Cho tam giác ABC ngoại tiếp (I). Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm BC,CA,BA. Qua M kẻ tiếp tuyến với (I) cắt PN tại X, các điểm Y,Z được xác định tương tự thuộc PM và MN. CMR: X,Y,Z thẳng hàng 

(Bài này mình repost của bạn "minhlong02121999", vì ko có ai giải từ lâu và đây là 1 bài toán hay nên mình post lại để các bạn cùng làm)

Cho tứ giác ABCD thỏa mãn $\widehat{DAB}=\widehat{ABC}=\widehat{BCD}$. Gọi I,J là tâm đường trong nội tiếp $\Delta$ ABC và $\Delta$ ACD.Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta$ ABC CMR: I,J,O thẳng hàng

Đề thi HSG lớp 12 vòng 1 tỉnh Hải Dương năm học 2015-2016

(thời gian:180 phút)

Câu I: 

   1, Cho hàm số $y=x^{3}-3(1-2m)x-2$. Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục Ox tại đúng 1 điểm

   2, Cho hàm số $y=x^4-2(m+1)x^2+2$. Tìm m để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị tạo thành 1 tam giác có đường tròn ngoại tiếp đi qua điểm $M(\frac{\sqrt{3}}{2};\frac{1}{2})$

Câu II:

   1, Giải hệ phương trình: $3x^2-2x-5+2x\sqrt{x^2+1}=2(y+1)\sqrt{y^2+2y+2}$

                                       $2x-4y+3=x^2+2y^2$   

   2, Giải bất phương trình: $2+3\sqrt{x^2+x}.\sqrt{x-2} \leq 2(x^2-3x)$

Câu III: 

   1, Có 2 hộp đựng bi, mỗi viên bi chỉ mang 1 màu trắng hoặc đen.Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp đúng 1 viên bi

        a, Biết rằng hộp thứ nhất có 20 viên bi, trong đó có 7 viên đen. Hộp thứ 2 có 15 viên bi trong đó có 10 bi đen. Tính xác suất để lấy được 2 viên bi đen

        b, Biết tổng số bi ở 2 hộp là 20 và xác suất để lấy được 2 viên đen là $\frac{55}{84}$.Tính xác suất để lấy được 2 viên trắng

   2, Cho dãy số $U_{n}$ thỏa mãn: $U_{1}=-1$; $U_{n+1}=\frac{U_{n}}{2}+\frac{2}{U_{n}}$ (với n nguyên dương) và dãy số $V_{n}$ thỏa mãn: $U_{n}V_{n}-U_{n}+2V_{n}+2=0$. Tính $V_{n}$ và lim$U_{n}$

Câu IV: 

   1, Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, góc BAD=120 độ, BD=a>0, cạnh bên SA vuông góc với mp(ABCD), góc giữa mp(SCB) và (ABCD)=60 độ, Điểm K thay đổi trên đoạn SC.

        a, Tìm các vị trí của K sao cho tam giác BKD lần lượt có diện tích nhỏ nhất , lớn nhất.

        b, Khi K là điểm sao cho diện tích tam giác BKD nhỏ nhất. Tính tỉ số thể tích 2 khối đa diện do mặt phẳng (BKD) chia khối chóp S.ABCD

   2, Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có AB=AA'=a. Điểm M thay đổi trên đường thẳng AB sao cho mặt phẳng qua M, vuông góc với AB cắt đường thẳng BC' tại điểm N trên BC'. Xác định vị trí của M để biểu thức $2AM^2+MN^2$ min

Câu V:

Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn abc=1.CMR:

$\frac{b^2}{(ab+2)(2ab+2)}+\frac{c^2}{(bc+2)(2bc+2)}+\frac{a^2}{(ac+2)(2ac+2)} \geq \frac{1}{3}$

Qua nghiên cứu ở 1 vùng trồng cam, người ta thấy số quả cam trên 1 cây là đại lượng ngẫu nhiên có phân bố chuẩn. Người ta đếm thử 600 cây thì có 15 cây ít hơn 20 quả, 30 cây ít hơn 25 quả.

Tính số cam trung bình trên 1 cây.

Dãy số $a_{1},a_{2},...,a_{n}$

$a_{1}=1, a_{2}=a_{1}+\frac{1}{a_{1}},..., a_{n}=a_{n-1}+\frac{1}{a_{n-1}}$

CMR: 17 < $a_{145}$ < 21 

(đề thi tuyển sinh vào THPT chuyên Nguyễn Trãi 98-99)

CMR: 1.$\sum_{d|n}1 < 2\sqrt{n}$

Gọi $C_{n}$ là số hoán vị f của tập S={1,2,...n} thỏa mãn f(i) $\geqslant i-1$ với mọi i=1,...,n. $E_{n}$ là số hoán vị f của S sao cho $f(i) \leqslant i+1$ với mọi i=1,...,n-1, CMR: $C_{n}=E_{n}$

Tìm các số nguyên a,b,m,n (m>n>1) để f(x) = $x^{n}+ax+b$ là ước của g(x) = $x^{m}+ax+b$

Cho phương trình: $x^{4}-8x^{3}+19x^{2}+ax+2=0$ có 4 nghiệm $x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$ thỏa mãn: $x_{1}+x_{2}=x_{3}+x_{4}$

Tìm a và giải phương trình

Cho $x^{2}+2y^{2}=4$ 

Tìm GTLN của M=$x-\frac{y}{\sqrt{2}}$