perp DE$ . Chứng minh rằng $MA'.MB'.MC'=MA".MB".MC"$

Cho $a,b,c$ và $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$ là số hữu tỉ. Chứng minh rằng $\sqrt{a},\sqrt{b},\sqrt{c}$ cũng là số hữu tỉ.