Mình có một bài này rất hay nè, mà mình nghĩ mãi không ra :

Rút gọn: P = $\frac{x^{3}+3x^{2}+(x^{2}-4)\sqrt{x^{2}-1}-4}{x^{3}-3x^{2}+(x^{2}-4)\sqrt{x^{2}-1}+4}$.

Bạn nào học gỏi giúp mình với nhé!!!!!

Mình giải nè:

Ta thấy với n=2 thì đpcm đúng.

Giả sử với n=k ta có :$1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+...+\frac{1}{k^{2}} <2-\frac{1}{k}$

Ta cần cm: $1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+...+\frac{1}{k^{2}}+\frac{1}{(k+1)^{2}}<2-\frac{1}{k+1}$  (*)

Thật vậy Ta có $1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+...+\frac{1}{k^{2}}+\frac{1}{(k+1)^{2}}< 2-\frac{1}{k}$ + $\frac{1}{(k+1)^{2}}$  (1)

Mặt khác ta có $\frac{k^{2}+2k}{(k+1)^{2}}<1 \Rightarrow \frac{k+2}{(k+1)^{2}}<\frac{1}{k}\Rightarrow \frac{1}{k+1}+\frac{1}{(k+1)^{2}}<\frac{1}{k}\Rightarrow \frac{1}{k+1}<\frac{1}{k}-\frac{1}{(k+1)^{2}}\Rightarrow 2-(\frac{1}{k}-\frac{1}{(k+1)^{2}})<2-\frac{1}{k+1}$                                                                                            (2)

Từ 1 vầ 2 ta suy ra (*).

Vậy bài toán được cm.

Ta có $\frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}= \frac{x^{3}}{x\sqrt{1-x^{2}}}\geq \frac{x^{3}}{\frac{x^{2}+(\sqrt{1-x^{2}})^{2}}{2}}=2x^{3}$

Tương tự với $\frac{y^{2}}{\sqrt{1-y^{2}}}$, $\frac{z^{2}}{\sqrt{1-z^{2}}}$

Cộng vế với vế ta suy ra đpcm.

Rút gọn:

 P = $\frac{a^{3}+3a^{2}+(a^{2}-4)\sqrt{a^{2}-1}-4}{a^{3}-3a^{2}+(a^{2}-4)\sqrt{a^{2}-1}+4}$

nếu là kiểu này thì dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=\frac{\sqrt{2}}{2}$ không thỏa $x^3+y^3+z^3=1$

1. Tìm GTNN của $\sqrt{3-x}+\sqrt{4-x}$

2.Cho x,y,z thỏa mãn x+z=1; 2x+y=5.Tìm GTLN của A= xy+yz+zx và GTNN của B=x²+y²+z²

3.Cho 3 số x,y,z >0 thỏa mãn 4x+y+2z=4 và 3x+6y-2z=6. Tìm GTNN và GTLN của A= 5x-6y+7z.

1.Xét 2 TH:

 - Nếu n chẵn: $\Rightarrow$ $n^{4}+4^{n}$. Mà $n^{4}+4^{n}$ > 2 $\Rightarrow$ $n^{4}+4^{n}$ là hợp số.

 - Nếu n lẻ : ĐẶt n= 2k+1 ( k $\epsilon \mathbb{N} , k > 0$ )

 Có $n^{4}+4^{n}=(n^{4}+2.2^{n}.n^{2}+4^{n})- 2^{n+1}.n^{2}=(n^{2}+2^{n})^{2}- 2^{n+1}.n^{2}$

Thay n= 2k+1 vào ta có $n^{4}+4^{n}= (n^{2}+2^{n})^{2}-2^{2k+2}.n^{2}= (n^{2}+2^{n}-2^{k+1}.n)(n^{2}+2^{n}+2^{k+1}.n)$

Xét $n^{2}+2^{n}-2^{k+1}.n$. thay n=2k+1 ta có:

$n^{2}+2^{n}-2^{k+1}.n= n^{2}+2^{2k+1}-2^{k+1}.n=n^{2}+2.4^{k}-2^{k+1}.n=(n^{2}+4^{k}-2^{k+1}.n)+4^{k}=(n-2^{k})^{2}+4^{k}\Rightarrow n^{2}+2^{n}-2^{k+1}.n > 1.$

Mà $n^{2}+2^{n}+2^{k+1}.n>1$ $\Rightarrow$ $n^{4}+4^{n}$ là hợp số.

