ĐK: $\left| x \right| \geqslant \frac{1}{{\sqrt 2 }}$. Bình phương 2 vế ta được.

 

${\left( {{x^4} + \frac{1}{4}} \right)^2} = 2{x^2}\left( {{x^4} - \frac{1}{4}} \right)$.

 

${x^8} - 2{x^6} + \frac{{{x^4}}}{2} + \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{1}{{16}} = 0$.

 

Đặt ${x^2} = t\left( {t \geqslant 0} \right)$.

 

${\text{PT}} \Leftrightarrow {t^4} - 2{t^3} + \frac{{{t^2}}}{2} + \frac{t}{2} + \frac{1}{{16}} = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{{16}}{\left( { - 4{t^2} + 4t + 1} \right)^2} = 0 \to t = \frac{{1 + \sqrt 2 }}{2}$.

 

Thay lại được $x =  \pm \sqrt {\frac{{1 + \sqrt 2 }}{2}} $

Mình thắc mắc khi bạn bình phương hai vế mà không thêm điều kiện à? Nếu x mà âm thì phương trình bình phương rồi có tương đương với phương trình ban đầu không??

Đặt $a=x^2-2x+4; b=x+2$

pt <=> $3\sqrt{ab}=2(a-b)$

$\Leftrightarrow b=\frac{a}{4}\vee b=4a$

Thế vô giải tiếp thôi

bạn viết lại hộ mình cho rõ dòng màu đỏ được k. mình chưa hiểu lắm. cảm ơn bạn nhìu

Giải các phương trình sau:

a) $x^{2}.\sqrt[4]{2-x^{4}}-1=x^{4}-x^{3}$

b)$x^{3}-3x^{2}-8x+10=8.\sqrt[4]{4x+4}$

c)$x^{2}+x-16\sqrt{2x}+20=0$

d)$\sqrt{12-\sqrt{\frac{12}{x^{2}}}}-x^{2}+\sqrt{x^{2}-\frac{12}{x^{2}}}=0$

e)$x^{4}+\frac{1}{4}=x\sqrt{2}.\sqrt{x^{4}-\frac{1}{4}}$

f)$3.\sqrt{x^{3}+8}=2(x^{2}-3x+2)$

1.Xét 2 TH:

 - Nếu n chẵn: $\Rightarrow$ $n^{4}+4^{n}$. Mà $n^{4}+4^{n}$ > 2 $\Rightarrow$ $n^{4}+4^{n}$ là hợp số.

 - Nếu n lẻ : ĐẶt n= 2k+1 ( k $\epsilon \mathbb{N} , k > 0$ )

 Có $n^{4}+4^{n}=(n^{4}+2.2^{n}.n^{2}+4^{n})- 2^{n+1}.n^{2}=(n^{2}+2^{n})^{2}- 2^{n+1}.n^{2}$

Thay n= 2k+1 vào ta có $n^{4}+4^{n}= (n^{2}+2^{n})^{2}-2^{2k+2}.n^{2}= (n^{2}+2^{n}-2^{k+1}.n)(n^{2}+2^{n}+2^{k+1}.n)$

Xét $n^{2}+2^{n}-2^{k+1}.n$. thay n=2k+1 ta có:

$n^{2}+2^{n}-2^{k+1}.n= n^{2}+2^{2k+1}-2^{k+1}.n=n^{2}+2.4^{k}-2^{k+1}.n=(n^{2}+4^{k}-2^{k+1}.n)+4^{k}=(n-2^{k})^{2}+4^{k}\Rightarrow n^{2}+2^{n}-2^{k+1}.n > 1.$

Mà $n^{2}+2^{n}+2^{k+1}.n>1$ $\Rightarrow$ $n^{4}+4^{n}$ là hợp số.

Vậy bài toán đc cm

1. Tìm GTNN của $\sqrt{3-x}+\sqrt{4-x}$

2.Cho x,y,z thỏa mãn x+z=1; 2x+y=5.Tìm GTLN của A= xy+yz+zx và GTNN của B=x²+y²+z²

3.Cho 3 số x,y,z >0 thỏa mãn 4x+y+2z=4 và 3x+6y-2z=6. Tìm GTNN và GTLN của A= 5x-6y+7z.

nếu là kiểu này thì dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=\frac{\sqrt{2}}{2}$ không thỏa $x^3+y^3+z^3=1$

bài nay dâu =khong xay ra . Mình nghĩ vậy

Rút gọn:

 P = $\frac{a^{3}+3a^{2}+(a^{2}-4)\sqrt{a^{2}-1}-4}{a^{3}-3a^{2}+(a^{2}-4)\sqrt{a^{2}-1}+4}$

Ta có $\frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}= \frac{x^{3}}{x\sqrt{1-x^{2}}}\geq \frac{x^{3}}{\frac{x^{2}+(\sqrt{1-x^{2}})^{2}}{2}}=2x^{3}$

Tương tự với $\frac{y^{2}}{\sqrt{1-y^{2}}}$, $\frac{z^{2}}{\sqrt{1-z^{2}}}$

Cộng vế với vế ta suy ra đpcm.

Mình giải nè:

Ta thấy với n=2 thì đpcm đúng.

Giả sử với n=k ta có :$1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+...+\frac{1}{k^{2}} <2-\frac{1}{k}$

Ta cần cm: $1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+...+\frac{1}{k^{2}}+\frac{1}{(k+1)^{2}}<2-\frac{1}{k+1}$  (*)

Thật vậy Ta có $1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+...+\frac{1}{k^{2}}+\frac{1}{(k+1)^{2}}< 2-\frac{1}{k}$ + $\frac{1}{(k+1)^{2}}$  (1)

Mặt khác ta có $\frac{k^{2}+2k}{(k+1)^{2}}<1 \Rightarrow \frac{k+2}{(k+1)^{2}}<\frac{1}{k}\Rightarrow \frac{1}{k+1}+\frac{1}{(k+1)^{2}}<\frac{1}{k}\Rightarrow \frac{1}{k+1}<\frac{1}{k}-\frac{1}{(k+1)^{2}}\Rightarrow 2-(\frac{1}{k}-\frac{1}{(k+1)^{2}})<2-\frac{1}{k+1}$                                                                                            (2)

Từ 1 vầ 2 ta suy ra (*).

Vậy bài toán được cm.

Mình có một bài này rất hay nè, mà mình nghĩ mãi không ra :

Rút gọn: P = $\frac{x^{3}+3x^{2}+(x^{2}-4)\sqrt{x^{2}-1}-4}{x^{3}-3x^{2}+(x^{2}-4)\sqrt{x^{2}-1}+4}$.

Bạn nào học gỏi giúp mình với nhé!!!!!