Vậy bài toán đc cm

Giải các phương trình sau:

a) $x^{2}.\sqrt[4]{2-x^{4}}-1=x^{4}-x^{3}$

b)$x^{3}-3x^{2}-8x+10=8.\sqrt[4]{4x+4}$

c)$x^{2}+x-16\sqrt{2x}+20=0$

d)$\sqrt{12-\sqrt{\frac{12}{x^{2}}}}-x^{2}+\sqrt{x^{2}-\frac{12}{x^{2}}}=0$

e)$x^{4}+\frac{1}{4}=x\sqrt{2}.\sqrt{x^{4}-\frac{1}{4}}$

f)$3.\sqrt{x^{3}+8}=2(x^{2}-3x+2)$

Đặt $a=x^2-2x+4; b=x+2$

pt <=> $3\sqrt{ab}=2(a-b)$

$\Leftrightarrow b=\frac{a}{4}\vee b=4a$

Thế vô giải tiếp thôi

bạn viết lại hộ mình cho rõ dòng màu đỏ được k. mình chưa hiểu lắm. cảm ơn bạn nhìu

ĐK: $\left| x \right| \geqslant \frac{1}{{\sqrt 2 }}$. Bình phương 2 vế ta được.

 

${\left( {{x^4} + \frac{1}{4}} \right)^2} = 2{x^2}\left( {{x^4} - \frac{1}{4}} \right)$.

 

${x^8} - 2{x^6} + \frac{{{x^4}}}{2} + \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{1}{{16}} = 0$.

 

Đặt ${x^2} = t\left( {t \geqslant 0} \right)$.

 

${\text{PT}} \Leftrightarrow {t^4} - 2{t^3} + \frac{{{t^2}}}{2} + \frac{t}{2} + \frac{1}{{16}} = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{{16}}{\left( { - 4{t^2} + 4t + 1} \right)^2} = 0 \to t = \frac{{1 + \sqrt 2 }}{2}$.

 

Thay lại được $x =  \pm \sqrt {\frac{{1 + \sqrt 2 }}{2}} $

Mình thắc mắc khi bạn bình phương hai vế mà không thêm điều kiện à? Nếu x mà âm thì phương trình bình phương rồi có tương đương với phương trình ban đầu không??

1.Tìm số hữu tỉ x sao cho $3x^{2}-5x+9$ là bình phương của một số hữu tỉ.Liệu có tổng quát được bài toán không???

$\sqrt{1+p+p^{2}+p^{3}+p^{4}}\epsilon \mathbb{Q}\Leftrightarrow \1+p+p^{2}+p^{3}+p^{4} = a^{2}(a\epsilon \mathbb{Z})\Leftrightarrow \4+4p+4p^{2}+4p^{3}+4p^{4} = 4a^{2}.$.

Mặt khác : $[p(2p+1)]^{2}< 4+4p+4p^{2}+4p^{3}+4p^{4}<[p(2p+1)+2]^{2}\Rightarrow \[p(2p+1)]^{2}< (2a)^{2}<[p(2p+1)+2]^{2}\Rightarrow (2a)^{2}=[p(2p+1)+1]^{2}\Rightarrow p=3 (vì p nguyên tố)$

Lang thang thấy mấy bài này hại não quá!!

a) $x^{2}+x-16\sqrt{2x}+20=0$

b)$\sqrt[4]{97-x}+\sqrt[4]{x}=5$

c)$\sqrt{12-\sqrt{\frac{12}{x^{2}}}}-x^{2}+\sqrt{x^{2}-\frac{12}{x^{2}}}=0$

ĐK: $x \leqslant 97$.
 
Đặt $\left\{\begin{matrix} \sqrt[4]{97-x}=a\\ \sqrt[4]{x}=b \end{matrix}\right.\left ( a,b\geq 0 \right )$
 
Ta có hệ: $\left\{\begin{matrix} a+b=5\\ a^4+b^4=97 \end{matrix}\right.$
 
Giải hệ trên ta được nghiệm $\left( {2;3} \right)$ và $\left( {3;2} \right)$.
 
Thế lại được $x=16$ và $x=81$

Lang thang thấy mấy bài này hại não quá!!

a) $x^{2}+x-16\sqrt{2x}+20=0$

b)$\sqrt[4]{97-x}+\sqrt[4]{x}=5$

c)$\sqrt{12-\sqrt{\frac{12}{x^{2}}}}-x^{2}+\sqrt{x^{2}-\frac{12}{x^{2}}}=0$

Bạn nào làm nốt phần a và c đi!!!

Bài này áp dụng phương pháp cần cù bù thông minh bạn ạ:

$\sum \frac{a}{a+b}=3-\sum \frac{b}{a+b}$

Ta sẽ cm $\sum \frac{b}{a+b}\leq \frac{3}{2}\Leftrightarrow \frac{\sum b(b+c)(c+a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}\leq \frac{3}{2}\Leftrightarrow ...\Leftrightarrow a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a+ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}\geq 0 (đúng)$

$\Rightarrow đpcm$

Nhưng mình thấy BĐT này rất lạ.Bạn xem lại đi 

a)Pt$\Leftrightarrow x^{2}(x+\sqrt[4]{2-x^{4}})=x^{4}+1. VT\leq 2x^{2}.Vp\geq 2x^{2}\Rightarrow VT=VP=2x^{2}\Leftrightarrow x=1$

đặt a+b=x:b+c=y;c+a=z$\Rightarrow x+y+z=2(a+b+c)$

có$\left ( x+y+z \right )(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})\geq 3\sqrt[3]{xyz}\times 3\sqrt[3]{\frac{1}{x}.\frac{1}{y}.\frac{1}{z}}= 9\Rightarrow 2(a+b+c)\left ( \frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a} \right )\geq 9\Rightarrow (a+b+c)\left ( \frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a} \right )\geq4,5\Rightarrow \frac{c}{a+b}+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+3\geq 4,5\Rightarrow \frac{c}{a+b}+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}\geq \frac{3}{2}$.

Dấu bang xảy ra khi a=b=c

$\sum \frac{a}{b+c}$ mà bạn

 

 

Ta có:

$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a}=3$

Mặt khác:

$(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a})-(\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a})=\frac{(a-b)(b-c)(a-c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$

Theo gt ta có: $a\geq b\geq c$ nên $\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\geq \frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a}$

do đó:

$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\geq \frac{3}{2}$ (Dấu = khi a=b=c)

 

Giả thiết có cho đâu> còn TH $c\geq b\geq a, a\geq c\geq b,...$ thjì sao?

Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi I là ggiao điểm của các đường phân giác trong.Biết AB=5, IC=6.Tính BC?

!.cho a,b,c >0. abc=1. CM $\sum \frac{1}{a^{3}(b+c)}\geq \frac{3}{2}$

2.Cho a,b,c>0.abc=1.CM $\frac{a}{(1+a)(1+b)}+\frac{b}{(1+b)(1+c)}+\frac{c}{(1+a)(1+c)}\geq \frac{3}{4}$

3.Cho a,b ,c>0.abc =1.Cm $\frac{a^{3}}{(a+b)(b+c)}+\frac{b^{3}}{(b+c)(c+a)}+\frac{c^{3}}{(c+a)(a+b)}\geq \frac{3}{4}$

4.Cho a,b,c >0.$a^{2}+b^{2}+c^{2}$=3.Cm $\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\geq 3$.

5.Cho a,b,c >0.CM $\sum \frac{a^{2}}{b^{2}+c^{2}}\geq \sum \frac{a}{b+c}$

6.Cho 3 số thực a,b,c.Cm $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ca+\frac{(a-b)^{2}}{2}+\frac{(b-c)^{2}}{12}+\frac{(c-a)^{2}}{2014}$

Ps: Càng nhìu cách càng tốt nhé!!

 

Đồng bậc quen thuộc

$$\frac{a^3}{(a+b)(b+c)}+\frac{a+b}{8}+\frac{b+c}{8}\geq \frac{3}{4}a$$

$$\Rightarrow \sum \frac{a^3}{(a+b)(b+c)}\geq \frac{1}{4}(a+b+c)\geq \frac{3}{4}.\sqrt[3]{abc}=\frac{3}{4}$$

 

Sai đề! Phải là $a^3$

 

$$\frac{a^3}{(1+b)(1+c)}+\frac{1+b}{8}+\frac{1+c}{8}\geq \frac{3}{4}a$$

$$\Rightarrow \sum \frac{a^3}{(1+b)(1+c)}\geq ...$$

 

 

Bài 2 khong sai đề đâu ạ.Đây là câu BĐT trong đề thi tuyển sinh lớp 10 tỉnh Vĩnh Phúc 2013-2014

 

2.Cho a,b,c>0.abc=1.CM $\frac{a}{(1+a)(1+b)}+\frac{b}{(1+b)(1+c)}+\frac{c}{(1+a)(1+c)}\geq \frac{3}{4}$

 

Đpcm$\Leftrightarrow 4(ab+bc+ca+a+b+c)\geq 3(2+ab+bc+ca+a+b+c\Leftrightarrow ab+bc+ca+a+b+c\geq 6$ (đúng với abc=1)

Ta có : $\frac{2}{2-a}-a^{2}-1= \frac{2+\left ( a^{2}+1 \right )\left ( a-2 \right )}{2-a}= \frac{a\left ( a-1 \right )^{2}}{2-a}\geq 0$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2-a}+\frac{1}{2-b}+\frac{1}{2-c}\geq \frac{1}{2}\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2}+3 \right )= 3$

Bạn có thể giải thích cho mình ý tưởng của bạn không? xuất phát từ đâu mà bạn lại làm như vậy? lời giải của bạn có vẻ không được tự nhiên cho lắm

Bạn đó đã tìm ra BĐT phụ sau để chứng minh kiểu như thế (uct)

Chứng minh $1$ BĐT này, các BĐT khác chứng minh tương tự 

$\frac{1}{2-a}\geq \frac{a^2+1}{2}\Leftrightarrow (a-1)^2\geq 0$ (luôn đúng)

Từ đó có đpcm

Vậy làm thế nào để tìm được bất đẳng thức phụ.Phải chăng bạn ấy đã phải đi mò??